第六節(jié)空間直線(xiàn)及其方程8629871

1、第六節(jié)第六節(jié) 空間直線(xiàn)及其方程空間直線(xiàn)及其方程教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容 1 空間直線(xiàn)的一般方程；空間直線(xiàn)的一般方程； 2 空間直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程與參數(shù)方程；空間直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程與參數(shù)方程； 3 兩直線(xiàn)的夾角；兩直線(xiàn)的夾角；4 直線(xiàn)與平面的夾角直線(xiàn)與平面的夾角；本節(jié)考研要求本節(jié)考研要求 掌握直線(xiàn)方程的求法，會(huì)利用平面、直線(xiàn)的相互掌握直線(xiàn)方程的求法，會(huì)利用平面、直線(xiàn)的相互關(guān)系解決有關(guān)問(wèn)題，會(huì)求點(diǎn)到直線(xiàn)與點(diǎn)到平面的距關(guān)系解決有關(guān)問(wèn)題，會(huì)求點(diǎn)到直線(xiàn)與點(diǎn)到平面的距離。離。xyzo1 2 定義定義空間直線(xiàn)可看成兩平面的交線(xiàn)空間直線(xiàn)可看成兩平面的交線(xiàn)0:11111 dzcybxa0:22222 dzcybxa 002

2、2221111dzcybxadzcybxa空間直線(xiàn)的一般方程空間直線(xiàn)的一般方程l一、空間直線(xiàn)的一般方程一、空間直線(xiàn)的一般方程xyzo方向向量的定義：方向向量的定義： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一條已知直線(xiàn)，這個(gè)向量稱(chēng)一條已知直線(xiàn)，這個(gè)向量稱(chēng)為這條直線(xiàn)的為這條直線(xiàn)的方向向量方向向量sl),(0000zyxm0m m ,lm ),(zyxmsmm0/,pnms ,0000zzyyxxmm 二、空間直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程與參數(shù)方程二、空間直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程與參數(shù)方程pzznyymxx000 直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程tpzznyymxx 000令令直線(xiàn)的一組直線(xiàn)的一組方向數(shù)方向數(shù)方向向量

3、的余弦稱(chēng)為方向向量的余弦稱(chēng)為直線(xiàn)的直線(xiàn)的方向余弦方向余弦.說(shuō)明說(shuō)明: 某些分母為零時(shí)某些分母為零時(shí), 其分子也理解為零其分子也理解為零.00yyxx直線(xiàn)方程為例如, 當(dāng),0, 0時(shí)pnm3. 參數(shù)式方程參數(shù)式方程設(shè)得參數(shù)式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0例例1 1.用對(duì)稱(chēng)式及參數(shù)式表示直線(xiàn)解解: :先在直線(xiàn)上找一點(diǎn).043201 zyxzyx632zyzy再求直線(xiàn)的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程組,得交已知直線(xiàn)的兩平面的法向量為是直線(xiàn)上一點(diǎn) .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21nns故所給直線(xiàn)的

4、對(duì)稱(chēng)式方程為參數(shù)式方程為tztytx32 41t41x1y32z解題思路解題思路:先找直線(xiàn)上一點(diǎn)先找直線(xiàn)上一點(diǎn); ;再找直線(xiàn)的方向向量再找直線(xiàn)的方向向量. .)3, 1,4(21nns312111kji例例 2 2 一一直直線(xiàn)線(xiàn)過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn))4 , 3, 2( a，且且和和 y 軸軸垂垂直直相相交交，求求其其方方程程.解解因因?yàn)闉橹敝本€(xiàn)線(xiàn)和和y軸軸垂垂直直相相交交, 所以交點(diǎn)為所以交點(diǎn)為),0, 3, 0( b取取bas ),4, 0, 2( 所求直線(xiàn)方程所求直線(xiàn)方程.440322 zyx，則則，、若若2122221111),(),( mmlzyxmzyxm :l121121121zzzzyyyy

