靜態(tài)場(chǎng)邊致問(wèn)題的解法PPT課件

1、邊值問(wèn)題框圖一、二類邊界條件的線性組合，即)()(sfn3S已知場(chǎng)域邊界上各點(diǎn)電位的法向?qū)?shù))(sfn2S已知場(chǎng)域邊界上各點(diǎn)電位值)(sf1S第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件220 121212Snn邊值問(wèn)題參考點(diǎn)電位 有限值limr場(chǎng)域邊界條件分界面銜接條件自然邊界條件微分方程邊界條件第1頁(yè)/共64頁(yè)解析法數(shù)值法實(shí)測(cè)法模擬法定性定量邊值問(wèn)題研究方法計(jì)算法實(shí)驗(yàn)法作圖法有限差分法有限元法邊界元法矩量法模擬電荷法積分法分離變量法鏡像法、電軸法微分方程法保角變換法數(shù)學(xué)模擬法物理模擬法邊值問(wèn)題研究方法框圖第2頁(yè)/共64頁(yè)唯一性定理：在場(chǎng)域V的邊界面S上給定電位 或 的值，則泊松方程或拉普拉斯

2、方程在場(chǎng)域V內(nèi)的解唯一。nl 唯一性定理的意義 指出了靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題具有唯一解的條件； 為靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題求解方法提供了理論根據(jù)，為結(jié)果 正確性提供了判據(jù)； 唯一性定理是間接法求解拉普拉斯方程(泊松方程)的 理論根據(jù)。4.2 唯一性定理 （Uniquness Theorem）第3頁(yè)/共64頁(yè)4.3 直角坐標(biāo)系中的分離變量法 分離變量法是一種最經(jīng)典的微分方程法，它適用于求解具有理想邊界條件的典型邊值問(wèn)題。一般情況下，采用正交坐標(biāo)系可用分離變量法得出拉普拉斯方程或波動(dòng)方程的通解，而只有當(dāng)場(chǎng)域邊界與正交坐標(biāo)面重合或平行時(shí)，才可確定積分常數(shù)，得到邊值問(wèn)題的解。 分離變量法是通過(guò)偏微分方程求解邊值問(wèn)題。其

3、基本思想是：首先要求給定邊界與一個(gè)適當(dāng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)面相合，或者至少分段地與坐標(biāo)面相合；其次在坐標(biāo)系中，待求偏微分方程的解可表示為若干個(gè)函數(shù)的乘積，其中的每個(gè)函數(shù)分別僅是一個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)。這樣，通過(guò)分離變量將偏微分方程化為常微分方程求其通解；最后，根據(jù)已知邊界條件確定常數(shù)，得到邊值問(wèn)題的解。第4頁(yè)/共64頁(yè)l 分離變量法解題的一般步驟： 根據(jù)邊界的幾何形狀和場(chǎng)的分布特征選定坐標(biāo)系，寫出 對(duì)應(yīng)的邊值問(wèn)題（微分方程和邊界條件）； 分離變量，將一個(gè)偏微分方程，分離成幾個(gè)常微分方程； 解常微分方程，并疊加各特解得到通解； 利用給定的邊界條件確定積分常數(shù)，最終得函數(shù)的解。在直角坐標(biāo)系中， 拉普拉斯方程為：

4、2222220 xyzl 直角坐標(biāo)系中的分離變量法第5頁(yè)/共64頁(yè)設(shè) 可以表示為三個(gè)函數(shù)的乘積， 即： 當(dāng) 時(shí) 20 xk)()()(),(zhygxfzyx0)(1)(1)(1222222dzzhdhdyygdgdxxfdf代入上式，得 222( )( )xd f xkf xdx 222( )( )d g ykg ydy y222( )( )zd h zk h zdz 即其中 為分離常數(shù)，且2220 xyzkkkxyzkkk， ， 分析 與 討論220d fdx12(1)( )f xAxA第6頁(yè)/共64頁(yè) 當(dāng) 時(shí) 20 xk222( )xd fkf xdx 222( )0 xd fkf xd

