振動與波動_習(xí)題

1、振振 動動問題一：利用振動系統(tǒng)的已知狀態(tài)求解振動方程問題一：利用振動系統(tǒng)的已知狀態(tài)求解振動方程位移位移0cosxAt速度速度0sin()dxAtdt v加速度加速度2202cos()d xaAtdt 簡諧振動的判據(jù)簡諧振動的判據(jù)2.動力學(xué)判據(jù)動力學(xué)判據(jù): kxF 0222 xdtxd1.運動學(xué)判據(jù)運動學(xué)判據(jù): 0cos tAtx方程：方程：條件：條件： 系統(tǒng)的已知狀態(tài)系統(tǒng)的已知狀態(tài)問題二：如何判定一個系統(tǒng)是否在作簡諧振動，并求頻率或周期問題二：如何判定一個系統(tǒng)是否在作簡諧振動，并求頻率或周期垂直方向垂直方向,同頻率簡諧振動的合成同頻率簡諧振動的合成:同方向同方向,不同頻率簡諧振動的合成不同頻率

2、簡諧振動的合成:同方向同方向,同頻率簡諧振動的合成同頻率簡諧振動的合成:垂直方向垂直方向,不同頻率簡諧振動的合成不同頻率簡諧振動的合成:問題三：振動的合成問題三：振動的合成旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法+矢量合成矢量合成拍頻現(xiàn)象和外差探測拍頻現(xiàn)象和外差探測光學(xué)問題中常見到光學(xué)問題中常見到李薩如圖形李薩如圖形1.設(shè)一物體沿設(shè)一物體沿 x 軸作簡諧振動，振幅為軸作簡諧振動，振幅為 12 cm ，周期為周期為2.0 s ；在在 t=0 式式的位移為的位移為 6.0cm, 且這時物體向且這時物體向 x 軸正方向運動。試問：軸正方向運動。試問： （1） 初相位；初相位； （2） t=0.5s 時物體的位置，速度和

3、加速度；時物體的位置，速度和加速度； （3） 在在 x=-6.0cm 處，且向處，且向 x 軸負方向運動時，物體的速度和加速軸負方向運動時，物體的速度和加速度，以及它從這個位置到達平衡位置所需要的時間。度，以及它從這個位置到達平衡位置所需要的時間。（1） t = 0 時時 0000cos612cos3xA 由于由于00sin0vA 因此有因此有03 （2）振動方程為）振動方程為12cos()()3xtcm速度速度12sin()(/ )3vtcm s 加速度加速度2212cos()(/)3atcm s 當(dāng)當(dāng) t = 0.5 s 時時210.4(),18.8(/ ),103(/)xcmvcm sa

4、cm s12cos()()3xtcm2T（3）由旋轉(zhuǎn)矢量圖示，）由旋轉(zhuǎn)矢量圖示， 當(dāng)當(dāng) x = -6 即即 -A/2 ， 且且 v 0 時時 ， 位相位相 x(cm)ot=0-/3-A/212t233t此時速度此時速度02sin()12 sin32.6(/ )3vAtvcm s 加速度加速度22202cos()12cos59.2(/)3aAtacm s 從該位置到達平衡位置所需的時間：從該位置到達平衡位置所需的時間：230.83( )ts 2 如圖所示，兩輪的軸相互平行，相距為如圖所示，兩輪的軸相互平行，相距為2d，兩輪的轉(zhuǎn)速相同而轉(zhuǎn)向相反?，F(xiàn)將質(zhì)量，兩輪的轉(zhuǎn)速相同而轉(zhuǎn)向相反?，F(xiàn)將質(zhì)量為為m的

