高數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用

1、高等數(shù)學(xué)知識在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用舉例由于現(xiàn)代化生產(chǎn)發(fā)展的需要，經(jīng)濟(jì)學(xué)中定量分析有了長足的進(jìn)步，數(shù)學(xué)的一些分支如數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計、微分方程等等已進(jìn)入經(jīng)濟(jì)學(xué)，出現(xiàn)了數(shù)理統(tǒng)計學(xué)、經(jīng)濟(jì)計量學(xué)、經(jīng)濟(jì)控制論等新分支，這些新分支通常成為數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)。數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的目的在于探索客觀經(jīng)濟(jì)過程的數(shù)量規(guī)律，以便用來知道客觀經(jīng)濟(jì)實(shí)踐。應(yīng)用數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)研究客觀經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的關(guān)鍵就是要把所考察的對象描述成能夠用數(shù)學(xué)方法來解答的數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)模型。這里我們簡單介紹一下一元微積分與多元微積分在經(jīng)濟(jì)中的一些簡單應(yīng)用。一、復(fù)利與貼現(xiàn)問題1、復(fù)利公式貨幣所有者（債權(quán)人）因貸出貨幣而從借款人（債務(wù)人）手中所得之報酬稱為利息。利息以“期”，即

2、單位時間（一般以一年或一月為期）進(jìn)行結(jié)算。在這一期內(nèi)利息總額與貸款額（又稱本金）之比，成為利息率，簡稱利率，通常利率用百分?jǐn)?shù)表示。如果在貸款的全部期限內(nèi)，煤氣結(jié)算利息，都只用初始本金按規(guī)定利率計算，這種計息方法叫單利。 在結(jié)算利息時， 如果將前一期之利息于前一期之末并入前一期原有本金，并以此和為下一期計算利息的新本金，這就是所謂的復(fù)利。通俗說法就是“利滾利”。下面推出按福利計息方法的復(fù)利公式?，F(xiàn)有本金a0，年利率r=p%，若以復(fù)利計息，t 年末 a0將增值到at，試計算at。若以年為一期計算利息：一年末的本利和為a1=a0（1+r）二年末的本利和為a2=a0（1+r）+a0（1+r）r= a0

3、（1+r）2類推， t 年末的本利和為at= a0（1+r）t（ 1）若把一年均分成m 期計算利息，這時，每期利率可以認(rèn)為是rm，容易推得0(1)mttraam（2）公式（ 1）和（ 2）是按離散情況計息的“期”是確定的時間間隔，因而計息次數(shù)有限推得的計算at的復(fù)利公式。若計息的“期”的時間間隔無限縮短，從而計息次數(shù)m，這時，由于000lim(1)lim(1) mmtrtrtrmmrraaa emm所以，若以連續(xù)復(fù)利計算利息，其復(fù)利公式是0rttaa e例 1a0100 元， r=8%，t 1，則一年計息1 期1100(10.08)108()a元一年計息2 期210.08100 (1)108.

4、16()2a元一年計息4 期410.08100 (1)108.243()4a元一年計息12 期1210.08100 (1)108.300()12a元一年計息100 期10010.08100 (1)108.325()100a元連續(xù)復(fù)利計息0.081100108.329()ae元2、實(shí)利率與虛利率由例1 知，年利率相同，而一年計息期數(shù)不同時，一年所得之利息也不同。當(dāng)年利率為 8，一年計息1 期，確實(shí)按8計算利息；一年計息2 期，實(shí)際上所得利息是按8.16計算的結(jié)果；一年計息4 期，實(shí)際上所得利息是按8.243計算；一年計息12 期，實(shí)際上是按 8.3計算；一年計息100 次，實(shí)際所得利息是按8.3