5、x通解：12( )sin(2)cosxxf xAk xAk x 當(dāng) 時(shí) 20 xkxxkj令 其中 為實(shí)數(shù)x0)(222xfkdxfdx12(3)( )xxk xk xf xAeA e通解：12( )xxf xAshxA chx或者同理可以求得 和( )( )g yh zl 利用給定的邊界條件確定積分常數(shù)，最終得函數(shù)的解。 雙曲函數(shù)第7頁(yè)/共64頁(yè)例4.3-1 橫截面如圖所示的導(dǎo)體長(zhǎng)槽，上方有一塊與槽相互絕緣的導(dǎo)體蓋板，截面尺寸為ab，槽體的電位為零，蓋板的電位為U(x)， 求此區(qū)域內(nèi)的電位。 ( , )( )( )x yf xg y在區(qū)域 0ya、0yb內(nèi)邊界條件為： x = 0, (0,

6、y) = 0 x = a, (a, y) = 0 y = 0, (x, 0) = 0 y = b, (x, b) = U(x)解：20000( )U xab0 xy第8頁(yè)/共64頁(yè)000( )U xab0 xy12( )sincosxxf xAk xAk x(0, )(0)( )0yfg y(1,2,3)xnkna12( )yyg yB shyB chy1( )sinnnn xf xAa由于在X方向上有重復(fù)零點(diǎn)（x0和a點(diǎn)），因此電位函數(shù)為三角函數(shù)，即： 且20 xk20yk通解：yykj其中待定常數(shù)： 當(dāng) 時(shí) 0 x (0)0f1( )sinxf xAk x所以2(0)00fA 當(dāng) 時(shí) xa

7、( , )( )( )0a yf ag y( )0f a 1( )sin0 xf aAaksin0 xak 故：第9頁(yè)/共64頁(yè) 當(dāng) 時(shí) 0y ( ,0)( )(0)0 xf xg(0)0g1( )snnng yBhya所以2(0)00gB因?yàn)?20 xykkynkjayna1( , )sinsnnnn xn yx yA Bhaa故：nD 當(dāng) 時(shí) yb1( , )sins( )nnn xn bx bDhu xaa討論兩種情況 和00( )( )sinxu xuu xua12( )yyg yB shyB chy第10頁(yè)/共64頁(yè)0001sinsinsinsaannm xm xn xn bUdxD

8、hdxaaaa04smUDm bmhaI.當(dāng)0( )u xu01sinsnnn xn buDhaa左右兩邊同乘以， 并在區(qū)間(0，a)積分 sinm xamnmnadxaxmaxna02/sinsin0又有因此0(1 cos)s(1,2,3)2maam bUmDhmnma第11頁(yè)/共64頁(yè)01sinsinsnnxn xn buDhaaa014( , )sins(1,2,3)smUm xm bx yhymm baamha對(duì)應(yīng)系數(shù)相等II. 當(dāng)0( )sinxu xua01sUDbha因此0( , )sinssUxbx yhybaaha第12頁(yè)/共64頁(yè)第13頁(yè)/共64頁(yè)分離變量法的求解步驟 l

9、建立正確的坐標(biāo)系, 確定變量的個(gè)數(shù)；l 寫出方程的通解；l 利用自然邊界條件化簡(jiǎn)通解；l 利用電磁邊界條件建立確定系數(shù)的方程 并解方程,求出待定系數(shù)。001200100002第14頁(yè)/共64頁(yè)l 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法 4.4 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法20圓柱坐標(biāo)中的拉普拉斯方程（ ）為22222110rrrrrzz僅討論二維平面場(chǎng)情形，即 與坐標(biāo)變量 無(wú)關(guān)時(shí)222110rrrrr222( )( )( )( )0gf rf rgrrrrr令( ) ( )f r g，代入上式得化簡(jiǎn)得 22( )1( )0( )( )rf rgrf rrrg第15頁(yè)/共64頁(yè)22( )1( )0( )( )rf

