豎直平面內的圓周運動臨界問題(超級經(jīng)典全面)

1、豎直平面內的臨界問題 1 1、輕繩與軌道模型輕繩與軌道模型 ：能過最高點的臨界條件：能過最高點的臨界條件：RgvmmgR臨界2小球在最高點時繩子的拉力（軌小球在最高點時繩子的拉力（軌道對球的壓力）剛好等于道對球的壓力）剛好等于0 0，小，小球的重力充當圓周運動所需的向球的重力充當圓周運動所需的向心力。心力。mgO繩mgO軌道小結小結一一: :沒有支撐的物體沒有支撐的物體 細繩拴小球，圓滑軌道上滑動的小球細繩拴小球，圓滑軌道上滑動的小球1、臨界條件臨界條件： 繩子或軌道對小球繩子或軌道對小球沒有力沒有力的作用：的作用：(即：即：T=0)有有 所以：所以：2vmgmRVRg臨 界2、能通過最高點的

2、條件：、能通過最高點的條件：vRgv大于 Rg時，繩(軌道）對球產(chǎn)生拉力（壓力）。3、不能通過最高點的條件：、不能通過最高點的條件：vRg小于實際上小球還不到最高點時就脫離了軌道。實際上小球還不到最高點時就脫離了軌道。mgO繩mgO軌道例：如圖所示，一質量為例：如圖所示，一質量為m m的小球，用長為的小球，用長為L L細繩細繩系住，使其在豎直面內作圓周運動。若過小球恰系住，使其在豎直面內作圓周運動。若過小球恰好能通過最高點，則小球在最高點的速度為多少？好能通過最高點，則小球在最高點的速度為多少？小球的受力情況如何？小球的受力情況如何？例：如圖所示，一質量為例：如圖所示，一質量為m m的小球，在

3、半徑為的小球，在半徑為R R 光光滑軌道上，使其在豎直面內作圓周運動。若過小滑軌道上，使其在豎直面內作圓周運動。若過小球恰好能通過最高點，則小球在最高點的速度為球恰好能通過最高點，則小球在最高點的速度為多少？（小球的受力情況如何？）多少？（小球的受力情況如何？） 例：如圖所示，質量為例：如圖所示，質量為m m的小球在豎直平的小球在豎直平面內的光滑圓軌道上做圓周運動圓半面內的光滑圓軌道上做圓周運動圓半徑為徑為R R，小球經(jīng)過圓環(huán)最高點時剛好不脫，小球經(jīng)過圓環(huán)最高點時剛好不脫離圓軌則其通過最高點時（離圓軌則其通過最高點時（ ）A A小球對圓環(huán)的壓力大小等于小球對圓環(huán)的壓力大小等于mgmgB B小球

4、的向心力等于重力小球的向心力等于重力 C C小球的線速度大小等于小球的線速度大小等于D D小球的向心加速度大小等于小球的向心加速度大小等于g gBCDRg例：用長為例：用長為l l的細繩，拴著質量為的細繩，拴著質量為m m的小球，在的小球，在豎直平面內做圓周運動，則下列說法中正確的豎直平面內做圓周運動，則下列說法中正確的是（是（ ）A.A.小球在最高點所受的向心力一定是重力小球在最高點所受的向心力一定是重力B.B.小球在最高點繩的拉力可能為零小球在最高點繩的拉力可能為零C.C.小球在最低點繩子的拉力一定大于重力小球在最低點繩子的拉力一定大于重力D.D.若小球恰好能在豎直平面內做圓周運動，則若小

