導數(shù)恒成立及根的個數(shù)問題

1、導數(shù)綜合分類題型訓練 恒成立及根的個數(shù)問題題型一：關(guān)于函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，最值；不等式恒成立；此類問題提倡按以下三個步驟進行解決： 第一步：令得到兩個根； 第二步：列表如下； 第三步：由表可知；不等式恒成立問題的實質(zhì)是函數(shù)的最值問題，常見處理方法有四種：第一種：變更主元（即關(guān)于某字母的一次函數(shù)）-題型特征（已知誰的范圍就把誰作為主 元）；第二種：分離變量求最值（例5）；如參數(shù)不方便分離，而是二次函數(shù)，用根的分布：若的兩根容易求，則求根，考慮根的位置若不確定有根或兩根不容易求，一定要考慮和有時還要考慮對稱軸第三種：關(guān)于二次函數(shù)的不等式恒成立；第四種：構(gòu)造函數(shù)求最值-題型特征恒成立恒成 立；參考

2、例4；例1.已知函數(shù)，是的一個極值點（）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（）若當時，恒成立，求的取值范圍例2.已知函數(shù)的圖象過點.（1） 若函數(shù)在處的切線斜率為，求函數(shù)的解析式；（2）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。例3.設(shè)。（1） 求在上的值域；（2）若對于任意，總存在,使得成立,求的取值范圍。例4.已知函數(shù)圖象上一點的切線斜率為，（）求的值； （）當時，求的值域；（）當時，不等式恒成立，求實數(shù)t的取值范圍。例5.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5，最小值是11.（）求函數(shù)的解析式；（）若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.例6.已知函數(shù)圖象上斜率為3的兩條切線間的距離為，函數(shù)（1） 若函數(shù)在處有極值，求的解析式；（

3、2） 若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且在區(qū)間上都成立，求實數(shù)的取值范圍題型二：已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍及函數(shù)與x軸即方程根的個數(shù)問題；（1）已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍的常用方法有三種：第一種：轉(zhuǎn)化為恒成立問題即在給定區(qū)間上恒成立，然后轉(zhuǎn)為不等式 恒成立問題；用分離變量時要特別注意是否需分類討論（看是否在0的同側(cè)），如 果是同側(cè)則不必分類討論；若在0的兩側(cè)，則必須分類討論，要注意兩邊同處以一 個負數(shù)時不等號的方向要改變呀！有時分離變量解不出來，則必須用另外的方法；第二種：利用子區(qū)間（即子集思想）；首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是 求的增或減區(qū)間的子集；第三種

4、：利用二次方程根的分布，著重考慮端點函數(shù)值與0的關(guān)系和對稱軸相對區(qū)間 的位置；可參考第二次市統(tǒng)考試卷；特別說明：做題時一定要看清楚“在（a,b）上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（a,b）”，要弄清楚兩句話的區(qū)別；（2）函數(shù)與x軸即方程根的個數(shù)問題解題步驟第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖”（即解導數(shù)不等式）和“趨勢圖”即三次函數(shù)的大致趨 勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”；第二步：由趨勢圖結(jié)合交點個數(shù)或根的個數(shù)寫不等式（組）；主要看極大值和極小值與0的 關(guān)系；第三步：解不等式（組）即可；例7已知函數(shù)，且在區(qū)間上為增函數(shù)（1） 求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)與的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)的

5、取值范圍例8.已知函數(shù) （I）討論函數(shù)的單調(diào)性。 （II）若函數(shù)在A、B兩點處取得極值，且線段AB與x軸有公共點，求實數(shù)a的取值范圍。例9已知函數(shù)f(x)x3ax24x4a，其中a為實數(shù)()求導數(shù)(x)；()若(1)0，求f(x)在2，2上的最大值和最小值；()若f(x)在(，2和2，)上都是遞增的，求a的取值范圍例10.已知：函數(shù)（I）若函數(shù)的圖像上存在點，使點處的切線與軸平行，求實數(shù) 的關(guān)系式；（II）若函數(shù)在和時取得極值且圖像與軸有且只有3個交點，求實數(shù)的取值范圍.例11設(shè)為三次函數(shù)，且圖像關(guān)于原點對稱，當時， 的極小值為（）求的解析式；（）證明：當時，函數(shù)圖像上任意兩點的連線的斜率恒大

6、于0例12在函數(shù)圖像在點（1，f（1）處的切線與直線平行，導函數(shù)的最小值為12。（1）求a、b的值；（2）討論方程解的情況（相同根算一根）。例13已知定義在R上的函數(shù)，當時，取得極大值3，. （）求的解析式；（）已知實數(shù)能使函數(shù)上既能取到極大值，又能取到極小值，記所有的實數(shù)組成的集合為M.請判斷函數(shù)的零點個數(shù).例14.已知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（0，4） （I）求的值； （II）若對任意的總有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍。例15.已知函數(shù)是常數(shù)，且當和時，函數(shù)取得極值.（）求函數(shù)的解析式；（）若曲線與有兩個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍.例16.函數(shù)（、為常數(shù)）是奇函數(shù)。ks5u（）求實數(shù)的值和函數(shù)的圖