5、xxxx 兩點(diǎn)式兩點(diǎn)式方程。方程。注：注：例例 3 3 求過(guò)求過(guò))3 , 1 , 2(m且與且與 l:12131 zyx垂直相交的直垂直相交的直線(xiàn)方程線(xiàn)方程. 解解先作過(guò)先作過(guò)點(diǎn)點(diǎn)m且與已知直線(xiàn)且與已知直線(xiàn) l 垂直的平面垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直線(xiàn)與該平面的交點(diǎn)再求已知直線(xiàn)與該平面的交點(diǎn)n,，由由 tztytx1213lm n代入平面方程，得代入平面方程，得,73 t交點(diǎn)交點(diǎn))73,713,72( n取方向向量取方向向量mn)373, 1713, 272( ),4 , 1, 2(76 所求直線(xiàn)方程為所求直線(xiàn)方程為.431122 zyx另解另解: 12131:)3

6、, 1 , 2( 垂直的平面垂直的平面且與已知直線(xiàn)且與已知直線(xiàn)先做過(guò)點(diǎn)先做過(guò)點(diǎn)zyxlmlm )0 , 1 , 1(0lm l )1, 2 , 3()3 , 0 , 3(/0 smmns所所求求直直線(xiàn)線(xiàn)： 0)3() 1( 2)2( 3 zyx0)3() 1( 2)2( zyx）（1 , 2 , 16 再求過(guò)再求過(guò)m與與l的的：0)3() 1( 2)2(: zyx. 0)3()1(2)2(3 zyx:1l:2l22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmll 兩直線(xiàn)的方向向量的夾角（銳角）稱(chēng)為兩直線(xiàn)的方向向量的夾角（銳角）稱(chēng)為兩直線(xiàn)的夾角兩直線(xiàn)的夾角.兩直線(xiàn)的

7、夾角公式。兩直線(xiàn)的夾角公式。三、兩直線(xiàn)的夾角三、兩直線(xiàn)的夾角兩直線(xiàn)的位置關(guān)系：兩直線(xiàn)的位置關(guān)系：21)1(ll , 0212121 ppnnmm21)2(ll/,212121ppnnmm ,111111pzznyymxx ,222222pzznyymxx 例例 3 3 求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn))5, 2, 3( 且與兩平面且與兩平面34 zx和和152 zyx的交線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程的交線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程.解解設(shè)所求直線(xiàn)的方向向量為設(shè)所求直線(xiàn)的方向向量為,pnms 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,1ns ,2ns 取取21nns ,1, 3, 4 .153243 zyx所求直線(xiàn)的方程所求直線(xiàn)的方程當(dāng)直線(xiàn)與平面垂直時(shí)當(dāng)直線(xiàn)

8、與平面垂直時(shí), ,規(guī)定其夾角規(guī)定其夾角線(xiàn)所夾銳角線(xiàn)所夾銳角 稱(chēng)為直線(xiàn)與平面間的夾角稱(chēng)為直線(xiàn)與平面間的夾角; ;l2. 直線(xiàn)與平面的夾角直線(xiàn)與平面的夾角當(dāng)直線(xiàn)與平面不垂直時(shí)當(dāng)直線(xiàn)與平面不垂直時(shí), ,設(shè)直線(xiàn)設(shè)直線(xiàn) l 的方向向量為的方向向量為 平面平面 的法向量為的法向量為則直線(xiàn)與平面夾角則直線(xiàn)與平面夾角 滿(mǎn)足滿(mǎn)足.2222222cbapnmpcnbma直線(xiàn)和它在平面上的投影直直線(xiàn)和它在平面上的投影直),(pnms ),(cban ),cos(sinnsnsns sn特別有特別有: :l) 1(/)2(l0pcnbmapcnbmans/ns解解: : 取已知平面的法向量取已知平面的法向量421zy

