點到直線的距離公式

1、§7向量應用舉例7. 1點到直線的距離公式7. 2向量的應用舉例學習目標1了解直線法向量的概念 2會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題及一些實際問題.3.進一步體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具.知識鏈接1 向量可以解決哪些常見的幾何問題？答(1)解決直線平行、垂直、線段相等、三點共線、三線共點等位置關(guān)系.(2) 解決有關(guān)夾角、長度及參數(shù)的值等的計算或度量問題.2 用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”是怎樣的？答(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，距離，夾角等問題；

2、(3) 把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.預習導引1.直線的法向量(1) 直線y= kx+ b的方向向量為(1, k)，法向量為(k, 1).直線Ax+ By + C= 0(A2 + B2豐0)的方向向量為(B， A)，法向量為(A, B).2 .點到直線的距離公式2 2設點M(xo, yo)為平面上任一定點，則點M到直線 Ax+ By+ C= 0(A + B 0)的距離d =|Axo + Byo + C |3 .向量方法在幾何中的應用(1) 證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的等價條件：a/ b(bz0)? a = b? x1y2 x2丫1 = 0.(2) 證明垂直問題，如證明

3、四邊形是矩形、 正方形等，常用向量垂直的等價條件：非零向量a，b， a丄b? a b= 0? X1X2+ Viy2 = 0.求夾角問題，往往利用向量的夾角公式COS 0= ；|b|=寸2； J?； 2 .求線段的長度或證明線段相等，可以利用向量的線性運算、向量模的公式：|a |= ,x2； y2.4 .向量方法在物理中的應用(1)力、速度、加速度、位移都是向 力、速度、加速度、位移的合成與分解就是向量的加、減運篡，運動的疊加亦用到向量的 合成.(3) 動量 mv是數(shù)乘向量.功即是力F與所產(chǎn)生位移s的數(shù)量積.要點一直線法向量(或方向向量)的應用例 1 已知 ABC 的三頂點 A(0, - 4),

4、 B(4,0), C(- 6,2)，點 D、E、F 分別為邊 BC、CA、 AB的中點.(1)求直線 DE、EF、FD的方程；求AB邊上的高線CH所在的直線方程.解 (1)由已知得點 D(- 1,1), E(-3,- 1), F(2, - 2).設點M(x, y)是直線 DE上任一點，則 DM / DE , DM = (x+ 1, y- 1) , DE = (-2 , - 2) , / (-2) X (x+ 1) ( 2)(y- 1) = 0，即 xy + 2= 0為直線DE的方程.同理可求，直線 EF、FD的方程分別為 x+ 5y+ 8= 0 , x+ y= 0.=(4,4) , 4(x+

5、6) + 4(y- 2) = 0,即x+ y+ 4= 0為所求直線 CH所在的直線方程.規(guī)律方法對于解析幾何中的有關(guān)直線平行與垂直問題，常?？梢赞D(zhuǎn)而考慮與直線相關(guān)的向量的共線與垂直，這樣一來將形的問題轉(zhuǎn)化為相關(guān)數(shù)的問題，從而容易將問題解決.跟蹤演練1 求點Po( 1,2)到直線1: 2x+ y- 10= 0的距離.解 方法一 取直線l的一個法向量為n= (2,1),在直線l上任取一點 P(5,0) , PP0= (-6,2),點到直線I的距離d就是PP0在法向量n上的射影.設PP0與n的夾角為0.- d = |PPo|cos 0= |pPo| 導 n|PP0|n|IPPo n|n|故點P0到直

6、線I的距離為2 . 5.方法二由點到直線的距離公式得Axo+ Byo+ c_|_ |2X ( 1 卄 1 X 2 10|d =,A2+ B2 = 5=2 5.要點二 向量在平面幾何中的應用例 2 如圖，已知 Rt OAB 中，/ AOB = 90° OA = 3, OB= 2, M 在 0B 上，且 0M = 1 , N 在0A上，且 ON = 1, P為AM與BN的交點，求/ MPN.O M &解 設OA = a, Ob= b,且 Am , BN的夾角為 0,則 Om = 2b, 0N= 1 a,|AM|= .10, |BN|= .5,“ 5 cos 0=，<5 10