7、像與軸交點坐標；（）設(shè)，求的最大值.例17.已知f (x)x3bx2cx2若f(x)在x1時有極值1，求b、c的值；若函數(shù)yx2x5的圖象與函數(shù)y的圖象恰有三個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍例18. 設(shè)函數(shù)，當時，取得極值.（1）求的值，并判斷是函數(shù)的極大值還是極小值；（2）當時，函數(shù)與的圖象有兩個公共點，求的取值范圍.例19.已知在R上單調(diào)遞增，記的三內(nèi)角A、B、C的對應(yīng)邊分別為a、b、c，若時，不等式恒成立（）求實數(shù)的取值范圍；（）求角的取值范圍；（）求實數(shù)的取值范圍。 【參考答案】：例1、解：（）. 是的一個極值點，是方程的一個根，解得. 令，則，解得或. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，. （）

8、當時，時，在（1，2）上單調(diào)遞減，在（2，3）上單調(diào)遞增. 是在區(qū)間1，3上的最小值，且 . 若當時，要使恒成立， 只需， 即，解得 . 例2、解：（）由題意知，得 （） ， 由解得或，由解得 的單調(diào)增區(qū)間為：和； 的單調(diào)減區(qū)間為： 例3、解：(1)法一:(導數(shù)法) 在上恒成立. 在0,1上增，值域0,1。 法二:, 復(fù)合函數(shù)求值域. 法三:用雙勾函數(shù)求值域. (2)值域0,1，在上的值域. 由條件,只須，.特別說明：要深刻理解本題的題意及子區(qū)間的解題思路。例4、解：（）， 解得（）由（）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減又 的值域是（）令要使恒成立，只需，即（1）當時 解得；（2）

9、當時 ；（3）當時解得；綜上所述所求t的范圍是特別說明：分類與整合，千萬別忘了整合即最后要寫“綜上可知”，分類一定要序號化；例5、解：（） 令=0,得 因為，所以可得下表：0+0-極大 因此必為最大值,因此， ， 即， （），等價于， 令，則問題就是在上恒成立時，求實數(shù)的取值范圍，為此只需，即， 解得，所以所求實數(shù)的取值范圍是0，1. 例6、解：，由有，即切點坐標為，切線方程為，或， 整理得或，解得，。（1），在處有極值，即，解得，（2） 函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上恒成立，又在區(qū)間上恒成立，即，在上恒成立， 的取值范圍是 例7、解：（1）由題意 在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上恒成立即恒成立，又

10、，故的取值范圍為 （2）設(shè)，令得或由（1）知，當時，在R上遞增，顯然不合題意當時，隨的變化情況如下表：極大值極小值由于，欲使與的圖象有三個不同的交點，即方程有三個不同的實根，故需，即 ，解得 綜上，所求的取值范圍為例8、解：（1），當a>0時，遞增；當a<時，遞減。（2）當a>0時0+00+增極大值減極小值增此時，極大值為當a<0時00+0減極小值增極大值減此時，極大值為因為線段AB與x軸有公共點所以解得 例9、解：（） （）由，由得或x=又 在-2，2上最大值，最小值（）， 由題意知例10、解：（I）設(shè)切點, , 因為存在極值點，所以，即。（II）因為，是方程的根，所

11、以，。,；在處取得極大值，在處取得極小值. 函數(shù)圖像與軸有3個交點，例11、解：（）設(shè) 其圖像關(guān)于原點對稱，即得， 則有 由 ， 依題意得 ， 由得 故所求的解析式為：.（）由解得：或 ， 時，函數(shù)單調(diào)遞增；設(shè)是時，函數(shù)圖像上任意兩點，且，則有 過這兩點的直線的斜率. 例12、解：（1）又直線（2）由（1）知，列表如下：xf+00+f（x）極大值極小值 所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是和 例13、解：（1）由得c=1，得（2） 得，時取得極值.由， 得.， 當時， 在上遞減. 又 函數(shù)的零點有且僅有1個例14、解：（I） 又（II）。 例15、解：（）， 依題意，即解得（）由（）知，曲線與有兩

12、個不同的交點，即在上有兩個不同的實數(shù)解。設(shè)，則， 由0的或，當時，于是在上遞增；當時，于是在上遞減. 依題意有實數(shù)的取值范圍是. 例16、解：（），與軸交點為， ，（），當時，由，得或（舍）， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。當時，由得在上單調(diào)遞增。如圖所示，為在上的圖像。當時，當時，由故的最大值的情形如下：當時， 當時，當時， 例17、解：f '(x)3x22bxc，由題知f '(1)032bc0，f(1)11bc21b1，c5，f(x)x3x25x2，f'(x)3x22x5f(x)在，1為減函數(shù)，f (x)在(1，)為增函數(shù) b1，c5符合題意即方程：恰有三個不同的實解：x3x25x2k(x0)即當x0時，f (x)的圖象與直線yk恰有三個不同的交點，由知f (x)在為增函數(shù)，f (x)在為減函數(shù)，f (x)在(1，)為增函數(shù)，又，f (1)1，f (2)2 且k2例18、