5、球恰好能在豎直平面內做圓周運動，則它在最高點的速率為零它在最高點的速率為零例：質量為例：質量為m m的小球在豎直平面內的圓形軌道的小球在豎直平面內的圓形軌道的內側運動如圖所示，經(jīng)過最高點而不脫離的內側運動如圖所示，經(jīng)過最高點而不脫離軌道的速度臨界值是軌道的速度臨界值是v v，當小球以，當小球以2v2v的速度經(jīng)的速度經(jīng)過最高點時，對軌道的壓力值是（過最高點時，對軌道的壓力值是（ ）A.0A.0B.mgB.mgC.3mgC.3mgD.5mgD.5mg例：一根繩系著裝有水的水桶，在豎直平面例：一根繩系著裝有水的水桶，在豎直平面內做圓周運動，水的質量內做圓周運動，水的質量m m0.5 kg0.5 kg

6、，繩長，繩長l l60 cm60 cm，g g取取10 m/s10 m/s2 2，求：，求：（1 1）最高點水不流出的最小速率）最高點水不流出的最小速率? ?（2 2）水在最高點速率）水在最高點速率v v3 m/s3 m/s時，水對桶底時，水對桶底的壓力的壓力? ?例：如圖所示，一個半徑為例：如圖所示，一個半徑為R R的光滑半圓形軌道的光滑半圓形軌道放在水平面上，一個質量為放在水平面上，一個質量為m m的小球以某一初速的小球以某一初速度沖上軌道，當小球將要從軌道上沿水平方向度沖上軌道，當小球將要從軌道上沿水平方向飛出時，軌道對小球的壓力恰好為零，則小球飛出時，軌道對小球的壓力恰好為零，則小球落

7、地點落地點C C距距B B點多遠？（點多遠？（A A、B B在同一豎直線上）在同一豎直線上）BA.OC2 2、輕桿和圓管模型、輕桿和圓管模型 ：能過最高點的臨界條件：能過最高點的臨界條件：0臨界vmgONmgON桿（管的下壁）對球的支持力桿（管的下壁）對球的支持力F FN N=mg=mg小結小結二二: :有支撐的物體有支撐的物體小球與桿相連，球在光滑封閉管中運動小球與桿相連，球在光滑封閉管中運動2 2、小球過最高點時，輕桿對小球的彈力情況：、小球過最高點時，輕桿對小球的彈力情況： RgV B、當、當 時，桿對小球有指向圓心的時，桿對小球有指向圓心的拉力拉力，其大小隨速，其大小隨速度的增大而增大

8、。度的增大而增大。Rgv0NmgF0C、 時，對小球的時，對小球的支持力支持力方向豎直向上，大小方向豎直向上，大小隨速度隨速度的的增大而減小增大而減小，取值范圍是：，取值范圍是：Rgv A、當、當 時，桿對小球的時，桿對小球的支持力支持力NF0mgONmgON桿管道1 1、臨界條件：、臨界條件： 由于支撐作用，小球恰能到達最高點的臨界速度由于支撐作用，小球恰能到達最高點的臨界速度V V臨界臨界=0=0，此時，此時彈力彈力等于重力等于重力NFmg例例: :如圖所示，細桿的一端與一小球相連，可如圖所示，細桿的一端與一小球相連，可繞過繞過O O的水平軸自由轉動?，F(xiàn)給小球一初速度，的水平軸自由轉動。現(xiàn)

9、給小球一初速度，使它做圓周運動。圖中使它做圓周運動。圖中a a、b b分別表示小球軌分別表示小球軌道的最低點和最高點，則桿對球作用力可能道的最低點和最高點，則桿對球作用力可能是（是（ ）A A、a a處為拉力，處為拉力，b b處為拉力處為拉力B B、a a處為拉力，處為拉力，b b處為推力處為推力C C、a a處為推力，處為推力，b b處為拉力處為拉力D D、a a處為推力，處為推力，b b處為推力處為推力abA、B例：例：長度為長度為L L0.5m0.5m的輕質細桿的輕質細桿OAOA，A A端有一質量端有一質量為為m m3.0kg3.0kg的小球，如圖的小球，如圖5 5所示，小球以所示，小球