10、 rgrf rrrg令 第二項(xiàng)等于（ ）2222d( )( )0dgg2( )0( )rf rrf rrr 分析 與 討論當(dāng) 時(shí) 01- 00( )gAB(1 1)當(dāng) 時(shí) 01- ()sin()cos()gABn取整數(shù) 所以( )sin()cos()nnngAnBn(12)2dd ( )( )0ddf rrrn f rrr2222d(d ( )( )0ddf r )f rrrn f rrr2 討論( )f r1 討論( )g第16頁(yè)/共64頁(yè)2222d(d ( )( )0ddf r )f rrrn f rrr歐拉方程 當(dāng) 時(shí) 0n 2- 00( )lnf rCrD(21)當(dāng) 時(shí) 0n 2- (

11、22)( )nnnnf rC rD r綜上，圓柱坐標(biāo)中二維場(chǎng) 的通解為0000( , )()(ln)rABCrD1sin()cos()()nnnnnnnAnBnC rD r第17頁(yè)/共64頁(yè)邊界條件：200cosE xE r r 20 xEE e1例4.4-1 將半徑為 的無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱置于真空中的均勻電場(chǎng) 中，柱軸與 垂直，求任意點(diǎn)的電位。0E0Eara2021( , )(cossin)nnnnrrAnBn1(cossin)nnnnrCnDn( , )( ,)rr解：ra10第18頁(yè)/共64頁(yè)21()cosnnnnnA rC rn)(ar 0,01nAEA) 1( n201coscosnnn

12、E rC rn 01coscos0nnnE aC anr 20 xEE e200cosE xE r 1ra202第19頁(yè)/共64頁(yè)) 1(0,201nCaECn20cosaErr 01coscos0nnnE aC an201coscosnnnE rC rn 第20頁(yè)/共64頁(yè)222222211sin0sinsinrrrrrrrrl 球坐標(biāo)系中的分離變量法 4.5 球坐標(biāo)系中的分離變量法20球坐標(biāo)中的拉普拉斯方程（ ）為僅討論場(chǎng)問(wèn)題與坐標(biāo) 無(wú)關(guān)時(shí)的情形22211sin0sinrrrrr( ) ( )f r g令 ，代入上式得222( )( )( )sin0sing)f rf rgrrrrr令兩項(xiàng)

13、分別等于常數(shù) 和第21頁(yè)/共64頁(yè)2dd ( )( )ddf rrf rrr1dd ( )sin( )sinddgg 引入一個(gè)新的自變量cosx則有 dd ddsindd ddxxx 2dd ( )(1)( )0ddg xxg xxx勒讓德方程 取 (1)m m則 2( )(1)(1)0ddg x-xg xdxdmxmx當(dāng) 從1到-1時(shí)，勒讓德方程有一個(gè)有界解 勒讓德多項(xiàng)式21( )(1)2!mmmmmdP xxm dx1 討論( )g第22頁(yè)/共64頁(yè)下面是前幾個(gè)勒讓德多項(xiàng)式1x P (1)1m當(dāng)時(shí)，；1x P ( 1)( 1)mm 時(shí)，當(dāng)勒讓德多項(xiàng)式21( )(1)2!mmmmmdP xx

14、m dx0P ( )1x 1P ( )cosxx22211P ( )(31)3(cos1)22xx33311P ( )(53 )(5cos3cos )22xxx勒讓德多項(xiàng)式圖形 勒讓德多項(xiàng)式具有正交性 101P (cos )P (cos )sin dP ( )P ( )d0mnmnxxx ()mn122012P (cos ) sin dP ( ) d21mmxxm ()mn第23頁(yè)/共64頁(yè)2 討論( )f r2dd ( )( )ddf rrf rrr2dd ( )(1) ( )0ddf rrf rrrm m歐拉方程 )1()(mmmmrBrArf通解綜上，球坐標(biāo)中 的通解為(1)0()P (

15、cos )mmmmmmA rB r第24頁(yè)/共64頁(yè)00( , )(cos )cosnnnnrA r PE r 100( , )cos(cos )nnnnrE rB rP 10( , )()(cos )nnnnnnrA rB rP 例4.5-1 在均勻電場(chǎng) 中，放置一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體球，球心在原點(diǎn)。求球外的電位及電場(chǎng)強(qiáng)度分布。0zEE e解：邊界條件 100(1)nAEAn r 20( , )00limcosrrraraE r通解第25頁(yè)/共64頁(yè)3100(1)nBE aBn30( )1 cos()aErrar330012( ) cos 1 ( ) sinraaEe Ee Err 3200(

