ch6凸集和凹函數(shù)課件

1、ch6凸集和凹函數(shù)PPT課件6 凸集和凹函數(shù)ch6凸集和凹函數(shù)PPT課件ch6凸集和凹函數(shù)PPT課件ch6凸集和凹函數(shù)PPT課件凸組合和凸包 定理6.1.6 集合X是凸集的充要條件是X中點(diǎn)的任意凸組合都屬于X. 定義6.1.8 凸包(Convex Hull)令X是R中的集合。包含X的最小的凸集稱(chēng)為X的凸包，記為convX. ch6凸集和凹函數(shù)PPT課件定理6.1.9 X的凸包是由X中元素的所有凸組合組成的集合，即：ch6凸集和凹函數(shù)PPT課件6.2 凹函數(shù)凹性和擬凹性是數(shù)學(xué)規(guī)劃中兩個(gè)重要的概念。一元實(shí)函數(shù)取得局部極大值的條件。一階條件f(x)=0是局部極大值的必要但不充分的條件。它告訴我們,f

2、在x處的切線必須是水平的，這對(duì)于局部極大值肯定是正確的，但對(duì)于局部極小值也是如此。為了將極大值與極小值分開(kāi)，我們需要運(yùn)用根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)得出的二階（充分）條件。對(duì)于一元函數(shù)， f(x) 0說(shuō)明了f在x的鄰域中是凹函數(shù)。直觀地看，函數(shù)的凹性意味著對(duì)于水平切線函數(shù)的圖形是“峰”而不是“谷”。而且，若f是整體凹的，則f只有一個(gè)“峰”，而且沒(méi)有“谷”。因此，一旦找到點(diǎn)x使得f(x )=0 ，我們就能得到函數(shù)的整體極大值。 ch6凸集和凹函數(shù)PPT課件總之，對(duì)于沒(méi)有約束的極大化的二階條件等于檢驗(yàn)f在臨界點(diǎn)的鄰域中的凹性。若函數(shù)是整體凹的，局部極大值也就是整體極大值。類(lèi)似的結(jié)論可以用到更復(fù)雜的規(guī)劃問(wèn)題中，但那

3、時(shí)我們還需考慮約束函數(shù)的曲率。ch6凸集和凹函數(shù)PPT課件ch6凸集和凹函數(shù)PPT課件光滑函數(shù)的凹性一階條件：一階條件：定理6.2.17 令f:RnX R是定義在開(kāi)凸集X上的C1函數(shù)，則f是凹函數(shù)的充要條件為：對(duì)于X中任意給定的點(diǎn)x0和x，有：ch6凸集和凹函數(shù)PPT課件ch6凸集和凹函數(shù)PPT課件二階條件：二階條件：注意到，海森矩陣負(fù)定是注意到，海森矩陣負(fù)定是f 嚴(yán)格凹的充分而不嚴(yán)格凹的充分而不必要的條件。必要的條件。ch6凸集和凹函數(shù)PPT課件擬凹函數(shù)定義 6.3.1 擬凹函數(shù) 令f:RnX R是定義在凸集X上的實(shí)值函數(shù)。若對(duì)X中任意點(diǎn)x和x ，以及任意0,1，有：ch6凸集和凹函數(shù)PPT課件ch6凸集和凹函數(shù)PPT課件結(jié)論是：由凹性可以推出擬凹性。嚴(yán)格凹性可以推出嚴(yán)格擬凹性，但是反過(guò)來(lái)不成立。擬凹性比凹性弱，擬凹函數(shù)不具有凹函數(shù)的某些性質(zhì)。不同于凹函數(shù)，擬凹函數(shù)在定義域中某些內(nèi)點(diǎn)處