9、x則直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程為則直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程為0432zyx直的直線(xiàn)方程直的直線(xiàn)方程. . 為所求直線(xiàn)的方向向量為所求直線(xiàn)的方向向量. . 132垂垂 ) 1,3,2(nn例例3. 求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)(1,2 , 4) 且與平面且與平面* *例例 4 4 設(shè)設(shè)直直線(xiàn)線(xiàn):l21121 zyx，平平面面: 32 zyx，求求直直線(xiàn)線(xiàn)與與平平面面的的夾夾角角. 解解),2, 1, 1( n),2, 1, 2( s222222|sinpnmcbacpbnam 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 為所求夾角為所求夾角四、平面束介紹四、平面束介紹設(shè)直線(xiàn)設(shè)直線(xiàn)l的方程為的方程為11112222

10、0,0axb yc zda xb yc zd其中系數(shù)其中系數(shù)1a1b1c、 、與與、不成比例不成比例.2a2b2c111122220axb yc zda xb yc zd表示通過(guò)直線(xiàn)表示通過(guò)直線(xiàn) 的的平面束平面束(通過(guò)直線(xiàn)通過(guò)直線(xiàn) 的平面的全體的平面的全體),l是任意常數(shù)是任意常數(shù). 其中其中方程方程方程稱(chēng)為方程稱(chēng)為通過(guò)直線(xiàn)通過(guò)直線(xiàn)l的平面束方程。的平面束方程?？芍匠淌峭ㄟ^(guò)可知方程是通過(guò)直線(xiàn)直線(xiàn)l的的. 對(duì)于不同的對(duì)于不同的,方程表示通過(guò)直線(xiàn)方程表示通過(guò)直線(xiàn)l的不同平的不同平面面.反之反之,凡是通過(guò)直線(xiàn)凡是通過(guò)直線(xiàn)l的平面必定在方程中。的平面必定在方程中。例例4.4.求直線(xiàn)求直線(xiàn)解解: :過(guò)

11、直線(xiàn)過(guò)直線(xiàn)10,40 xyzxyz 該平面與平面在平面在平面0 xyz上的投影直線(xiàn)方程上的投影直線(xiàn)方程.10,40 xyzxyz 的平面束方程為的平面束方程為140(1)xyzxyz即即(1)(1)( 1)( 1)0 xyz 0 xyz垂直的條件是垂直的條件是,nn 即即(1) 1 (1) 1 ( 1) 10 1. 解出解出 得得代入代入(1)(1)得得故所求投影直線(xiàn)方程為故所求投影直線(xiàn)方程為10,0.yzxyz 222010yzyz 例例9 求過(guò)兩個(gè)平面求過(guò)兩個(gè)平面x+2y-z+1=0與與2x-3y+z=0的的交線(xiàn)且過(guò)點(diǎn)交線(xiàn)且過(guò)點(diǎn)(1,2,3)的平面方程的平面方程)4(0)32() 12(z

12、yxzyx解解 設(shè)直線(xiàn)設(shè)直線(xiàn)l通過(guò)平面方程通過(guò)平面方程01277)32 ( 3) 12(zyxzyxzyxx+2y-z+1=0與2x-3y+z=0的交線(xiàn)且過(guò)點(diǎn)(1,2,3)把點(diǎn)把點(diǎn)m(1,2,3)的坐標(biāo)代入方程的坐標(biāo)代入方程(4)我們得到我們得到3-=0,我們?nèi)∥覀內(nèi)?1, 則則=3.代入方程代入方程(4)得到得到(12 23 1)(23 23)030 1. 空間直線(xiàn)方程空間直線(xiàn)方程一般式對(duì)稱(chēng)式參數(shù)式0022221111dzcybxadzcybxatpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) ,1111111pzznyymxxl：直線(xiàn)0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxl：212121ppnnmm2. 線(xiàn)與線(xiàn)的關(guān)系線(xiàn)與線(xiàn)的關(guān)系直線(xiàn)夾角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 02