基本概念—概率論與數(shù)理統(tǒng)計王松桂程維虎等科學(xué)出版社

1、 第八章 假設(shè)檢驗 第一節(jié) 基本概念假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗參數(shù)假設(shè)檢驗參數(shù)假設(shè)檢驗非參數(shù)假設(shè)檢驗非參數(shù)假設(shè)檢驗這類問題稱作假設(shè)檢驗問題這類問題稱作假設(shè)檢驗問題 .總體分布已知，總體分布已知，檢驗關(guān)于未知參數(shù)檢驗關(guān)于未知參數(shù)的某個假設(shè)的某個假設(shè)總體分布未知時的總體分布未知時的假設(shè)檢驗問題假設(shè)檢驗問題 在本講中，我們將討論不同于參數(shù)估計的在本講中，我們將討論不同于參數(shù)估計的另一類重要的統(tǒng)計推斷問題另一類重要的統(tǒng)計推斷問題. 這就是根據(jù)樣這就是根據(jù)樣本的信息檢驗關(guān)于總體的某個假設(shè)是否正本的信息檢驗關(guān)于總體的某個假設(shè)是否正確確.讓我們先看一個例子讓我們先看一個例子.這一講我們討論對參數(shù)的假設(shè)檢驗這一講我們討

2、論對參數(shù)的假設(shè)檢驗 . 某工廠生產(chǎn)某工廠生產(chǎn)1010歐姆的電阻歐姆的電阻. .根據(jù)以往根據(jù)以往生產(chǎn)的電阻實際情況生產(chǎn)的電阻實際情況, ,可以認(rèn)為其電阻值可以認(rèn)為其電阻值 X XN(N( , , 2 2) ), ,標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差=0.1.=0.1.現(xiàn)在隨機(jī)抽取現(xiàn)在隨機(jī)抽取1010個電阻個電阻, ,測得它們的電阻值為測得它們的電阻值為: : 9.9, 10.1, 10.2, 9.7, 9.9, 9.9, 10, 9.9, 10.1, 10.2, 9.7, 9.9, 9.9, 10, 10.5, 10.1, 10.2. 10.5, 10.1, 10.2. 試問試問: :從這些樣本從這些樣本, ,我們能

3、否認(rèn)為該廠生我們能否認(rèn)為該廠生產(chǎn)的電阻的平均值產(chǎn)的電阻的平均值 為為1010歐姆歐姆? ?例例1 1( (一一) ) 一個例子一個例子u 確定總體確定總體: :記X X為該廠生產(chǎn)的電阻的測量值為該廠生產(chǎn)的電阻的測量值. .根據(jù)假設(shè)根據(jù)假設(shè),X ,X N(N( , , 2 2),),這里這里 =0.1.=0.1.u 明確任務(wù)明確任務(wù): : 通過樣本推斷通過樣本推斷X X的均值的均值是否等是否等于于1010歐姆歐姆. .u Hypothesis:Hypothesis:上面的任務(wù)就是要通過樣本去上面的任務(wù)就是要通過樣本去檢驗檢驗“X X的均值的均值=10”=10”這樣一個假設(shè)是否成這樣一個假設(shè)是否成

4、立立.(.(在數(shù)理統(tǒng)計中在數(shù)理統(tǒng)計中把把“X X的均值的均值=10”=10”這樣一這樣一個待檢驗的假設(shè)記作個待檢驗的假設(shè)記作“H H0 0:=10”:=10”稱為稱為 “ “原原假設(shè)假設(shè)”或或 “ “零假設(shè)零假設(shè)”問題怎么建立問題怎么建立: 原假設(shè)的對立面是原假設(shè)的對立面是“X X的均值的均值10”10”記作記作“H H1 1:10”:10”稱為稱為“對立假設(shè)對立假設(shè)”或或“備擇備擇假設(shè)假設(shè)”. .把它們合寫在一起就是把它們合寫在一起就是: : H H0 0:=10 H:=10 H1 1:10:10解決問題的思路分析解決問題的思路分析: 樣本均值是樣本均值是的一個良好估計的一個良好估計.如果如