5、25 計算利息。這樣，對于年期以下的復(fù)利，我們稱年利率8為虛利率或名義利率，而實(shí)際計算利息之利率稱為實(shí)利率。如8.16為一年復(fù)利2 期的實(shí)利率， 8.3為一年復(fù)利12 期的實(shí)利率，8.329為一年連續(xù)復(fù)利的實(shí)利率。記 r 為名義年利率， rm為一年計息m 期的實(shí)利率， 本金 a0，按名義利率一年計息m 期，一年末將增值到a0（1+rm）m，按實(shí)利率計息，一年末將增值到a0（1+rm） 。于是，有1+rm（ 1+rm）m，即(1)1mmrrm是離散情況下實(shí)利率與虛利率之間的關(guān)系式。若記 rm為連續(xù)復(fù)利的實(shí)利率，由于lim(1)mrmrem所以，實(shí)利率與虛利率之間的關(guān)系為1rmre。3、數(shù) e 的

6、經(jīng)濟(jì)解釋設(shè)年利率為100%，連續(xù)復(fù)利計息，一元本金到年末的本利和為)()11 (lim元emmm這就是說，按名義利率100%，連續(xù)復(fù)利計息，一元本金年末將增長到e 元。這可作為數(shù) e 的經(jīng)濟(jì)解釋。由于71828.2e，所以，這是的實(shí)利率大約為172。4、貼現(xiàn)問題我們已經(jīng)知道，初時本金a0，年利率r，t 年末的本利和at，以年為期的復(fù)利公式是ttraa)1 (0，一年均分為m 期的復(fù)利公式是mttmraa)1(0，連續(xù)復(fù)利公式是rtteaa0。若稱 a0為現(xiàn)在之， at為未來值，一只現(xiàn)在值求未來值是復(fù)利問題，與此相反，若已知未來值 at求現(xiàn)在值a0，則稱貼現(xiàn)問題，這時利率r 稱為貼現(xiàn)率。由復(fù)利公

7、式，容易推得：離散的貼現(xiàn)公式為ttraa)1 (0mttmraa)1 (0連續(xù)的貼現(xiàn)公式為rtteaa0例 2 設(shè)年利率為6.5，按連續(xù)復(fù)利計算，現(xiàn)投資多少元，16 年之末可得1200 元。這里，貼現(xiàn)率r=6.5，未來值at=1200，t=16。所以，現(xiàn)在值（元）15.4248292.212001200120004. 116065.00eeeaartt增長率設(shè)變量 y 是時間 t 的函數(shù) y = f (t) ，則比值)()()(tftfttf為函數(shù) f (t) 在時間區(qū)間,ttt上的相對改變量；如果f (t)可微，則定義極限)()()()()(lim0tftftfttfttft為函數(shù) f (t

8、) 在時間點(diǎn)t 的瞬時增長率。對指數(shù)函數(shù)rteay0而言，由于reareaydtdyrtrt00，因此，該函數(shù)在任何時間點(diǎn)t上都以常數(shù)比率r 增長。這樣，關(guān)系式rtteaa0（ *）就不僅可作為復(fù)利公式，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中還有廣泛的應(yīng)用。如企業(yè)的資金、投資、國民收入、人口、 勞動力等這些變量都是時間t 的函數(shù)，若這些變量在一個較長的時間內(nèi)以常數(shù)比率增長，都可以用（ *）式來描述。因此，指數(shù)函數(shù)rtea0中的“ r”在經(jīng)濟(jì)學(xué)中就一般的解釋為在任意時刻點(diǎn)t 的增長率。如果當(dāng)函數(shù)rtea0中的 r 取負(fù)值時，也認(rèn)為是瞬時增長率，這是負(fù)增長，這時也稱r 為衰減率。貼現(xiàn)問題就是負(fù)增長。例 3 某國現(xiàn)有勞動力兩千

