高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破_難點(diǎn)09__指數(shù)、對數(shù)函數(shù)

1、難點(diǎn) 9 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)問題指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，本節(jié)主要幫助考生掌握兩種函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)并會(huì)用它們?nèi)ソ鉀Q某些簡單的實(shí)際問題. 難點(diǎn)磁場( )設(shè) f(x)=log2xx11,f(x)=x21+f(x). (1)試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義，給出證明；(2)若 f(x)的反函數(shù)為f1(x),證明：對任意的自然數(shù)n(n3),都有 f1(n)1nn; (3)若 f(x)的反函數(shù)f1(x),證明：方程f1(x)=0 有惟一解 . 案例探究例 1已知過原點(diǎn)o 的一條直線與函數(shù)y=log8x 的圖象交于a、b 兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)a、b 作 y 軸的平行線與函數(shù)

2、y=log2x 的圖象交于c、d 兩點(diǎn) .(1)證明： 點(diǎn) c、d 和原點(diǎn) o 在同一條直線上；(2)當(dāng) bc 平行于 x 軸時(shí)， 求點(diǎn) a 的坐標(biāo) . 命題意圖：本題主要考查對數(shù)函數(shù)圖象、對數(shù)換底公式、對數(shù)方程、指數(shù)方程等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析能力和運(yùn)算能力 .屬級題目. 知識依托： (1)證明三點(diǎn)共線的方法：koc=kod. (2)第(2)問的解答中蘊(yùn)涵著方程思想，只要得到方程(1)，即可求得a 點(diǎn)坐標(biāo) . 錯(cuò)解分析：不易考慮運(yùn)用方程思想去解決實(shí)際問題. 技巧與方法：本題第一問運(yùn)用斜率相等去證明三點(diǎn)共線；第二問運(yùn)用方程思想去求得點(diǎn)a 的坐標(biāo) . (1)證明：設(shè)點(diǎn)a、b 的橫坐標(biāo)分別為x1

3、、 x2,由題意知： x11,x21,則 a、 b 縱坐標(biāo)分別為log8x1,log8x2.因?yàn)?a、b 在過 點(diǎn)o的直 線上，所 以228118loglogxxxx, 點(diǎn)c 、d坐 標(biāo)分別 為 (x1,log2x1),( x2,log2x2), 由于log2x1=2loglog818x=2logloglog,log38282218xxx3log8x2,所以 oc 的斜率： k1=118212log3logxxxx, od 的斜率： k2=228222log3logxxxx，由此可知： k1=k2,即 o、c、d 在同一條直線上. (2)解：由 bc 平行于 x 軸知： log2x1=log8

4、x2即： log2x1=31log2x2,代入 x2log8x1=x1log8x2得： x13log8x1=3x1log8x1,由于x11 知 log8x10,x13=3x1.又 x11,x1=3,則點(diǎn) a 的坐標(biāo)為 (3，log83). 例 2 在 xoy 平面上有一點(diǎn)列p1(a1,b1),p2(a2,b2),pn(an,bn), ,對每個(gè)自然數(shù)n 點(diǎn) pn位于函數(shù) y=2000(10a)x(0a1)的圖象上，且點(diǎn)pn,點(diǎn)(n,0)與點(diǎn) (n+1,0)構(gòu)成一個(gè)以pn為頂點(diǎn)的等腰三角形. (1)求點(diǎn) pn的縱坐標(biāo)bn的表達(dá)式；(2)若對于每個(gè)自然數(shù)n,以 bn,bn+1,bn+2為邊長能構(gòu)成一

5、個(gè)三角形，求a 的取值范圍；(3)設(shè) cn=lg(bn)(nn*),若 a 取(2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列 cn 前多少項(xiàng)的和最大？試說明理由. 命題意圖：本題把平面點(diǎn)列，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)、最值等知識點(diǎn)揉合在一起，構(gòu)成一個(gè)思維難度較大的綜合題目，本題主要考查考生對綜合知識分析和運(yùn)用的能力.屬級題目. 知識依托：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及數(shù)列、最值等知識. 錯(cuò)解分析：考生對綜合知識不易駕馭，思維難度較大，找不到解題的突破口. 技巧與方法：本題屬于知識綜合題，關(guān)鍵在于讀題過程中對條件的思考與認(rèn)識，并會(huì)運(yùn)用相關(guān)知識點(diǎn)去解決問題. 解： (1) 由題意知： an=n+21,bn=2000(10a)2

6、1n. (2)函數(shù) y=2000(10a)x(0abn+1bn+2.則以 bn,bn+1,bn+2為邊長能構(gòu)成一個(gè)三角形的充要條件是bn+2+bn+1bn,即(10a)2+(10a)10,解得 a5(51).5(51)a10. (3)5(51)a10,a=7 bn=2000(107)21n.數(shù)列 bn是一個(gè)遞減的正數(shù)數(shù)列，對每個(gè)自然數(shù)n2,bn=bnbn1.于是當(dāng)bn1 時(shí)， bnbn1,當(dāng) bn1 時(shí)， bnbn1,因此數(shù)列 bn的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)n 滿足不等式bn 1 且 bn+11 時(shí)，函數(shù) y=logax 和 y=(1a)x 的圖象只可能是( ) 二、填空題3.( )已知函數(shù) f(x)=)

7、02()(log)0(22xxxx.則 f-1(x1)=_. 4.( )如圖，開始時(shí)，桶1 中有 a l 水，t 分鐘后剩余的水符合指數(shù)衰減曲線 y= aent,那么桶 2 中水就是y2=aaent,假設(shè)過 5 分鐘時(shí)，桶1 和桶 2 的水相等，則再過_分鐘桶 1 中的水只有8a. 三、解答題5.( )設(shè)函數(shù) f(x)=loga(x3a)( a0 且 a1),當(dāng)點(diǎn) p(x,y)是函數(shù) y=f(x)圖象上的點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)q(x 2a,y)是函數(shù) y=g(x)圖象上的點(diǎn) . (1)寫出函數(shù)y=g(x)的解析式；(2)若當(dāng) x a+2,a+3時(shí)，恒有 |f(x)g(x)|1,試確定 a 的取值范圍 . 6

