第九節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)74697

1、第九節(jié)第九節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(最大值最小值定理最大值最小值定理)如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù),則則)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上一定有最大值和最小值上一定有最大值和最小值.oxymm1 ab2 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù),則則)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上一定有界上一定有界.(有界性定理有界性定理)如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù),且極限且極限則則)(xf在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)一定有界內(nèi)一定有界.(有界性定理有界性定理)補充定理補充定理)(limxfax 與與)(

2、limxfbx 存在存在,0404考研真題考研真題4 4分分函數(shù)函數(shù)2)2)(1()2sin()( xxxxxxf在下列哪個區(qū)間內(nèi)在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界有界?)0 , 1()( a)1 , 0()(b)2 , 1()(c)3 , 2()(d提示提示(a)183sin)(lim1 xfx42sin)(lim0 xfx42sin)(lim0 xfx )(lim1xfx.)(lim2 xfx(介值定理介值定理)如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), 則對則對介于最小值介于最小值m和和最大值最大值m之間的任一實數(shù)之間的任一實數(shù)),(mcmc 即即至少存在一點至少存在一點),(ba

3、使使.)(cf oxymm1 ab2 c 直觀理解直觀理解例例1 設(shè)設(shè))(xf在在,ba上連續(xù)上連續(xù),nxxx,21為為,ba中的中的n個點個點, 證明必存在證明必存在,ba 使使).()()(1)(21nxfxfxfnf )(xf在在,ba上連續(xù)上連續(xù)mxfm )(), 2 , 1()(nimxfmi mxfnmnii )(11,ba 存在存在使使).()()(1)(21nxfxfxfnf nmxfnmnii )(1因為因為證證(零值定理或零點存在定理零值定理或零點存在定理)如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù),并且并且)(bf)(af與與異號異號, 則至少存在一點則至少存在一點),(ba 使使. 0)( foyab x直觀理解直觀理解例例2證明證明方程方程), 0(sin 在在xex 內(nèi)至少有一實根內(nèi)至少有一實根.令令xexxfsin)( 因因)(xf, 0 在在上連續(xù)上連續(xù)并且并且01)0( f由零點存在定理知由零點存在定理知), 0( 在在內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點, 使得使得0)( f即即, 0sin e,sin e 亦亦故命題成立故命題成立.證證01)( f例例3證明證明032213 axaxax至少有一實根至少有一實根.令令因因)(xf內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在),( 并且并且由零點存在定理知由零點存在定理知至少存在一點至少存在一點, 使得使得0)