16、, )()cosrE rE a r 100( , )cos(cos )0nnnnaE aB aP 100cos(cos )nnnnE aB aP 0ra第26頁(yè)/共64頁(yè)l 求解位于接地導(dǎo)體板附近的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位 非均勻感應(yīng)電荷等效電荷qq4.6 鏡像法l 接地導(dǎo)體球附近有一個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位等效電荷非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代。qq第27頁(yè)/共64頁(yè)l 鏡像法原理 鏡像法的目的：把原問(wèn)題中包含典型邊界的場(chǎng)的計(jì)算問(wèn)題化為無(wú)限大均勻媒質(zhì)空間中的問(wèn)題求解，達(dá)到簡(jiǎn)化求解的目的。 鏡像法基本思路：在求解域外的適當(dāng)位置，放置虛擬電荷等效替代分界面上導(dǎo)體的感應(yīng)面電荷或媒質(zhì)的

17、極化面電荷的作用。分界面對(duì)空間的電位由鏡像電荷等效后，取消分界面對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析。第28頁(yè)/共64頁(yè)1 電位函數(shù)仍然滿足原方程（拉氏方程或泊 松方程） 2 電位分布仍滿足原邊界條件l 鏡像電荷位置選擇原則 1 鏡像電荷必須位于求解區(qū)域以外2 鏡像電荷的引入不能改變?cè)瓎?wèn)題的邊界條件l 鏡像法理論依據(jù)唯一性定理 由唯一性定理：滿足同一方程和同樣邊界條件的電位分布的解是相同的，所以引入像電荷（等效電荷）后，應(yīng)該有：第29頁(yè)/共64頁(yè)1. 平面邊界的鏡像法例4.6-1 求置于無(wú)限大接地平面導(dǎo)體上方，距導(dǎo)體面為 處的點(diǎn)電荷 的電位，球場(chǎng)分布。 qh4.6.1 靜電場(chǎng)中的鏡像法邊值問(wèn)題（原問(wèn)題）（導(dǎo)板及無(wú)窮

18、遠(yuǎn)處）（除 q 所在點(diǎn)外的區(qū)域）200上半場(chǎng)域邊值問(wèn)題（等效后）20 10 20044qqrr（導(dǎo)板及無(wú)窮遠(yuǎn)處）（除 q 所在點(diǎn)外的區(qū)域） 平面導(dǎo)體的鏡像 第30頁(yè)/共64頁(yè) 鏡像法: 用虛設(shè)的電荷分布等效替代媒質(zhì)分界面上復(fù)雜電荷分布，虛設(shè)電荷的個(gè)數(shù)、大小與位置使場(chǎng)的解答滿足唯一性定理。上半空間內(nèi)任意點(diǎn)()P x,y,z的電位為 011()4qRR222 1 2222 1 20114() () /qxyzhxyzh平面導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷密度為 0222 3 202 ()S/zqhzxyz 2223 222 1 2000d dd2()()inS/qhr rqhqsqhrhr 第31頁(yè)/共64頁(yè)例4

19、.6-2 為無(wú)限大接地的導(dǎo)電（ ）平面（電壁） ，在 出 處有一無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電的細(xì)直導(dǎo)線，導(dǎo)線與 軸平行且經(jīng)過(guò)直角坐標(biāo)（ ）點(diǎn)，求上半空間（ ）的電位函數(shù)。0z zhy0 0 , ,h0z 設(shè)細(xì)直導(dǎo)線的電荷密度為 ，則鏡像線電荷密度為 。 ll解：電壁的作用可以等效為：鏡像位置 處的鏡像線電荷zh 帶電體系在空間的電位為( )()()-rrr第32頁(yè)/共64頁(yè)( )prrrE dl00dln22pprrllrrrrr0ln2plrr式中 不能選為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) ，同樣pr0( )ln2prpl-rrrE dlr( )( )( )-rrr00lnln22ppllrrrr0ln2lrr式中 所以 22r

