高等數(shù)學課件：5-4廣義積分

1、5.4 廣義積分廣義積分一、無窮區(qū)間的廣義積分一、無窮區(qū)間的廣義積分-無窮積分無窮積分二、無界函數(shù)的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分-瑕積分瑕積分常義積分常義積分積分區(qū)間有限積分區(qū)間有限被積函數(shù)有界被積函數(shù)有界推廣推廣廣義積分廣義積分 （反常積分）（反常積分）無窮積分無窮積分瑕積分瑕積分引例引例21limbbdxAx 21xy A1b11lim ()bbx1lim(1)bb1. 211Adxx 211yxxx 曲曲線線與與直直線線以以及及 軸軸所所圍圍成成的的開開口口曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積， 可可記記作作其其含含義義可可理理解解為為一、無窮區(qū)間的廣義積分一、無窮區(qū)間的廣義積分定義定義( )

2、 ,)lim( )( ) ,)tatf xataf x dxf xa 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)，取取，如如果果極極限限存存在在，則則稱稱此此極極限限值值為為函函數(shù)數(shù)在在無無窮窮區(qū)區(qū)間間上上的的廣廣義義積積分分，記記作作( )af x dx lim( ).tatf x dx ( )af x dx 當當極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；( ).af x dx 當當極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散無無窮窮積積分分( )(, lim( )( )(, bttf xbtbf x dxf xb 類類似似地地，設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)，取取，如如

3、果果極極限限存存在在，則則稱稱此此極極限限值值為為函函數(shù)數(shù)在在無無窮窮區(qū)區(qū)間間上上的的廣廣義義積積分分，記記作作( )bf x dx lim( ).bttf x dx ( )bf x dx 當當極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；( ).bf x dx 當當極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散( )(,)( )( )( )(,)ccf xf x dxf x dxf x 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)，如如果果廣廣義義積積分分和和都都收收斂斂，則則稱稱上上述述兩兩廣廣義義積積分分之之和和為為函函數(shù)數(shù)在在無無窮窮區(qū)區(qū)間間上上的的廣廣義義積積分分，記記作作(

4、)f x dx ( )( )ccf x dxf x dx( )f x dx 當當極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；( ).f x dx 當當極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散lim( )lim( ).cttcttf x dxf x dxlim( )lim( )( ).cttcttf x dxf x dxf x dx 與與 ，只只要要有有一一個個極極限限不不存存在在，就就稱稱發(fā)發(fā)散散( )f x dx ( )( )ccf x dxf x dxlim( )lim( ).cttcttf x dxf x dx注意：注意：( )lim( ).tttf x dxf x

5、 dx ()lim( )xFF x ；()lim( ).xFF x dxxf)( )af x dx ( )bf x dx 引引入入記記號號( )( )F xf x若若是是的的原原函函數(shù)數(shù)，則則有有類類似似于于牛牛頓頓- -萊萊布布尼尼茨茨公公式式的的計計算算表表達達式式：( )aF x ()( )FF a ( )bF x ( )()F bF( )F x ()()FF 解解例例1 12.1dxx 計計算算21dxx arctan x ()22 . 思考：思考：201xdxx 對對嗎嗎？解解21xdxx 221(1)21dxx 21ln(1)2x不不存存在在注意：注意： 對對于于無無窮窮積積分分，

6、只只有有在在收收斂斂的的條條件件下下才才能能使使用用“偶偶倍倍奇奇零零”的的性性質(zhì)質(zhì)，否否則則會會出出現(xiàn)現(xiàn)錯錯誤誤. .解解例例2 22211sin.dxxx 計計算算2211sindxxx 21cosx 1. 211sin()dxx 解解例例3 30(0).pttedtp 計計算算0pttedt 01()pttd ep 0011ptptteedtpp 201ptep 21.p (lim0)pttte 證明證明例例4 41111pdxppx 證證明明當當時時收收斂斂，當當時時發(fā)發(fā)散散. .(1)1p ，11pdxx 11dxx 1ln x 發(fā)發(fā)散散(2)1p ，11pdxx 1111pxp 1

7、111ppp ，發(fā)發(fā)散散收收斂斂111pp 因因此此當當時時，廣廣義義積積分分收收斂斂，其其值值為為；1p 當當時時，廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .xy10A1xy二、無界函數(shù)的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分引例引例101limAdxx 10lim 2 x 0lim 2(1) 2. 101Adxx 11yxyxx 曲曲線線與與 軸軸， 軸軸以以及及直直線線所所圍圍成成的的開開口口曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積， 可可記記作作其其含含義義可可理理解解為為定義定義( )( , lim( )lim( )( )( , btxataf xa bf xf x dxf xa b 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上連

8、連續(xù)續(xù)，如如果果極極限限存存在在，則則稱稱此此極極限限值值為為函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上的的廣廣義義積積分分，記記作作( )baf x dx lim( ).bttaf x dx ( )baf x dx 當當極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；( ).baf x dx 當當極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散瑕瑕積積分分( ).af x稱稱定定義義中中的的 點點為為的的瑕瑕點點( ) , )lim( )lim( )( ) , )taxbtbf xa bf xf x dxf xa b 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)，如如果果極極限限存存在在，則則稱稱此此極極限