5、果=10,=10,即原假設(shè)成立時即原假設(shè)成立時, ,那么那么: :10X 應(yīng)該比較小應(yīng)該比較小. .反之反之, ,如果它過于大如果它過于大, ,那么想必是原假設(shè)不成立那么想必是原假設(shè)不成立. .10X 的大小可以用來檢驗原假設(shè)是的大小可以用來檢驗原假設(shè)是 否成立否成立. .這里的問題是這里的問題是, ,我們?nèi)绾未_定常數(shù)我們?nèi)绾未_定常數(shù)c c呢呢 合理的思路是找出一個界限合理的思路是找出一個界限c,c, 細(xì)致的分析細(xì)致的分析: :根據(jù)定理6.4.1,2(,)XNn(0,1)0.1/10XN n=10 n=10 =0.1=0.1時時, ,我們就接受原假設(shè)我們就接受原假設(shè)H H0 0 , ,1 0X

6、c當(dāng)當(dāng)10Xc而當(dāng)而當(dāng)時時, ,我們就拒絕原假設(shè)我們就拒絕原假設(shè)H H0 0 . . 于是于是, ,當(dāng)原假設(shè)當(dāng)原假設(shè) H H0 0:=10 :=10 成立時成立時, ,有有: 為確定常數(shù)為確定常數(shù)c,c,現(xiàn)在我們考慮一個相當(dāng)小的現(xiàn)在我們考慮一個相當(dāng)小的正數(shù)正數(shù) ( (理由下面講理由下面講).).例如例如 =0.05.=0.05. 于是于是, ,當(dāng)原假設(shè)當(dāng)原假設(shè) H H0 0:=10 :=10 成立時成立時, ,有有: :10(0,1)0.1/10XN/2100.1/ 10XPZ/ 210(0.1/10)PXZ即/ 2(0.1 /10 )cZ取我們就拒絕原假設(shè)我們就拒絕原假設(shè) H H0 0:=1

7、0. :=10. 我們就接受原假設(shè)我們就接受原假設(shè) H H0 0:=10.:=10. 現(xiàn)在我們就得到檢驗準(zhǔn)則如下現(xiàn)在我們就得到檢驗準(zhǔn)則如下: :10Xc當(dāng)時10Xc而 當(dāng)時/2(0.1/10)cZ其中/ 2/ 210.0.1/1010(0.1/10)10.0.1/10XXZXZ稱為檢驗統(tǒng)計量該檢驗的 也即稱為拒絕域 用以上檢驗準(zhǔn)則處理我們的問題用以上檢驗準(zhǔn)則處理我們的問題. ./ 21010.051.5810.1 /100.051.96XXZ計 算 得查 表 得接受原假設(shè)接受原假設(shè) H H0 0:=10.:=10. 我們的原假設(shè)是我們的原假設(shè)是 H H0 0:=10 :=10 由上面分析由上面

8、分析, ,當(dāng)當(dāng)H H0 0成立時成立時, ,有有: :/ 210(0.1/10)PXZ 相當(dāng)小相當(dāng)小. .這就是說這就是說: :如果如果H H0 0這個假設(shè)這個假設(shè)是正確的話是正確的話, ,檢驗統(tǒng)計量落入拒絕域就是一個檢驗統(tǒng)計量落入拒絕域就是一個發(fā)生的概率很小的事件發(fā)生的概率很小的事件. . 過去我們提到過過去我們提到過, ,通常認(rèn)為通常認(rèn)為: :小概率事件在小概率事件在一次試驗中基本上是不會發(fā)生的一次試驗中基本上是不會發(fā)生的. . ( (我們把它稱做實際推斷原理我們把它稱做實際推斷原理.).) (II) (II)道理道理 那么如果小概率事件發(fā)生了那么如果小概率事件發(fā)生了, ,即即: : 我們

9、就拒絕我們就拒絕, ,這時我們說這時我們說:“H:“H0 0不成立不成立.”.” 下面我們指出這很符合人們的邏輯下面我們指出這很符合人們的邏輯, ,實際上實際上這種思維也叫這種思維也叫: : 帶概率性質(zhì)的反證法帶概率性質(zhì)的反證法 u 通常的反證法設(shè)定一個假設(shè)以后通常的反證法設(shè)定一個假設(shè)以后, ,如果出如果出現(xiàn)的事實與之矛盾現(xiàn)的事實與之矛盾,(,(即如果這個假設(shè)是正確的即如果這個假設(shè)是正確的話話, ,出現(xiàn)一個概率等于出現(xiàn)一個概率等于0 0的事件的事件) )則絕對地否定假則絕對地否定假設(shè)設(shè). ./ 210(0.1/10).XZ發(fā)生了u 帶概率性質(zhì)的反證法的邏輯是帶概率性質(zhì)的反證法的邏輯是: : 即