20、xzh22rxzh22220ln4lxzhxzh第33頁(yè)/共64頁(yè)例4.6-3 不同介質(zhì)（ 和 ）分界面的鏡像法。 12邊值問(wèn)題220（下半空間）210（除 q點(diǎn)外的上半空間） qqqqqq211點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大介質(zhì)分界面的鏡像ttEE21nnDD21coscoscos222444121qqqrrrsinsinsin222444112qqqrrr和1212qq2122qq第34頁(yè)/共64頁(yè)2l 中的電場(chǎng)是由 決定，其有效區(qū)在下半空間， 是等效替啊代自由電荷與極化電荷的作用。 q qq2qqqqq1221221 即點(diǎn)電荷 位于不同介質(zhì)平面上方的場(chǎng)圖ql 中的電場(chǎng)是由 與 共同產(chǎn)生，其有效區(qū)在上半空

21、間， 四是等效替代極化電荷的影響。 q qq1求解圖示 與 區(qū)域的電場(chǎng)，試確定鏡像電荷的個(gè)數(shù)、大小與位置。12第35頁(yè)/共64頁(yè)2. 角形區(qū)域的鏡像法 012311114qRRRR 所有相互成 角的兩塊半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面間的場(chǎng) 四 都可用鏡像法來(lái)求解，其像電荷個(gè)數(shù)為21n180n(2 3 4)n, , ,第36頁(yè)/共64頁(yè)例4.6-4 設(shè)在點(diǎn)電荷附近有一接地導(dǎo)體球，求導(dǎo)體球外空間的電位及電場(chǎng)分布。邊值問(wèn)題：0 10 2044pqqrr0bqdqR2RdqRbq22222222cos)()()(0bqdq0RdqRbq22222222)()(點(diǎn)電荷對(duì)接地導(dǎo)體球面的鏡像3. 球面邊界的鏡像法 設(shè)

22、鏡像電荷 位于球內(nèi)，球面上任一點(diǎn)電位為q22212cosrdRRd22222cosrbRRb（除q點(diǎn)外的導(dǎo)體球外空間)200r 0導(dǎo)球面2RbdbRqqqdd 第37頁(yè)/共64頁(yè)由疊加原理，接地導(dǎo)體球外任一點(diǎn)P的電位與電場(chǎng)分別為0 10244pqqrr)(210r1dRr14q12220 10244PrrqqREeerdr點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球附近的場(chǎng)圖l 鏡像電荷不能放在當(dāng)前求解的場(chǎng)域內(nèi)l 導(dǎo)體上總的感應(yīng)電荷等于鏡像電荷接地導(dǎo)體球外的電場(chǎng)計(jì)算 如何判斷？是否總成立？第38頁(yè)/共64頁(yè)在接地球的基礎(chǔ)上判斷鏡像電荷的個(gè)數(shù)、大小與位置邊值問(wèn)題：例4.6-5 計(jì)算不接地金屬球附近放置一點(diǎn)電荷 時(shí)的電場(chǎng)

23、分布。 qq qd dp pr rr r1 1r r2 2+ +q q- -q qR Ro ob b點(diǎn)電荷對(duì)不接地金屬 球的鏡像l 感應(yīng)電荷分布及球?qū)ΨQ性，在球內(nèi)有兩啊個(gè)等效電荷0SD dS正負(fù)鏡像電荷絕對(duì)值相等Sconst0正鏡像電荷只能位于球心（ 除 q 點(diǎn)外的導(dǎo)體球外空間）200r 0s球面常數(shù)放置鏡像電荷：RqqdRqqd 第39頁(yè)/共64頁(yè)點(diǎn)電荷位于不接地導(dǎo)體球附近的場(chǎng)圖任一點(diǎn)電位及電場(chǎng)強(qiáng)度為)()(210210drRdrRr14qrqrqrq41122220121()4rrrqRREeeerdrdr第40頁(yè)/共64頁(yè)4. 柱面邊界的鏡像法 例4.6-6 線電荷密度為 的無(wú)限長(zhǎng)帶電直