7、23 n又 0 0, n二 0=亍4又/ mpn即為向量Am , BN的夾角,./ MPN = 354 '規(guī)律方法(1)本題可以選擇OA , OB作為基向量，這是兩個互相垂直的向量，選用這組特殊 的基向量可以簡化運算.(2) 本題也可以建立平面直角坐標系進行求解.把平面幾何中求角的問題轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題是平面向量的工具性體現(xiàn)之一，轉(zhuǎn)化時一定要注意向量的方向.跟蹤演練2 已知 ABC中，/ BAC = 60° AB= 4 , AC = 3,求BC的長.解B(4cos 60 ； 4sin 60 ), C(3,0),.Ac = (3,0) , Ab =(2 , 2.3),/ BC

8、 = AC AB = (1 , 2 .3),.IBC= I： 1 + ( 213)2 = , 13要點三 利用向量解決物理中的問題例3在風速為75( 6 2) km/h的西風中，飛機以150 km/h的航速向西北方向飛行，求沒 有風時飛機的航速和航向.解 設向量a表示風速，b表示無風時飛機的航行速度，c表示有風時飛機的航行速度，則c=a + b.如圖，作向量OA= a, OB = b, OC= c,則四邊形 OACB為平行四邊形.過C、B分別作0A的垂線，交AO的延長線于 D、E點.由已知，|0A|= 75(,6 2), |0C|= 150, / COD = 45 °在 Rt COD

9、 中，OD = OCcos 45 = 75羽，CD = 75羽.又 ED = BC = OA= 75( 6 2), OE = OD + ED = 75 6.又 BE = CD = 75 2.在 Rt OEB 中，OB = OE2+ BE2= 150 2,sin/ BOE = OB= 2，|OB|= 150.2, / BOE = 30 °故沒有風時飛機的航速為150.2 km/h，航向為西偏北30°規(guī)律方法用向量的有關(guān)知識研究物理中有關(guān)力與速度等問題的基本思路和方法如下：(1)認真分析物理現(xiàn)象，深刻把握物理量之間的相互關(guān)系；通過抽象、概括，把物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的向量問題；

10、(3) 利用向量知識解決這個向量問題，并獲得這個向量問題的解；(4) 利用這個結(jié)果，對原物理現(xiàn)象作出解釋.跟蹤演練3如圖，在細繩 O處用水平力F2緩慢拉起所受重力為 G的物體，繩子與鉛垂方 向的夾角為0,繩子所受到的拉力為 F1.(1)求|F 1|, |F2|隨角0的變化而變化的情況;當|F 1|< 2|G|時，求角0的取值范圍.|F 1|= cos 0, |F2|TG|tan 0解(1)如圖，由力的平衡及向量加法的平行四邊形法則，得當B從0。趨向于90°寸，|Fi|, |F2|都逐漸變大.1由 |F 1|w 2|G|,得 cos 恃夕又因為 0°< 0<

11、 90° 所以 0°<60°1. 已知直線l1：3x+ y 2 = 0與直線 Zmx y+ 1 = 0的夾角為45°則實數(shù)m的值為1答案 2或1 解析 設直線1仆-的法向量為n 1, n2, 則 n! = (3,1), n2= (m, 1).ln1l 2|10 1 + m2由題意 cos 45 = J?m 1| 2 =¥.1整理得 2m2 3m 2= 0，解得 m = 2 或 m= 2 .已知A(1,2), B( 2,1),以AB為直徑的圓的方程是答案 x2 + y2 + x 3y= 0 解析設P(x, y)為圓上任一點，則Ap= (x

12、1, y 2), BP= (x + 2, y 1), 由AP BP = (x 1)(x+ 2)+ (y 2)(y 1) = 0, 化簡得 x2 + y2 + x 3y= 0.3. 正方形 OABC的邊長為1,點D、E分別為AB、BC的中點，試求 cos/ DOE的值.解 以OA, OC所在直線為坐標軸建立直角坐標系，如圖所示，由題意知：oD = 1, 2, oe =; 1, 故 cos/ DOE = OD °E|OD| |OE|1 x-+-X 12 22 245.4即cos / DOE的值為454一艘船從南岸出發(fā)，向北岸橫渡根據(jù)測量，這一天水流速度為3 km/h，方向正東，風的方向為