10、即如果假設(shè)如果假設(shè)H H0 0是正確是正確的話的話, ,出現(xiàn)一個出現(xiàn)一個概率很概率很小小的的事件事件, ,則以很大的把握否定假設(shè)則以很大的把握否定假設(shè)H H0 0. . 檢驗一個檢驗一個H H0 0時是根據(jù)檢驗統(tǒng)計量來判決是時是根據(jù)檢驗統(tǒng)計量來判決是否接受否接受H H0 0的的, ,而檢驗統(tǒng)計量是隨機(jī)的而檢驗統(tǒng)計量是隨機(jī)的, ,這就有可能這就有可能判決錯誤判決錯誤. .這種錯誤有以下兩類這種錯誤有以下兩類: : H H0 0事實上是正確的事實上是正確的, ,但被我們拒絕了但被我們拒絕了, ,稱犯稱犯了了“棄真棄真”的的( (或稱第一類或稱第一類) )錯誤錯誤. . H H0 0事實上是不正確的

11、事實上是不正確的, ,但被我們接受了但被我們接受了, ,稱稱犯了犯了“采偽采偽”的的( (或稱第二類或稱第二類) )錯誤錯誤. .(III)(III)兩類錯誤與顯著性水平兩類錯誤與顯著性水平 假設(shè)檢驗的兩類錯誤假設(shè)檢驗的兩類錯誤H0為真為真實際情況實際情況決定決定拒絕拒絕H0接受接受H0H0不真不真第一類錯誤第一類錯誤正確正確正確正確第二類錯誤第二類錯誤 P拒絕拒絕H0|H0為真為真= , P接受接受H0|H0不真不真= . 犯兩類錯誤的概率犯兩類錯誤的概率: 顯著性水平顯著性水平 為犯第一類錯誤的概率為犯第一類錯誤的概率. 由于檢驗統(tǒng)計量的隨機(jī)性由于檢驗統(tǒng)計量的隨機(jī)性, ,所以無論犯以所以無

12、論犯以上哪類錯誤都是隨機(jī)事件上哪類錯誤都是隨機(jī)事件, ,從而都有一定的概從而都有一定的概率率. .當(dāng)樣本容量當(dāng)樣本容量n n固定固定, ,犯兩類錯誤的概率就不犯兩類錯誤的概率就不能同時被控制能同時被控制. . 在統(tǒng)計學(xué)中在統(tǒng)計學(xué)中, ,通?？刂品傅谝活愬e誤的概通常控制犯第一類錯誤的概率率. .一般事先選定一個數(shù)一般事先選定一個數(shù) ,(0,(0 1),1),要求犯第要求犯第一類錯誤的概率一類錯誤的概率 . . 稱稱 為假設(shè)檢驗的為假設(shè)檢驗的顯著性水平顯著性水平, ,簡稱簡稱水平水平. . 由于犯第二類錯誤的概率的研究與計算超由于犯第二類錯誤的概率的研究與計算超出了本書的范圍出了本書的范圍, ,因

13、此不作討論因此不作討論. . J 說明說明例例1(1(續(xù)續(xù)) ) 分析該例的顯著性水平分析該例的顯著性水平我們就拒絕原假設(shè)我們就拒絕原假設(shè) H H0 0:=10.:=10.10Xc當(dāng)時/2(0.1/10)cZ其中 現(xiàn)在讓我們分析一下現(xiàn)在讓我們分析一下: : 取上述取上述c c后后, ,如果假設(shè)如果假設(shè)H H0 0是正確是正確的的, ,卻被我們拒卻被我們拒絕了絕了, ,即犯第一類錯誤的概率是多少即犯第一類錯誤的概率是多少. . 可見此例我們用的檢驗方法犯可見此例我們用的檢驗方法犯第一類第一類錯誤錯誤的概率等于的概率等于 . . 顯著性水平等于顯著性水平等于 . .10(0,1)0.1/10XN/ 210(0.1 /10 )PXZ從從 而而0:10PH也也就就是是拒拒絕絕當(dāng)原假設(shè) H0:=10 成立時,有:分析分析: 一般我們把顯著性水平限定在一個比一般我們把顯著性水平限定在一個比較小的值較小的值, ,通常通常 =0.05=0.05或或0.01.0.01. 這樣這樣, ,如果如果H H0 0是正確是正確的的 /. /,).XZZ2 22 21 10 0檢檢驗驗統(tǒng)統(tǒng)計計量量取取值值于于拒拒絕絕