24、線與半徑為a的接地?zé)o限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱的軸線平行，直線到圓柱軸線的距離為 ，如圖所示。 求圓柱外空間的電位函數(shù)。l1d解：1200lnln22llRRC 第41頁(yè)/共64頁(yè)2222122211(2cos )(2cos )0lld adadd adad兩端對(duì) 求導(dǎo)可得 2222112200ln(2cos )ln(2cos )044lladadadadC圓柱面上電位為零 22221221()()lld add ad ll ll 221add第42頁(yè)/共64頁(yè)1200lnln22llRRC 201ln2lRCR21010lnln22llRdRa0ra,因?yàn)?10ln2ldCa所以 圓柱面上的感應(yīng)電荷密度為

25、 22102211()2(2cos )lSr adara adad 圓柱面上單位長(zhǎng)度的感應(yīng)面電荷為222122011()d22coslSllSdaadSaadad 221lladd 第43頁(yè)/共64頁(yè)例4.6-7 設(shè)分界面為平面的兩個(gè)半無(wú)限大空間中，分別充滿磁導(dǎo)率為 和 的兩種均勻介質(zhì)，在介質(zhì)1中存在一平行于分界面的長(zhǎng)直線電流I，與分界面的距離為 ，試求空間的磁場(chǎng)。d12d12ozxId12ozxIdId12oPxII( )a( )b( ) c4.6.2 靜磁場(chǎng)中的鏡像法第44頁(yè)/共64頁(yè)2222111ln()ln()22IIAxzdxzd 2222()ln()2IIAxzd 下半空間（ ）用

26、鏡像電流 來(lái)代替分界面上的磁化電流。 I0z 上半空間（ ）用一鏡像電流 代替分界面上的磁四四四化電流。 I0z 解：d12ozxId12ozxIdId12oPxII( )a( )b( )c在分界面上1020zzA |A |12121100AAzzzz第45頁(yè)/共64頁(yè)從而得到 聯(lián)立求解可得 2121II 1221II 12()()IIIIII 22221121121ln()ln()22IIAxzdxzd 22212212ln()2IAxzd 相應(yīng)的磁場(chǎng)為212222122()2()xzIzd exeBAxzd 12111222221()()2()()xzxzIzd exezd exeBAxz

27、dxzd 第46頁(yè)/共64頁(yè)鏡像法小結(jié) 鏡像法的理論基礎(chǔ)是靜電場(chǎng)唯一性定理； 鏡像法的實(shí)質(zhì)是用虛設(shè)的鏡像電荷替代未知電荷的分布，使計(jì)算場(chǎng)域?yàn)闊o(wú)限大均勻介質(zhì)； 鏡像法的關(guān)鍵是確定鏡像電荷的個(gè)數(shù)（根數(shù)），大小及位置； 應(yīng)用鏡像法解題時(shí)，注意：鏡像電荷只能放在待求場(chǎng)域以外的區(qū)域。疊加時(shí)，要注意場(chǎng)的適用區(qū)域。第47頁(yè)/共64頁(yè)4.7 有限差分法1. 二維泊松方程的差分格式通常將場(chǎng)域分成足夠小的正方形網(wǎng)格,網(wǎng)格線之間的距離為h,節(jié)點(diǎn)0,1,2,3,4上的電位分別用 和 和 表示。 0123, 4)(sfFyxL2222（1）（2）二維靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題：有限差分的網(wǎng)格分割有限差分法（Finite Diffe

28、rential Method）是基于差分原理的一種數(shù)值計(jì)算法。其基本思想：將場(chǎng)域離散為許多小網(wǎng)格，應(yīng)用差分原理，將求解連續(xù)函數(shù) 的泊松方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求解網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上 的差分方程組的問(wèn)題。第48頁(yè)/共64頁(yè)將 和 分別代入式（3），得1x x3x 0333022200303330222001xh31xh21xhxh31xh21xh)(!)(!)()(!)(!)(（4）（5） h2x31xx0)(由（4）（5）（6）由（4）+（5）2301xx22h2x0)(（7）2301yy22h2y0)(（9）同理（8）h2y31yy0)(將式（7）和（9）代入式（1），得到泊松方程的五點(diǎn)差分格式設(shè)函數(shù) 在