5、一塊勻質(zhì)木板放在兩輪上，木板與兩輪之間的摩擦系數(shù)均為的一塊勻質(zhì)木板放在兩輪上，木板與兩輪之間的摩擦系數(shù)均為u。若木板的質(zhì)心。若木板的質(zhì)心偏離對稱位置后，試證木板將作簡諧振動，并求其振動周期。偏離對稱位置后，試證木板將作簡諧振動，并求其振動周期。2dOx解：解：以木板的中心為坐標(biāo)原點，向右的方向以木板的中心為坐標(biāo)原點，向右的方向為正，設(shè)木板的質(zhì)心偏離原點為正，設(shè)木板的質(zhì)心偏離原點x，木板對，木板對兩輪的作用力分別為兩輪的作用力分別為N1，N2根據(jù)木板所受力矩平衡條件根據(jù)木板所受力矩平衡條件12Ndmg dx22Ndmg dx木板在水平方向所受到的合力木板在水平方向所受到的合力12mgFNNxd

6、水平方向水平方向22ddxFmt22d0dxgxtd振動周期振動周期2dTg3 一勻質(zhì)細桿質(zhì)量為一勻質(zhì)細桿質(zhì)量為m，長為，長為l，上端可繞懸掛軸無摩擦的在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，下端，上端可繞懸掛軸無摩擦的在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，下端與一勁度系數(shù)為與一勁度系數(shù)為k的輕彈簧相聯(lián)，如圖所示，當(dāng)細桿處于鉛直位置時，彈簧不發(fā)生的輕彈簧相聯(lián)，如圖所示，當(dāng)細桿處于鉛直位置時，彈簧不發(fā)生形變。試求細桿作微小振動時的頻率。形變。試求細桿作微小振動時的頻率。解：解：當(dāng)細桿偏離當(dāng)細桿偏離 分析桿受到的恢復(fù)力矩分析桿受到的恢復(fù)力矩重力產(chǎn)生的力矩大?。褐亓Ξa(chǎn)生的力矩大?。簊in2gmglM彈簧產(chǎn)生的力矩大小：彈簧產(chǎn)生的力矩大?。簊

7、incosFMkll建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程：建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程：222dsinsincos23dgFmglmlMMMkllt 當(dāng)偏角當(dāng)偏角 很小時，上式可變?yōu)楹苄r，上式可變?yōu)?222d30d2mglkltml細桿作微小振動時的頻率細桿作微小振動時的頻率13622mgklvmlAmR2222JmRmRmR復(fù)擺小角度擺動的周期為復(fù)擺小角度擺動的周期為222222JmRRTTmgRmgRg4.如圖所示，一細圓環(huán)質(zhì)量為如圖所示，一細圓環(huán)質(zhì)量為 m ，半徑為半徑為 R ，繞環(huán)上一點繞環(huán)上一點 A 并與并與環(huán)面垂直的水平軸在豎直平面內(nèi)作小幅度擺動，求擺動周期。環(huán)面垂直的水平軸在豎直平面內(nèi)作小幅度擺動，求

8、擺動周期。由平行軸定理，轉(zhuǎn)動慣量為由平行軸定理，轉(zhuǎn)動慣量為解：設(shè)圓環(huán)在豎直平面內(nèi)偏離一微小角度解：設(shè)圓環(huán)在豎直平面內(nèi)偏離一微小角度singMmgR22ddgMJt重力產(chǎn)生的恢復(fù)力矩大小為重力產(chǎn)生的恢復(fù)力矩大小為建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程：建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程：當(dāng)偏角當(dāng)偏角 很小時，上式可變?yōu)楹苄r，上式可變?yōu)?2d0dmgRtJ5.圖中定滑輪半徑為圖中定滑輪半徑為 R, 轉(zhuǎn)動慣量為轉(zhuǎn)動慣量為 J ， 輕彈簧勁度系數(shù)為輕彈簧勁度系數(shù)為 k ，物體物體質(zhì)量為質(zhì)量為 , 現(xiàn)將物體從平衡位置拉下一微小距離后放手，不計一切摩擦和空現(xiàn)將物體從平衡位置拉下一微小距離后放手，不計一切摩擦和空氣阻力，使證明系統(tǒng)作簡諧