9、萬，預(yù)計在今后的50 年內(nèi)勞動力每年增長2%，問按預(yù)計在2056 年將有多少勞動力。由于未來值a0=2000，r=0.02，t=50，所以， 50 年后將有勞動力（萬）56.543671828.2200020005002.050ea例 4 某機(jī)械設(shè)備折舊率為每年5，問連續(xù)折舊多少年，其價值是原價值的一半。若原價值為a0，經(jīng)t 年后，價值為021a，這里r=-0.05。由teaa05.00021，若取6931. 02ln，易算出 t=13.86（年） ，即大約經(jīng)過13.86 年，機(jī)械設(shè)備的價值是原價值的一半。二、級數(shù)應(yīng)用舉例1、銀行通過存款和放款“創(chuàng)造”貨幣問題商業(yè)銀行吸收存款后，必須按照法定的

10、比率保留規(guī)定數(shù)額的法定準(zhǔn)備金，其余部分才能用作放款。 得到一筆貸款的企業(yè)把它作為活期存款，存入另一家銀行，這銀行也按比率保留法定準(zhǔn)備金，其余部分作為放款。如此繼續(xù)下去，這就是銀行通過存款和放款“創(chuàng)造”貨幣。設(shè) r 表示最初存款，d 表示存款總額（即最初存款“創(chuàng)造”的貨幣總額），r 表示法定準(zhǔn)備金占存款的比例，ru，每單位時間內(nèi)凈增加存貨為p-u，到時刻t1終了庫存出現(xiàn)一個頂點(diǎn)，這時，庫存量為t1(p-u)。由于經(jīng)歷時間t1到貨總量為q，因此1qtp，從而最大庫存量為()(1)qupuqpp這種庫存模型的庫存水平變動情況如圖3 所示。錯誤 !未指定書簽。這樣，在一個計劃期內(nèi)，平均庫存量應(yīng)為最大庫

11、存量之半，因而庫存費(fèi)為1(1)2c qup。本問題中，因為生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)或訂購費(fèi)與“成批到貨，不許短缺”庫存模型一樣，因此，存貨總費(fèi)用e 與每批數(shù)量q 的函數(shù)關(guān)系，即目標(biāo)函數(shù)是12()(1),(0,(5)2c quc dee qxdpq為決策變量q，由極值的必要條件和充分條件，容易算得，經(jīng)濟(jì)批量*2121(6)1dcqcup這時，庫存總費(fèi)用的最小值*1211(7)uedc cp最優(yōu)批量q*的表達(dá)式（ 6）也可由下式得到：12(1)2c quc dpq例 2 同例 1，但產(chǎn)品陸續(xù)存入倉庫，每月到貨200 臺，試確定經(jīng)濟(jì)批量和最佳費(fèi)用。解 已知條件是：1210001605000/dccpu1000臺，

12、臺，元；200臺/ 月,臺 月12由（ 5） （6） （7）可得經(jīng)濟(jì)批量為327.3 臺，這時最佳費(fèi)用為30550 元。（三） 成批到貨，允許短缺的模型前面討論的兩個庫存模型是不允許缺貨。允許缺貨是指，缺貨時未能滿足的需求，在下一批貨物到貨時要予以滿足，而且缺貨時的需求直接輸出而不經(jīng)過庫存。其它情況同模型一。如果缺貨帶來的損失很小，且不會因暫時缺貨而失去銷售機(jī)會，缺貨現(xiàn)象是允許存在的。允許缺貨情況，庫存水平變動情況見圖4。圖中的 t 是一個存貯循環(huán)延續(xù)時間，從前一批到貨至庫存量減少為0 的時間為t1，從庫存是0 至下一批貨物到達(dá)的時間為t2。錯誤 !未指定書簽。這里尚需補(bǔ)充假設(shè)b：庫存得到補(bǔ)充