8、.( )已知函數(shù) f(x)=logax(a0 且 a1),( x(0,+),若 x1,x2(0,+),判斷21f(x1)+f(x2)與 f(221xx)的大小，并加以證明. 7.( )已知函數(shù)x,y 滿足 x1,y 1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a0 且 a1),求 loga(xy)的取值范圍 . 8.( )不等式 2(log21x)2+9(log21x)+90 的解集為m， 求當(dāng) xm 時(shí)函數(shù) f(x)=(log22x)(log28x)的最大、最小值 . 參考答案難點(diǎn)磁場解： (1) 由xx110,且 2x0 得 f(x)的定義域?yàn)?(1，1)，設(shè)

9、1x1x21,則f(x2)f(x1)=(122121xx)+(11222211log11logxxxx) )1)(1()1)(1(log)2)(2(212122112xxxxxxxx, x2x10,2x10,2x20,上式第2 項(xiàng)中對數(shù)的真數(shù)大于1. 因此 f(x2)f(x1)0,f(x2)f(x1),f(x)在(1，1）上是增函數(shù). (2)證明：由y=f(x)=xx11log2得： 2y=1212,11yyxxx, f1(x)=1212xx,f(x)的值域?yàn)閞， f-1(x)的定義域?yàn)閞. 當(dāng) n3 時(shí)， f-1(n)1221111221112121nnnnnnnnnn. 用數(shù)學(xué)歸納法易證2

10、n2n+1(n 3),證略. (3)證明： f(0)=21,f1(21)=0, x=21是 f1(x)=0 的一個(gè)根 .假設(shè) f1(x)=0 還有一個(gè)解x0(x021),則 f-1(x0)=0,于是 f(0)=x0(x021).這是不可能的，故f-1(x)=0 有惟一解 . 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、 1.解析：由題意：g(x)+h(x)=lg(10 x+1) 又 g(x)+h(x)=lg(10 x+1).即 g(x)+h(x)=lg(10 x+1) 由得： g(x)=2x,h(x)=lg(10 x+1)2x. 答案： c 2.解析：當(dāng)a1 時(shí)，函數(shù)y=logax 的圖象只能在a 和 c 中選，又a1

11、時(shí)， y=(1a)x 為減函數(shù) . 答案： b 二、 3.解析：容易求得f- 1(x)=)1(2)1(log2xxxx,從而：f1(x1)=).2(,2)2(),1(log12xxxx答案：)2(,2)2(),1(log12xxxx4.解析：由題意， 5 分鐘后， y1=aent,y2=aaent,y1=y2.n=51ln2.設(shè)再過 t 分鐘桶 1 中的水只有8a,則 y1=aen(5+t)=8a,解得 t=10. 答案： 10 三、 5.解： (1)設(shè)點(diǎn) q 的坐標(biāo)為 (x,y),則 x=x2a,y=y.即 x=x+2a,y=y. 點(diǎn) p(x,y)在函數(shù) y=loga(x3a)的圖象上，y=

12、loga(x+2a3a),即 y=logaax21,g(x)=logaax1. (2)由題意得 x3a=(a+2)3a=2a+20;ax1=aa)3(10,又 a0 且 a 1, 0a1,|f(x)g(x)|=|loga(x3a)logaax1|=|loga(x24ax+3a2)|f(x)g(x)|1, 1loga(x24ax+3a2)1, 0a1,a+22a.f(x)=x24ax+3a2在a+2,a+3上為減函數(shù)，(x)=loga(x24ax+3a2)在 a+2,a+3上為減函數(shù)，從而(x)max=(a+2)=loga(44a),(x)min=(a+3)=loga(96a),于是所求問題轉(zhuǎn)化

13、為求不等式組1)44(log1)69(log10aaaaa的解 . 由 loga(96a) 1 解得 0a12579,由 loga(44a)1 解得 0a54, 所求 a 的取值范圍是0 a12579. 6.解： f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2, x1,x2(0,+),x1x2(221xx)2(當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)取“ =”號 )，當(dāng) a1 時(shí)，有 logax1x2loga(221xx)2, 21logax1x2loga(221xx)，21(logax1+logax2)loga221xx, 即21f(x1)+f(x2)f(221xx)(當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)

14、取“ =”號 ) 當(dāng) 0a1 時(shí)，有 logax1x2loga(221xx)2, 21(logax1+logax2)loga221xx,即21f(x1)+f(x2)f(221xx)(當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)取“ =”號） . 7.解：由已知等式得：loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax1)2+(logay1)2=4,令 u=logax,v=logay,k=logaxy,則(u1)2+(v1)2=4(uv0),k=u+v.在直角坐標(biāo)系uov 內(nèi)， 圓弧 (u1)2+(v1)2=4(uv0)與平行直線系v=u+k有公共點(diǎn)，分兩類討論 . (1)當(dāng) u0,v0 時(shí)，即 a1 時(shí)，結(jié)合判別式法與代點(diǎn)法得1+3k2(1+2); (2)當(dāng) u0,v0,即 0a1 時(shí)，同理得到2(12)k 13.x 綜上，當(dāng)a1 時(shí)， logaxy 的最大值為2+22，最小值為1+3；當(dāng) 0a 1 時(shí)， logaxy 的最大值為13，最小值為222. 8.解： 2(21logx)