9、振動，并求其作諧振動的周期。氣阻力，使證明系統(tǒng)作簡諧振動，并求其作諧振動的周期。mkRJOXxT1mg以以 m 為研究對象。為研究對象。在平衡位置在平衡位置 O 時：合外力時：合外力00(1)Fmgk l 在任意位置在任意位置 x 時：合外力時：合外力1(2)FmgT以下由轉(zhuǎn)動系統(tǒng)解出以下由轉(zhuǎn)動系統(tǒng)解出 T1：fT1R11()()(3)T Rklx RJJTklxR 將將 （1），（），（3）代入（）代入（2）中，合外力）中，合外力()(4)JJFmgklxkxRR 而物塊下落加速度等于滑輪旋轉(zhuǎn)加速度而物塊下落加速度等于滑輪旋轉(zhuǎn)加速度aFRmR代入（代入（4）中得）中得2JFFkxmR 222

10、(1)()JmR kFkxFxmRmRJ 合外力與位移成正比且方向相反，系統(tǒng)的動力學(xué)方程為合外力與位移成正比且方向相反，系統(tǒng)的動力學(xué)方程為角頻率為角頻率為222R kmRJ周期周期2222mRJTkR2222d)d(0mR kmxmRJxt6 圖為兩個互相垂直的諧振動合成運動的軌跡。若cosxAt且動點運動方向如圖所示y 則cos(2)2At1.平面簡諧波方程：000( , )cos()cos()cos2 ()xx tAtAtkxutxAT波波 動動問題一：利用波動的已知狀態(tài)求解波動方程利用波動的已知狀態(tài)求解波動方程2.根據(jù)已知狀態(tài)求解必要參數(shù)如振幅、頻率、波長等3.根據(jù)時間初始點、位置原點以

11、及波的傳播方向?qū)懗霾▌臃匠虇栴}二：波的傳播及疊加問題二：波的傳播及疊加2. 半波損失1. 波的不同方向傳播的描述3. 波的疊加（干涉、駐波）問題三：多普勒效應(yīng)問題三：多普勒效應(yīng)一般形式RRSSuvuv電磁波的多普勒效應(yīng)RScvcv1 一波長為一波長為 的平面簡諧波，已知的平面簡諧波，已知 A 點的振動方程為點的振動方程為 y=Acos(t+) 試求在圖中四種坐標(biāo)選擇情況下此簡諧波的表達式試求在圖中四種坐標(biāo)選擇情況下此簡諧波的表達式y(tǒng)O AxuyO AxuyxOAlu解答提示解答提示（1)(2)(3)（1）cos()xyAtu（2）cos()xyAtu（3）cos()xlyAtu（4）cos()

12、xlyAtuxOAuy(4)l2.一平面一平面 簡諧波在介質(zhì)中以速度簡諧波在介質(zhì)中以速度u=20m/s自左向右傳播，已知在傳播路徑上自左向右傳播，已知在傳播路徑上的某點的振動方程為的某點的振動方程為y=3cos(4 t- ) ,另一點在右方另一點在右方9m處，處，(1)若取若取x軸軸方向向左，并以點為坐標(biāo)原點，試寫出波動方程，并求出點的振動方方向向左，并以點為坐標(biāo)原點，試寫出波動方程，并求出點的振動方程程(2)若取若取x軸方向向右，以點左方軸方向向右，以點左方5米處的點為米處的點為x坐標(biāo)原點，重新寫出波動坐標(biāo)原點，重新寫出波動方程及點的振動方程。方程及點的振動方程。(1)波動方程為：波動方程為