13、之前的允許缺貨量；c3：在一個計劃期內(nèi)，缺一件產(chǎn)品的損失費(fèi)。需要注意的是每批投產(chǎn)或每次訂購的數(shù)量q 包括了最大的允許缺貨量b。本庫存模型中，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)與訂購費(fèi)與前面模型相同：2c dq庫存費(fèi)：因有貨時間t1占一個存貯循環(huán)時間的比率為1tt，所以，在一個機(jī)會期內(nèi)，有貨時間所占比率也為1tt。有貨時，最大庫存量為q-b，從而平均庫存量為2qb，由圖4中 相似三角形易知1tqbtq因此，在一個計劃期內(nèi)，庫存費(fèi)為2111()()22tc qbcqbtq缺貨費(fèi)：在缺貨時間t2占一個存貯循環(huán)時間的比率為2tt，在一個計劃期內(nèi)，缺貨總時間所占比例也為2tt。最大缺貨量為b，因此，平均缺貨量為2b，由圖 4

14、的相似三角形得知2tbtq。因此，在一個計劃期內(nèi)，缺貨量為232322c btc btq. 綜上，在一個計劃期內(nèi)，庫存總費(fèi)用22213(),(8)22c dcqbc beqqq或?qū)懽?21131(),(8 )22c dc qccbec bqq這是該問題的目標(biāo)函數(shù)。現(xiàn)在的問題是決策兩個變量q 和 b，以使目標(biāo)函數(shù)取極小值。根據(jù)（ 8 ）式，由二元函數(shù)極值存在的必要條件，有2211322113()022()0ec dcccbqqqebcccbq解該方程組，可得*213132(9)dcccqcc*121133132(10)cdccbqccccc可以驗證極值存在的充分條件滿足：2(*,*)20qbeq

15、，2222(*,*)22()0qbeeeq bqb因此，將*,*qqbb代入（ 8）式，可得存貨總費(fèi)用的最小值：*312132(11)cedc ccc比較（ 9）式和（ 3）式，如果缺一件產(chǎn)品的損失費(fèi)c3為無窮大，因3133lim1cccc，則（ 9）式就是（ 3）式，這表明：不允許缺貨可視為缺貨損失為無窮大的情況。此式，又因3113lim0cccc，由（ 10）式知，恰有缺貨量b*=0。例 3 某廠，一年勞動日為300 天，生產(chǎn)率（單位時間內(nèi)的產(chǎn)量）固定，一年可組裝機(jī)床 1500 臺；若組裝一臺機(jī)床的零部件價值14400 元，而一年的保管費(fèi)為其價值的22，因缺零部件而停工，少裝一臺機(jī)床的損失

16、費(fèi)為零部件價值的50；又每次訂購零部件的手續(xù)費(fèi)為 7500 元，為使一年存貨總費(fèi)用最小，試就下列各種情況決策最優(yōu)批量和允許缺貨量（如果允許缺貨的話）并計算最佳費(fèi)用：（1） 不管每次訂購數(shù)量為多少，都可立即到貨，不允許停工待料；（2） 若訂貨后，每天可到貨30 臺機(jī)床的零部件，不允許停工待料；（3） 不管每次訂貨多少，都可立即到貨，允許停工待料，但缺料時未完成的任務(wù)，當(dāng)?shù)截浐?，可不占勞動日就能完成。?由題設(shè)知12315001440022%316875001440050%7200/dcccpu臺，元，元元150030臺/ 天,5臺 天300（1）這是成批到貨，不許缺貨的情況。目標(biāo)函數(shù)為：316815007500()2ee qqq，由（ 2）式得最優(yōu)批量84.27，可取 q*=84 臺；由目標(biāo)函數(shù)可得最佳費(fèi)用e*266985 元。（2）這是陸續(xù)到貨，不許短缺的情況。目標(biāo)函數(shù)為3168515007500()(1),230qee qq由（ 6）式得最優(yōu)批量92.3，取 q*=92 臺；最佳費(fèi)用e*243723 元。下面，比較成批到貨和陸續(xù)到貨兩種情況：成批到貨陸續(xù)到貨最優(yōu)批量最大庫存水平一年訂購次數(shù)一年總費(fèi)用q