13、北偏西30°受風力影響，靜水中船的漂行速度為 3 km/h,若要使該船由南向北沿 垂直于河岸的方向以 2 3 km/h的速度橫渡，求船本身的速度大小及方向.解如圖，設水的速度為 Vi,風的速度為 v2, v1+ v2= a.易求得a的方向是北偏東30°a的大小是 3 km/h.設船的實際航行速度為 V.方向由南向北，大小為 2 3 km/h ,船本身的速度為 V3,貝U a + V3= v,即V3 = v a，數(shù)形結(jié)合知V3的方向是北偏西60°大小是3 km/h.課堂”結(jié)11利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題.利用向量解決平面 幾何問題時

14、，有兩種思路：一種思路是選擇一組基底，利用基向量表示涉及的向量；一種思 路是建立坐標系，求出題目中涉及到的向量的坐標這兩種思路都是通過向量的計算獲得幾 何命題的證明.2. 用向量理論討論物理中相關(guān)問題的步驟一般來說分為四步：（1）問題的轉(zhuǎn)化，把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題；（2）模型的建立，建立以向量為主體的數(shù)學模型；（3）參數(shù)的獲取，求出數(shù)學模型的相關(guān)解； （4）得到答案，回到物理現(xiàn)象 中，用已經(jīng)獲取的數(shù)值去解釋一些物理現(xiàn)象.、基礎達標1.已知A, B, C, D四點坐標分別是（1,0）, （4,3）, （2,4）, （0,2），則此四邊形為（）A .梯形B .菱形C .矩形D .正方形答案 A

15、解析/ AB= (3,3), DC = (2,2), / AB / DC, |AB|m |DC|,.四邊形為梯形.2 當兩人提起重量為|G|的旅行包時，夾角為兩人用力都為|F |,若|F|=|G 則B的值為()A. 30 °B. 60 °C. 90 °D. 120 °答案 D 解析 作 0A= F1, 0B= F2, 0C= G,則 0C= 0A + OB ,當 |F i|= |F2|= |G|時， OAC 為正 三角形，/ AOC = 60° 從而 / AOB = 120°> >> > >3 .平面上有

16、四個互異點狀是()A .直角三角形C .等腰直角三角形答案 B的形B .等腰三角形D.無法確定A、B、C、D，已知(DB + DC 2DA) (AB AC) = 0，則 ABC解析 由(DB + DC 2DA) (AB AC)= 0,>->->->得(DB DA) + (DC DA) (AB AC) = 0,所以(AB+ AC) (AB AC)= 0.所以 |AB|2 |AC|2= 0, |AB|= |AC|,故厶ABC是等腰三角形.4. 已知直線li的方向向量為 a = (1,3)，直線12的方向向量為 b= ( 1,k),若直線12過點(0,5), 且11丄12，則

17、直線12的方程是()A . x + 3y 5= 0B . x+ 3y 15= 0C. x 3y+ 5= 0D . x 3y+ 15= 0答案 B解析 / l1±l2, a± b, a b= 1+ 3k= 0,1 1- k = 3, I2 的方程為 y= §x+ 5，即 x+ 3y 15= 0.故選B.5. 過點A( 2,1)且平行于向量a= (3,1)的直線方程為 .答案 x 3y+ 5= 0解析 設P(x, y)是所求直線上的任一點，AP= (x+ 2, y 1)./ AP / a. (x + 2) x 1 3(y 1) = 0.即所求直線方程為X 3y+ 5

18、= 0.6. 已知點A( 1,2) ,B(0, 2)，若點D在線段AB上，且2|AD|= 3|BD|,則點D的坐標為 .答案-5， 2解析 由題意得 OD = oA + AD = oA + |ab =( 1,2)+ |(i, 4)= | ,所以 D 2 2D I 5，5丿CE AF7 .如圖，點 0是?ABCD的對角線 AC, BD的交點，E, F分別在邊 CD , AB上，且ED =而1=2.D ECA F»求證：點E, 0 , F在同一直線上.證明設 AB= a, AD = b,由E, F分別為對應邊的三等分點，得FO = FA+ AO = _F在豎直方向上的分力的大小為|F 1