13、：)54cos(3xty 振動方程為：振動方程為：)5144cos(3tyD(2)mOA5)5144cos(3 tyDxyAD9muxyoAD5m9mu54cos3xty)4cos(3)205(4cos3ttyo 3. 圖示為圖示為 t=0 時刻的波形，求：時刻的波形，求： （1）原點的振動方程；）原點的振動方程； （2）波動方程；）波動方程； （3）p 點的振動方程；點的振動方程； （4）a,b 兩點的運動方向。兩點的運動方向。（1）由圖，）由圖，0.4 ,0.08/ ,m um s0.2p0.04ox(m)y(m)abu=0.08m/s0020.04 cos()5yt設(shè)原點振動方程為設(shè)原點

14、振動方程為由由00cos0sin0AA02020.04cos()52yt225u（2）波動方程）波動方程20.04cos()50.0820.04cos 2 ()50.42xyttx（3） p 點與點與 O 點相距一個波長，點相距一個波長，p點振動與點振動與 O 點相同點相同230.04 cos()52pyt（4） a 向向 y 軸負方向，軸負方向， b 向向 y 軸正方向。軸正方向。y(m)0.2p0.04ox(m)abu=0.08m/s 4 如圖所示，波源位于如圖所示，波源位于 O 處，由波源向左右兩邊發(fā)出振幅為處，由波源向左右兩邊發(fā)出振幅為 A，角頻率為角頻率為 ，波速為，波速為 u 的簡

15、諧波。若波密介質(zhì)的反射面的簡諧波。若波密介質(zhì)的反射面 BB 與點與點 O 的的距離為距離為 d=5/4, 試討論合成波的性質(zhì)。試討論合成波的性質(zhì)。解答提示解答提示BBOd=5/4x設(shè)設(shè) O 為坐標(biāo)原點，向右為正方向。為坐標(biāo)原點，向右為正方向。12( , )cos()x tAtx自自 O 點向右的波：點向右的波：自自 O 點向左的波：點向左的波：22( , )cos()x tAtxp反射點反射點 p 處入射波引起的振動：處入射波引起的振動：25( )cos()( )cos()42pptAttAt反射波在反射波在 p 點的振動（有半波損失）：點的振動（有半波損失）：( )cos()( )cos()

16、22pptAttAt3354( , )cos()22( , )cos()xx tAtux tAtx反射波的波函數(shù)反射波的波函數(shù)在在23504x與疊加為駐波：2322cos()cos()22 coscos()AtxAtxAtx130 x在和合成為簡諧波：132( , )2 cos()x tAtx5 如圖所示，彈性介質(zhì)沿如圖所示，彈性介質(zhì)沿 x 軸分布，在軸分布，在 的點的點 S1 和和 S2 處處有兩個波源，它們獨立存在時的振動方程有兩個波源，它們獨立存在時的振動方程 （ S1 位于位于 -5/8 ， S2 位于位于 +5/8）：）：58x1( )cos()4y tAt2( )cos()4ytA

17、t試求：它們的合成波的性質(zhì)；試求：它們的合成波的性質(zhì)；解答提示解答提示S1-5/ 8S2+5/ 8xyS1 向向 x 軸正，負方向傳播的波：軸正，負方向傳播的波： 1252( , )cos()cos()84x tAtxAtx1252( , )cos()cos()842x tAtxAtxS2 向向 x 軸正，負方向傳播的波：軸正，負方向傳播的波： 2252( , )cos()cos()84x tAtxAtx2252( , )cos()cos()842x tAtxAtx125,8x在與疊加：1222 cos()Atx125,8x 在與疊加：1201255,88x在與疊加：1222cos()cos()2322 cos()cos()44AtxAtxAtx6.蝙蝠在洞穴中飛來飛去，利用超聲脈沖導(dǎo)航非常有效。超聲脈沖持續(xù)時間蝙蝠在洞穴中飛來飛去，利用超聲脈沖導(dǎo)航非常有效。超聲脈沖持續(xù)時間約約 1ms ，每秒重復(fù)發(fā)射數(shù)次。假定蝙蝠所發(fā)射的超聲頻率為每秒重復(fù)發(fā)射數(shù)次。假定蝙蝠所發(fā)射的超聲頻率為39kHz, 在朝著在朝著表面平坦的