創(chuàng)意平板折疊桌

1、2014高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書(shū)我們仔細(xì)閱讀了全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽章程和全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽參賽規(guī)則（以下簡(jiǎn)稱(chēng)為“競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢(xún)等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽章程和參賽

2、規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們授權(quán)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開(kāi)展示（包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書(shū)籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)）： B 我們的報(bào)名參賽隊(duì)號(hào)為（8位數(shù)字組成的編號(hào)）： 22015016 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)完整的全名）： 長(zhǎng)江師范學(xué)院 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 李慧敏 2. 陳英 3. 劉霜 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 陳波濤 日期： 2014 年 9 月 15 日2014高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專(zhuān) 用 頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)

3、）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：創(chuàng)意平板折疊桌的設(shè)計(jì)摘要空間是蘊(yùn)含豐富、用之不竭的寶貴資源，近年來(lái)，空間的有效利用開(kāi)始受到人們的廣泛關(guān)注。能夠有效節(jié)省空間的“創(chuàng)意平板折疊桌”應(yīng)運(yùn)而生，這不僅滿(mǎn)足了人們需求又能有效地節(jié)省空間。利用數(shù)學(xué)建模知識(shí)，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，我們對(duì)“創(chuàng)意平板折疊桌”問(wèn)題給出了如下解答：?jiǎn)栴}一 ：在給定了木板大小的情況下，要做出相應(yīng)高度的折疊桌。通過(guò)反復(fù)觀看圖片視頻，并結(jié)合給定的數(shù)據(jù)，我們首先通過(guò)分析折疊桌折疊和展開(kāi)兩種狀態(tài)的三視圖，得到兩種狀態(tài)中鋼筋的不同位置，經(jīng)過(guò)分析計(jì)

4、算，我們得到開(kāi)槽長(zhǎng)度就是鋼筋兩次位置沿木條方向的距離，其中正中間木條的開(kāi)槽長(zhǎng)度最大，為cm，從而得到木條的開(kāi)槽長(zhǎng)度取值范圍為。其次，通過(guò)建立以圓桌面（展開(kāi)狀態(tài)）的圓心為原點(diǎn)的三維直角坐標(biāo)系，以桌腿長(zhǎng)度為參數(shù)，我們給出桌腳邊緣線數(shù)學(xué)描述。問(wèn)題二：在考慮到折疊桌的穩(wěn)定性、實(shí)用性的前提下，設(shè)計(jì)出相應(yīng)直徑和高度的最省材料的圓桌。首先，在研究問(wèn)題一的基礎(chǔ)上，并結(jié)合實(shí)際情況，作出合理假設(shè)，以尺寸隨鋼筋位置、開(kāi)槽長(zhǎng)度為變量，確定目標(biāo)函數(shù)；然后通過(guò)對(duì)任意木條（展開(kāi)狀態(tài)正視圖）進(jìn)行分析，結(jié)合誘導(dǎo)公式，建立平板尺寸與鋼筋位置、開(kāi)槽長(zhǎng)度之間相互影響的數(shù)學(xué)模型；最后通過(guò)分析、計(jì)算，列出相應(yīng)的約束條件（開(kāi)槽長(zhǎng)度不能大于

5、桌腿長(zhǎng)），再運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件得出該模型的最優(yōu)化求解，找出最省材料、最適合的尺寸。問(wèn)題三：設(shè)計(jì)出滿(mǎn)足消費(fèi)者意愿和需求的折疊桌。該問(wèn)題的關(guān)鍵是，建立滿(mǎn)足消費(fèi)者要求（如桌高、桌面邊緣線和桌腳邊緣線的形狀等）的數(shù)學(xué)模型，然后利用最優(yōu)化求解理論，研究木板材料尺寸，以及相關(guān)因素增加或減少后的動(dòng)態(tài)變化，最后確定折疊桌設(shè)計(jì)軟件的數(shù)學(xué)模型。并利用該數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)出有創(chuàng)意的平板折疊桌。關(guān)鍵字:平板折疊桌 桌腿邊緣線 開(kāi)槽長(zhǎng)度 最優(yōu)化 三維直角坐標(biāo)系一、問(wèn)題重述問(wèn)題背景: 隨著社會(huì)的發(fā)展，城市化進(jìn)程的加快，大廈密集，城市道路四通八達(dá)，但是于此同時(shí)，問(wèn)題也接踵而來(lái)：用地緊張、生存空間擁擠、交通阻塞、生態(tài)失衡、環(huán)境惡化等等。