9、限值值為為函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上的的廣廣義義積積分分，記記作作( )baf x dx lim( ).tatbf x dx ( )baf x dx 當當極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；( ).baf x dx 當當極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散( ).bf x稱稱定定義義中中的的 點點為為的的瑕瑕點點( ) , ()( )( )cbacf xa bc acbcf x dxf x dx設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上除除點點連連續(xù)續(xù)，而而在在點點 的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)無無界界，如如果果廣廣義義積積分分和和都都收收斂斂，則則定定義義( )( )( )bcbaac

10、f x dxf x dxf x dx ( ).baf x dx 否否則則，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散( ).cf x稱稱定定義義中中的的 點點為為的的瑕瑕點點lim( )lim( ).tbattctcf x dxf x dx( )( )F xf x若若是是的的原原函函數(shù)數(shù)，則則有有類類似似于于牛牛頓頓- -萊萊布布尼尼茨茨公公式式的的計計算算表表達達式式：( )()F bF a 若若 a 為瑕點，則為瑕點，則( )baf x dx ( )baF x ()( )F bF a 若若 b 為瑕點，為瑕點，則則( )baf x dx ( )baF x ()()F bF a若若 a, b 均均為瑕點，

11、則為瑕點，則( )baf x dx 注意：注意：若瑕點若瑕點 則則 ( , )ca b ，( )( )( )bbcacaf x dxf x dxf x dx( )()()( )F bF cF cF a能相消嗎？能相消嗎？解解例例5 5220(0).adxaax 計計算算221limxaax ，xa 為為瑕瑕點點，220adxax 0arcsinaxa .2 解解例例6 621.lndxxx 計計算算11limlnxxx ，1x 為為瑕瑕點點，21lndxxx 21ln(ln )x . 21(ln )lndxx 發(fā)發(fā)散散證明證明例例7 710111qdxqqx 證證明明當當時時收收斂斂，當當時時

12、發(fā)發(fā)散散. .(1)1q ，101qdxx 101dxx 10ln x 發(fā)發(fā)散散(2)01qq，101qdxx 11011qxq 11011qqq ，發(fā)發(fā)散散收收斂斂01lim(0)qxqx ，0 x 為為瑕瑕點點，(3)0q ，101qdxx 11011qxq 11q 收收斂斂解解例例8 82330.(1)dxx 計計算算22331111limlim(1)(1)xxxx ，1x 為為瑕瑕點點，2330(1)dxx 22331301(1)(1)dxdxxx113313013(1)3(1)xx 333233(12).說明：說明：(1) 當當被被積積函函數(shù)數(shù)在在任任意意有有限限區(qū)區(qū)間間滿滿足足換換

13、元元法法與與分分部部積積分分法法的的條條件件時時，換換元元公公式式與與分分部部積積分分公公式式對對廣廣義義積積分分仍仍然然成成立立. .有有時時通通過過換換元元法法，廣廣義義積積分分與與常常義義積積分分可可以以互互相相轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化. .例如例如 1201dxx 2sin0 xtdt 令令；214011xdxx 21022111xdxxx 1021()1()2d xxxx 102.2txxdtt 令令(2) 當當一一題題中中同同時時含含有有兩兩類類廣廣義義積積分分時時，應(yīng)應(yīng)劃劃分分積積分分區(qū)區(qū)間間，分分別別討討論論每每一一區(qū)區(qū)間間上上的的廣廣義義積積分分. .(3) 若若被被積積函函數(shù)數(shù)在在積積分分

14、區(qū)區(qū)間間上上僅僅存存在在有有限限個個第第一一類類間間斷斷點點時時，則則本本質(zhì)質(zhì)上上是是常常義義積積分分，而而不不是是廣廣義義積積分分. .例如例如 21111xdxx 11(1).xdx 解解例例9 930.(1)dxx x 計計算算301lim(1)xx x ，0 x 為為瑕瑕點點，arctanux 令令，22tan secdxuudu 2tanxu ，00 xu當當時時，2xu 當當時時，30(1)dxx x 22302tan sectan secuuduuu 202cosudu 202sinu 2. 2. 無界函數(shù)的廣義積分（瑕積分）無界函數(shù)的廣義積分（瑕積分）1. 無窮區(qū)間的廣義積分（

15、無窮積分）無窮區(qū)間的廣義積分（無窮積分）（注意注意：不能忽略區(qū)間內(nèi)部的瑕點）：不能忽略區(qū)間內(nèi)部的瑕點）小結(jié)小結(jié)( )af x dx ( )bf x dx ( )f x dx ( )baf x dx ( )( )( )bcbaacf x dxf x dxf x dx 思考題思考題Z 10ln1.1xdxx 判判斷斷積積分分的的瑕瑕點點解解10ln01.1xdxxxx 積積分分可可能能的的瑕瑕點點是是，0lnlim1xxx ，0 x 是是瑕瑕點點；1lnlim11xxx ，1x 不不是是瑕瑕點點. .12112.dxx 討討論論廣廣義義積積分分的的收收斂斂性性解解220011limlimxxxx ，0 x 是是瑕瑕點點，011011()().xx 下述解法是否正確下述解法是否正確: : 1211dxx 111()x 112 .積積分分收收斂斂1211dxx 01221011dxdxxx 發(fā)發(fā)散散0013.( )02( ).212xtf tttf t dtt ， 已已知知， ，試試用用分分段段函函數(shù)數(shù)表表示示， 解解(1)0 x 當當時時，( )xf t dt 0 xdt 0 ；(2)02x當當時時，( )xf