10、以O O點為圓心點為圓心在豎直平面內做圓周運動，通過最高點時小球的速在豎直平面內做圓周運動，通過最高點時小球的速率是率是2.0m2.0ms s，g g取取10m10ms s2 2，則此時細桿，則此時細桿OAOA受到受到（）（）A A、6.0N的拉力的拉力B B、6.0N的壓力的壓力C C、24N的拉力的拉力D D、24N的壓力的壓力B例：例：長長L L0.5m0.5m，質量可以忽略的的桿，其下端固，質量可以忽略的的桿，其下端固定于定于O O點，上端連接著一個質量點，上端連接著一個質量m m2kg2kg的小球的小球A A，A A繞繞O O點做圓周運動（同圖點做圓周運動（同圖5 5），在），在A

11、A通過最高點，試討論通過最高點，試討論在下列兩種情況下桿的受力：在下列兩種情況下桿的受力：當當A A的速率的速率v v1 11m1ms s時時: :當當A A的速率的速率v v2 24m4ms s時時: :例、長為例、長為0.6m0.6m的輕桿的輕桿OA(OA(不計質量不計質量),A),A端端插個質量為插個質量為2.0kg2.0kg的物體的物體, ,在豎直平面內在豎直平面內繞繞O O點做圓周運動點做圓周運動, ,當球達到最高點的速當球達到最高點的速度分別為度分別為3m/s, m/s,2m/s3m/s, m/s,2m/s時時, ,求桿對球求桿對球的作用力各為多少的作用力各為多少? ?6O OA

12、A例：例：如圖所示，質量如圖所示，質量m=0.2kg的小球固定在長的小球固定在長為為0.9m的輕桿的一端，桿可繞點的水平的輕桿的一端，桿可繞點的水平軸在豎直平面內轉動，軸在豎直平面內轉動，g=10m/s2，求：，求：（1）小球在最高點的速度能否等）小球在最高點的速度能否等于零？于零？（2）當小球在最高點的速度為多）當小球在最高點的速度為多大時，小球對桿的作用力為零？大時，小球對桿的作用力為零？（3）當小球在最高點的速度分別）當小球在最高點的速度分別為為m/s和和1.5m/s時，桿對小球的時，桿對小球的作用力的大小和方向作用力的大小和方向練習習題7.質量為m的小球在豎直平面內的圓形軌道的內側運動

13、如圖589所示，經(jīng)過最高點而不脫離軌道的速度臨界值是v，當小球以2v的速度經(jīng)過最高點時，對軌道的壓力值是（ ）A.0B.mgC.3mgD.5mg2、用長為l的細繩，拴著質量為m的小球，在豎直平面內做圓周運動，則下列說法中正確的是（ ）A.小球在最高點所受的向心力一定是重力B.小球在最高點繩的拉力可能為零C.小球在最低點繩子的拉力一定大于重力D.若小球恰好能在豎直平面內做圓周運動，則它在最高點的速率為7 如下圖,質量為0.5 kg的小杯里盛有1 kg的水，用繩子系住小杯在豎直平面內做“水流星”表演，轉動半徑為lm，小杯通過最高點的速度為4 m/s，g取10 m/s2,求：（1）在最高點時，繩的拉

14、力？（2）在最高點時水對小杯底的壓力？ （3）為使小杯經(jīng)過最高點時水不流出，在最高點時最小速率是多少？ 圖所示為模擬過山車的實驗裝置，小球從左側的最高點釋放后能夠通過豎直圓軌道而到達右側若豎直圓軌道的半徑為R，要使小球能順利通過豎直圓軌道，則小球通過豎直圓軌道的最高點時的角速度最小為() 雜技演員表演“水流星”，在長為1.6 m的細繩的一端，系一個與水的總質量為m0.5 kg的盛水容器，以繩的另一端為圓心，在豎直平面內做圓周運動，如圖所示，若“水流星”通過最高點時的速率為4 m/s，則下列說法正確的是(g10 m/s2)()A“水流星”通過最高點時，有水從容器中流出B“水流星”通過最高點時，繩