6、這給人們居住生活帶來(lái)很大影響，也制約著經(jīng)濟(jì)與社會(huì)的進(jìn)一步發(fā)展。在這種情況下，各行各業(yè)都開(kāi)始關(guān)注空間的有效利用，盡可能的節(jié)約空間。人們轉(zhuǎn)向?qū)Ω鞣N空間的開(kāi)發(fā)利用，空間的利用對(duì)于人類(lèi)的生活環(huán)境在功能性和實(shí)用性上有著舉足輕重的關(guān)系，當(dāng)然，隨著社會(huì)的發(fā)展以及改變，空間的合理運(yùn)用是人們不斷需要去探索的重要課題。我們所設(shè)計(jì)的創(chuàng)意平板折疊桌就是對(duì)空間的合理利用。這款桌子當(dāng)折疊起來(lái)后它也可以迅速的展開(kāi)，變成一張完整的圓形桌子，用于聚會(huì)或派對(duì)當(dāng)不需要時(shí)，它就瞬間變?yōu)橐粋€(gè)不占地的長(zhǎng)方形的小床。由此可見(jiàn)，本次設(shè)計(jì)的可收縮性桌子是有必要的，也是有實(shí)用價(jià)值的。可收縮桌子也具有多功能性，可以用來(lái)當(dāng)做餐桌、物品架、凳子以及床

7、鋪。問(wèn)題再現(xiàn)：某公司生產(chǎn)一種桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動(dòng)可以平攤成一張平板的可折疊的桌子。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證自由滑動(dòng)。桌子外形由直紋曲面構(gòu)成。試建立數(shù)學(xué)模型討論下列問(wèn)題：1. 給定長(zhǎng)方形平板尺寸為120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木條寬2.5 cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53 cm。建立模型描述此折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，在此基礎(chǔ)上給出此折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)（例如，桌腿木條開(kāi)槽的長(zhǎng)度等）和桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述

8、。2. 折疊桌的設(shè)計(jì)應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。對(duì)于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計(jì)要求，討論長(zhǎng)方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，例如，平板尺寸、鋼筋位置、開(kāi)槽長(zhǎng)度等。對(duì)于桌高70 cm，桌面直徑80 cm的情形，確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。3. 公司計(jì)劃開(kāi)發(fā)一種折疊桌設(shè)計(jì)軟件，根據(jù)客戶(hù)任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶(hù)所期望的形狀。你們團(tuán)隊(duì)的任務(wù)是幫助給出這一軟件設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)所建立的模型給出幾個(gè)你們自己設(shè)計(jì)的創(chuàng)意平板折疊桌。要求給出相應(yīng)的設(shè)計(jì)加工