29、處可微，則沿 方向在 處的泰勒公式展開為0 x0 xx()000()0() )!KnKnxKxxxxK（3）204321Fh4)(41243210Fh第49頁(yè)/共64頁(yè)當(dāng)場(chǎng)域中 ，得到拉普拉斯方程的五點(diǎn)差分格式00404321)(4143210若場(chǎng)域離散為矩形網(wǎng)格，差分格式為：F2h1h1h1h10222142222121)()()(122. 邊界條件的離散化處理 第二類邊界條件 邊界線與網(wǎng)格線相重合的差分格式hffhn2102010,)(第一類邊界條件 給邊界離散節(jié)點(diǎn)直接賦已知電位值。第50頁(yè)/共64頁(yè) 介質(zhì)分界面銜接條件 的差分格式01234122()4 11KKKbaK 其中邊界條件的離

30、散化處理3. 差分方程組的求解方法高斯賽德爾迭代法)(,)(,)(,)(,)(,2k1jikj1i1k1ji1kj1i1kjiFh41式中 ,210k21ji， 迭代順序可按先行后列，或先列后行進(jìn)行。 迭代過(guò)程遇到邊界節(jié)點(diǎn)時(shí)，代入邊界值或邊界差分格式，的直到所有節(jié)點(diǎn)電位滿足 為止。(1)( ),kki ji j高斯賽德爾迭代法第51頁(yè)/共64頁(yè)松弛迭代法(1)()(1)(),()kkkki ji ji ji j 式中加速收斂因子(02)最佳收斂因子的經(jīng)驗(yàn)公式：)sin(p120（正方形場(chǎng)域、正方形網(wǎng)格）（矩形場(chǎng)域、正方形網(wǎng)格）220q1p122( )(1)(1)( )( )2( ),1,11,

31、1,44kkkkkki jiji jiji ji jFh(01)(12)(1)(2)欠松弛迭代超松弛迭代迭代發(fā)散高斯賽德爾迭代法第52頁(yè)/共64頁(yè) 迭代收斂的速度與電位初始值的給定及網(wǎng)格剖分精細(xì)有關(guān) 迭代收斂的速度與工程精度要求有 )(,)(,Nji1Nji程序框圖如下：賦邊界節(jié)點(diǎn)已知電位值賦予場(chǎng)域內(nèi)各節(jié)點(diǎn)電位初始值按超松弛法進(jìn)行一次迭代，求打印 ( , ),i jN結(jié)束N 所有內(nèi)點(diǎn) 相鄰二次迭代值的最大誤差是否小于Y累計(jì)迭代次數(shù)N=0N=N+1啟動(dòng)迭代解程序框圖(1),Ni j第53頁(yè)/共64頁(yè)編程題1 橫截面如圖所示的導(dǎo)體長(zhǎng)槽，上方有一塊與槽相互絕緣的導(dǎo)體蓋板，截面尺寸為ab，槽體的電位為零，蓋板的電位為100V。用高斯賽德爾迭代法編程求解。 要求：步長(zhǎng)h1，x、y方向的網(wǎng)格數(shù)為m16，n10，迭代精度為 。000100Vab0 xy610計(jì)算：迭代次數(shù)N與 分布。ji,第54頁(yè)/共64頁(yè)編程題2 橫截面如圖所示的導(dǎo)體長(zhǎng)槽，上方有一塊與槽相互絕緣的導(dǎo)體蓋板，截面尺寸為aa，槽體的電位為零，蓋板的電位為100V。用超松弛迭代法編程求解 要求：步長(zhǎng)h1，x、y方向的網(wǎng)格數(shù)為m10，n10，迭代精度為 。50V100V0100Vaa0 xy610計(jì)算：迭代次數(shù)N與 分布。ji,第55頁(yè)/共64頁(yè)第四章 靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法主 要 內(nèi) 容邊值問(wèn)題、分離變量法、數(shù)值解法等