15、的張力及容器底部受到的壓力均為零C“水流星”通過最高點時，處于完全失重狀態(tài)，不受力的作用D“水流星”通過最高點時，繩子的拉力大小為5 N小明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質量為m的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內做圓周運動當球某次運動到最低點時，繩突然斷掉，球飛行水平距離d后落地，如右圖所示已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為3d/4，重力加速度為g.忽略手的運動半徑和空氣阻力(1)求繩斷時球的速度大小v1和球落地時的速度大小v2(2)問繩能承受的最大拉力多大？選做(3)改變繩長，使球重復上述運動，若繩仍在球運動到最低點時斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長應

16、為多少？最大水平距離為多少？補充題例1:如圖所示，細桿的一端與一小球相連，可繞過O的水平軸自由轉動?，F(xiàn)給小球一初速度，使它做圓周運動。圖中a、b分別表示小球軌道的最低點和最高點，則桿對球作用力可能是（ ）A、a處為拉力，b處為拉力B、a處為拉力，b處為推力C、a處為推力，b處為拉力D、a處為推力，b處為推力abA、B例例2 2 長度為長度為L L0.5m0.5m的輕質細桿的輕質細桿OAOA，A A端有一質端有一質量為量為m m3.0kg3.0kg的小球，如圖的小球，如圖5 5所示，小球以所示，小球以O O點為圓點為圓心在豎直平面內做圓周運動，通過最高點時小球的心在豎直平面內做圓周運動，通過最高

17、點時小球的速率是速率是2.0m2.0ms s，g g取取10m10ms s2 2，則此時細桿，則此時細桿OAOA受到受到（）（）A A、6.0N的拉力的拉力B B、6.0N的壓力的壓力C C、24N的拉力的拉力D D、24N的壓力的壓力B例例3 3：長長L L0.5m0.5m，質量可以忽略的的桿，其下端，質量可以忽略的的桿，其下端固定于固定于O O點，上端連接著一個質量點，上端連接著一個質量m m2kg2kg的小球的小球A A，A A繞繞O O點做圓周運動（同圖點做圓周運動（同圖5 5），在），在A A通過最高點，試討通過最高點，試討論在下列兩種情況下桿的受力：論在下列兩種情況下桿的受力：當當

18、A A的速率的速率v v1 11m1ms s時時: :當當A A的速率的速率v v2 24m4ms s時時: :如圖所示，固定在豎直平面內的光滑圓弧形如圖所示，固定在豎直平面內的光滑圓弧形軌道軌道ABCDABCD，其，其A A點與圓心等高，點與圓心等高，D D點為軌道最高點為軌道最高點，點，DBDB為豎直線，為豎直線，ACAC為水平線，為水平線，AEAE為水平面，為水平面，今使小球自今使小球自A A點正上方某處由靜止釋放，且從點正上方某處由靜止釋放，且從A A點進入圓形軌道運動，通過適當調整釋放點的點進入圓形軌道運動，通過適當調整釋放點的高度，總能保證小球最終通過最高點高度，總能保證小球最終通

19、過最高點D D，則小球，則小球在通過在通過D D點后（點后（ ）A A會落到水平面會落到水平面AEAE上上 B B一定會再次落到圓軌道上一定會再次落到圓軌道上C C可能會落到水平面可能會落到水平面AEAE上上 D D可能會再次落到圓軌道上可能會再次落到圓軌道上A A二、在豎直平面內作圓周運動的臨界問題在水平面上做圓周運動的物體，當角速度變化時，物體有遠離或向著圓心運動的（半徑有變化）趨勢。這時，要根據(jù)物體的受力情況，判斷物體受某個力是否存在以及這個力存在時方向朝哪（特別是一些接觸力，如靜摩擦力、繩的拉力等）。 經(jīng)典案例經(jīng)典案例(9(9分分) )一細桿與水桶相連，水桶中裝有水，水桶與一細桿與水桶