9、參數(shù)，畫(huà)出至少8張動(dòng)態(tài)變化過(guò)程的示意圖。二、符號(hào)說(shuō)明：表示桌面半徑；,：分別表示折疊狀態(tài)俯視圖中鋼筋；，：分別表示展開(kāi)狀態(tài)正視圖中鋼筋；：表示桌腿最外側(cè)木條的長(zhǎng)度；：表示任意木條到圓桌面垂直最外側(cè)的中心軸的距離；：表示桌面邊緣最外側(cè)木塊長(zhǎng)度；：表示平板尺寸；：表示折疊時(shí)鋼筋到外側(cè)中點(diǎn)的距離；：表示開(kāi)槽長(zhǎng)度；: 桌面圓心；三、模型假設(shè)1假設(shè)我們做圖是真實(shí)可靠；2在問(wèn)題二中假設(shè)桌面邊緣最外側(cè)木塊長(zhǎng)度為0；3假設(shè)運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件非線性?xún)?yōu)化模型可信度比較高；4假設(shè)計(jì)算出的各個(gè)指標(biāo)誤差比較??；5忽略折疊桌制作過(guò)程的木材損耗；6. 假設(shè)測(cè)量桌子高度時(shí)忽略桌面木板厚度；7. 假設(shè)鋼筋的半徑忽略不計(jì)；四、問(wèn)題分析

10、問(wèn)題一：（1）已知木板的尺寸為120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木條為寬2.5 cm，鋼筋位于最外側(cè)木條的中心位置，所以展開(kāi)狀態(tài)時(shí)延長(zhǎng)各個(gè)木條至接觸地面，得到以鋼筋為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，即在展開(kāi)狀態(tài)的正視圖是長(zhǎng)方形，通過(guò)邊角關(guān)系和木板長(zhǎng)為120 cm聯(lián)系，列方程可求解出展開(kāi)狀態(tài)時(shí)最外側(cè)一根桌腿的長(zhǎng)度。對(duì)比折疊狀態(tài)與展開(kāi)狀態(tài)鋼筋的位置，可得展開(kāi)過(guò)程中鋼筋沿木條方向的移動(dòng)距離，從而得出正中間一根木條的開(kāi)槽長(zhǎng)度，即最大的開(kāi)槽長(zhǎng)度，其他每根木條的開(kāi)槽均小于最大開(kāi)槽。（2）用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述桌腳邊緣線，沿木條方向延長(zhǎng)桌腳至接觸地面，于地面相交點(diǎn)構(gòu)成的弧線與桌面邊緣線是一

11、樣的，即與地面相交的弧線是半圓，且直徑與桌面直徑是相同的，即折疊桌的桌腿在地面上的四個(gè)支點(diǎn)構(gòu)成的是正方形。則該邊緣曲線是曲面上的一條線，也就是該曲線是一條空間曲線。以桌面圓心為原點(diǎn)建立三維直角坐標(biāo)系，引入木條長(zhǎng)度作為參量，用該參量表示木條底端的空間坐標(biāo)，即可得到桌腳邊緣線的空間數(shù)學(xué)描述。問(wèn)題二：自己設(shè)計(jì)出桌高70cm、桌面直徑80cm的最省材料的折疊桌，自己建立模型來(lái)確定最小的平板尺寸（即長(zhǎng)方形平板的面積），其中考慮的變量有平板的尺寸、鋼筋在最外側(cè)木條上的位置以及為了方便折疊所需的開(kāi)槽長(zhǎng)度和圓桌側(cè)面剩余木條的長(zhǎng)度。在第一問(wèn)中我們已知平板尺寸、桌子高度以及鋼筋位置，得出設(shè)計(jì)加工的參數(shù)。本問(wèn)是第一

12、問(wèn)的一個(gè)推廣。同時(shí)在設(shè)計(jì)時(shí)還需要保證產(chǎn)品的穩(wěn)固性好、加工方便，用材最少的特點(diǎn)。問(wèn)題三：根據(jù)客戶(hù)的不同往往對(duì)折疊桌有不同的要求，所以在該問(wèn)中要求設(shè)計(jì)一個(gè)通用的軟件程序，對(duì)于任意給定的折疊桌高度、桌面形狀及大小和桌腿邊緣線的形狀等設(shè)計(jì)要求，可以設(shè)計(jì)出滿(mǎn)足要求的最省材料、最實(shí)用穩(wěn)固的桌子。那么這個(gè)軟件就是可以根據(jù)不同的客戶(hù)對(duì)不同的桌子所期望的的大致形狀給模擬出來(lái)。因此我們組的任務(wù)就是給出軟件設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，在本題中軟件數(shù)學(xué)模型的建立是至關(guān)重要的，我們還需利用建立的模型給出我們?cè)O(shè)計(jì)的兩個(gè)個(gè)創(chuàng)意平板折疊桌。同時(shí)要給出相應(yīng)的設(shè)計(jì)加工參數(shù)，畫(huà)出每個(gè)設(shè)計(jì)的八張動(dòng)態(tài)變化過(guò)程的示意圖。五、模型的建立與求解問(wèn)題一：