19、|=|F|sin 30 =50X- = 25(N).則 f = Kmg |F 1|)= 0.02X (8X 10-25) = 1.1(N).所以 f s= |f| |s|cos 180 = 1.1 X 20X (- 1) =- 22(J).即F與f所做的功分別是 500 .3 J與一22 J. a+ 2Ac= 3a + 2( a+ b)1 1=6 a+ 2 b，f1 f 1 f 11OE = OC + CE = ?AC + 3CD = 2( a+ b) 3 a1 16 a+ 2 b.所以FO = Ol.又因為0為其公共點，所以點 E, 0, F在同一直線上.二、能力提升8 .已知直線11： (

20、m + 2)x+ 3my+ 1 = 0與直線I2： (m 2)x+ (m + 2)y 3 = 0相互垂直，則實數(shù)m的值是()1A . 2B.2答案 C1 解析 (m+ 2)(m 2) + 3m(m+ 2) = (m+ 2)(4m 2) = 0. / m= 2或才9 在四邊形 ABCD中，AC = (1,2), BD = (-4,2)，則四邊形的面積為()A. 5B 2 5C 5D 10答案 C解 因為在四邊形 ABCD 中，Ac = (1,2), BD = (-4,2), AC BD = 0,所以四邊形ABCD的對角線互相垂直，又 |AC|=11 12. 在 ABC中，AB= AC, D為AB

21、的中點，E ACD的重心，F(xiàn)ABC的外心，證明:EF丄 CD.證明 建立如圖所示的平面直角坐標系. + 22=5,|BD|= . - 4 2+ 22= 2 .5,1 f f該四邊形的面積：-|AC| |BD|1=2X 5X 2 5= 5.10. 已知曲線C: x=- 4-y2, 直線I: x= 6若對于點 A(m,0)，存在C上的點P和I上的點Q使得AP + Aq = 0,貝y m的取值范圍為 .答案2,3解析 由Ap+ Aq = 0知A是PQ的中點，設P(x, y),則Q(2m-x, - y),由題意一2< x< 0,2m x = 6,解得 2w mW 3.11. 如圖所示，已知

22、力 F與水平方向的夾角為 30 °斜向上)，大小為50 N，一個質(zhì)量為8 kg 的木塊受力F的作用在動摩擦因數(shù) 尸0.02的水平平面上運動了 20 m .問力F和摩擦力f所 做的功分別為多少？ (g= 10 m/s2)3解 設木塊的位移為 s,貝y W= F s= |F| |s|cos 30 = 50 X 20X 專=503(J).設 A(0, b), B(- a,0), C(a,O),a b 則 D(-2, 2)，f3 bCD = ( 2a, b)易知 ABC的外心F在y軸上，可設為(0, y) 由 |AF|=|CF|，得(y- b)2= a2+ y2,h2 a2 2 a2 所以

23、y=專，即 f(0 ,詈).由重心坐標公式，得 E(|, 2),2所以f=(-即-話)2所以 CD EF = (-|a) X (-肖 + jx (- 2) = 0,所以Cd丄EF，即EF丄CD.三、探究與創(chuàng)新13.如圖，在?ABCD中，點E、F分別是AD、DC邊的中點，BE、BF分別與AC交于R、T兩點.求證：AR = RT= TC.fff證明設AB= a, AD = b, AR= r,則 Ac = a+ b.由于 AR/ Ac ,所以設 r= n(a + b), n R.-fff1又 EB = AB-AE = a-尹,ER/ EB,故設 ER = mEB= ma-b tff f1 AR= AE+ ER, r= 2所以 n(a+ b)= 2b+ m a -為,即（n m）a +n m= 0,由于a與b不共線，故必有! m 1n + 2= °，1解得m= n=-,3同理TC = -AC，于是 RT= -AC.