20、相連，水桶中裝有水，水桶與細桿一起在豎直平面內做圓周運動，如圖所示，水的質量細桿一起在豎直平面內做圓周運動，如圖所示，水的質量m m0.5 kg,0.5 kg,水的重心到轉軸的距離水的重心到轉軸的距離L L60 cm.60 cm.(1)(1)若在最高點水不流出來，求桶的最小速率若在最高點水不流出來，求桶的最小速率(2)(2)若在最高點的水桶速率若在最高點的水桶速率v v3 m/s3 m/s，求水對桶底的壓力，求水對桶底的壓力(g(g取取9.8 m/s2)9.8 m/s2)【解析】【解析】(1)在最高點水恰好不流出的條件：在最高點水恰好不流出的條件：mg (3分分) 得得v02.42 m/s.(

21、1分分)(2)由由F 可知，當可知，當v增大時，物體做圓周運動所需的增大時，物體做圓周運動所需的向心力也隨之增大，由于向心力也隨之增大，由于v3 m/s2.42 m/s，因此，當水在，因此，當水在最高點時，水自身的重力已不足以提供水做圓周運動所需的最高點時，水自身的重力已不足以提供水做圓周運動所需的向心力，此時桶底對水有一向下的壓力，設為向心力，此時桶底對水有一向下的壓力，設為FN，則由牛頓，則由牛頓第二定律有第二定律有FNmg (3分分) FN mg2.6 N(1分分)根據(jù)牛頓第三定律可知，水對桶底的壓力大小為根據(jù)牛頓第三定律可知，水對桶底的壓力大小為2.6 N，方向，方向豎直向上豎直向上(

22、1分分)mv02/Lmv2/Rmv2/Lmv2/L1.繩系著裝水的水桶，在豎直平面內繩系著裝水的水桶，在豎直平面內做圓周運動，水的質量做圓周運動，水的質量m = 0.5kg，繩，繩長長L = 40cm，求：，求：（）為使桶在最高點時水不流出，（）為使桶在最高點時水不流出，桶的最小速率？桶的最小速率？（）桶在最高點速率（）桶在最高點速率v = 4m/s時，時，水對桶底的壓力？水對桶底的壓力？ 【學以致用】 練習練習 : :如圖所示，輕桿的一端固定如圖所示，輕桿的一端固定一質量為一質量為m m的小球，并以另一端的小球，并以另一端O O為圓為圓心，使小球在豎直面內做半徑為心，使小球在豎直面內做半徑為

23、R R的的圓周運動，以下說法正確的是：圓周運動，以下說法正確的是： A A、小球過最高點時的起碼速度為小球過最高點時的起碼速度為 ； B B、小球過最高點時，桿所受的彈力可以等于零；小球過最高點時，桿所受的彈力可以等于零； C C、小球過最高點時，桿對球的作用力可以與球所小球過最高點時，桿對球的作用力可以與球所受重力方向受重力方向 相反，此時重相反，此時重 力力 一定大于桿對球的作一定大于桿對球的作用力；用力； D D、小球過最高點時，桿對球作用力一定與小球所小球過最高點時，桿對球作用力一定與小球所受重力方向相反。受重力方向相反。ORgBC例：長為例：長為0.5m，質量可忽略的桿，其下端固定于，質量可忽略的桿，其下端固定于O點，上端連有質量點，上端連有質量m=2kg的小球，它繞的小球，它繞O點做圓點做圓周運動，當通過最高點時，如圖所示，求下列情周運動，當通過最高點時，如圖所示，求下列情況下，桿受到的力（說明是拉力還是壓力）：況下，桿受到的力（說明是拉力還是壓力）： （1）當）當v1=1m/s時；時； （2）v2=4