13、（1） 折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程：每根木條在桌子展開(kāi)時(shí)都是在做圓形旋轉(zhuǎn)變化，每根木條都是以木條與桌子的連接處為圓心，該木條的長(zhǎng)度為半徑進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。對(duì)折疊桌折疊和展開(kāi)兩種狀態(tài)進(jìn)行分析，得到折疊和展開(kāi)兩種狀態(tài)的三視圖如下（圖1）（圖2）（圖3）（圖4）圖1：桌子折疊狀態(tài)時(shí)的俯視圖圖2：桌子展開(kāi)狀態(tài)時(shí)的正視圖圖3：桌子展開(kāi)狀態(tài)時(shí)的左視圖 圖4：桌子展開(kāi)狀態(tài)時(shí)的俯視圖（2）折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)（即開(kāi)槽長(zhǎng)度）：連接桌腿木條的鋼筋位于最外側(cè)木條的中心位置，為保證滑動(dòng)的自由度沿木條有開(kāi)槽，平板狀態(tài)是鋼筋緊貼每根木條開(kāi)槽的一端，展成桌子時(shí)鋼筋又緊貼每根木條的另一端，由于中間最短的木條變化幅度最大，所以中間一根木條的

14、開(kāi)槽長(zhǎng)度是最長(zhǎng)的，我們對(duì)以中間一根為例求開(kāi)槽長(zhǎng)度，其他各根均可相似求得開(kāi)槽長(zhǎng)度。根據(jù)對(duì)折疊桌的折疊狀態(tài)進(jìn)行分析，做折疊桌折疊狀態(tài)的俯視圖（圖1），其中、兩條紅色的弧線表示木條開(kāi)槽端點(diǎn)的連線，圖1中陰影部分表示中間的一根木條。根據(jù)對(duì)折疊桌的展開(kāi)狀態(tài)進(jìn)行分析，做折疊桌展開(kāi)狀態(tài)的正視圖（圖2），其中、與圖1中的、意義相同，、分別表示桌子展開(kāi)是的接觸地面的支點(diǎn)，、表示鋼筋的位置，、分別表示展開(kāi)過(guò)程中正中間木條的活動(dòng)部分。（圖5）是從折疊桌展開(kāi)狀態(tài)的正視圖（圖）中抽象出來(lái)的只有最外側(cè)與最中間的木條的一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)模型圖，其中表示折疊桌的直徑。圖5：展開(kāi)狀態(tài)的抽象正視圖由于桌子是左右對(duì)稱(chēng)的，所以我們僅對(duì)左

15、半部分進(jìn)行分析，右半部分同理可進(jìn)行分析。設(shè)最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為常數(shù)（cm），則：由勾股定理得：由得：計(jì)算得： 已知木板的長(zhǎng)為， 則：由題易知桌面直徑為木板寬為，則： 因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，則：由題知桌高為，故：在直角三角形中作分析，已知：,可得：則：在三角形中進(jìn)行分析，已知：,則 ： 下面對(duì)折疊和展開(kāi)兩種狀態(tài)的鋼筋位置進(jìn)行分析，折疊桌折疊狀態(tài)時(shí)，到鋼筋的長(zhǎng)度為：折疊桌展開(kāi)狀態(tài)時(shí)，到鋼筋的長(zhǎng)度為：最大開(kāi)槽的長(zhǎng)度即為兩種狀態(tài)中鋼筋位置沿木條方向的距離，最終計(jì)算得開(kāi)槽為：所以：開(kāi)槽長(zhǎng)度的范圍為（2） 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述桌腿邊緣線：圖2：桌子展開(kāi)狀態(tài)時(shí)的正視圖在（圖2）中設(shè)為任意木條， 到該圖中間軸的距離設(shè)為現(xiàn)求到的距

16、離，即為點(diǎn)的三維圖中的坐標(biāo)。上一個(gè)小問(wèn)題知：又知：則：所以 ：在三角形中進(jìn)行分析，已知：則：則：在三維圖中，橫坐標(biāo)X可由勾股定理求得，縱坐標(biāo)即為t，豎坐標(biāo)Z是該點(diǎn)到XOY面的距離，即為NN。所以桌角邊緣線的數(shù)學(xué)描述為:問(wèn)題二：圖6：最省材料的折疊桌模型假設(shè)：桌面邊緣最外側(cè)木塊長(zhǎng)度對(duì)折疊桌的高度和半徑影響很小，所以假設(shè)來(lái)對(duì)本問(wèn)進(jìn)行分析，如（圖6）模型建立：已知桌高和直徑求最小尺寸，分建立目標(biāo)函數(shù)、分析約束條件和分析數(shù)學(xué)模型三步來(lái)解決。1)建立目標(biāo)函數(shù)： 要使材料最省，顯然，當(dāng)中間時(shí)最省材料，如（圖6）：其中設(shè)，分別為鋼筋的位置。為中間一根木板的開(kāi)槽長(zhǎng)度（即最長(zhǎng)的開(kāi)槽），設(shè)：，已知，則： 又可得：

17、，由可得：整理上式得：2)聯(lián)系實(shí)際情況與題中的要求，分析得出開(kāi)槽長(zhǎng)度小于桌腿長(zhǎng)度，折疊時(shí)鋼筋到外側(cè)中點(diǎn)的距離要大于半徑，得到約束條件為：3)模型求解：用MATLAB軟件進(jìn)行非線性?xún)?yōu)化求解，可得木板長(zhǎng)度為164.7059cm,則木板尺寸為：164.7059cm× 80 cm × 3 cm問(wèn)題三：根據(jù)對(duì)不同客戶(hù)的不同要求，建立軟件。軟件的設(shè)計(jì)目地就是面對(duì)不同的客戶(hù)輸入對(duì)折疊桌不同形狀的不同的要求，利用這個(gè)軟件就可以算出所需平板的尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)化設(shè)計(jì)加工參數(shù)。即將折疊桌高度、桌面邊緣線和桌腳邊緣線作為未知量，求尺寸的最優(yōu)解，考慮的邊緣線的形狀，可以用數(shù)學(xué)軟件分為規(guī)則圖形和不

18、規(guī)則。在程序中將尺寸用折疊桌高度、桌面邊緣線和桌腳邊緣線表示，當(dāng)邊緣線為直線是，可以這樣表示，但是一般邊緣線是曲線，就不便于將尺寸用折疊桌高度、桌面邊緣線和桌腳邊緣線表示，這時(shí)可以引入直徑等其他變量來(lái)表示，由此可以建立數(shù)學(xué)模型，再而利用數(shù)學(xué)軟件，針對(duì)不同的客戶(hù)的要求，經(jīng)過(guò)編程就可以在軟件中的出直觀的空間幾何圖，讓客戶(hù)滿(mǎn)意。圖7：平板折疊桌動(dòng)態(tài)圖圖8：平板折疊桌動(dòng)態(tài)圖六、模型評(píng)價(jià)與應(yīng)用推廣1、模型評(píng)價(jià)模型的優(yōu)點(diǎn)：（1）在數(shù)據(jù)處理方面，我們?cè)敿?xì)分析了視頻，仔細(xì)觀察題目所給的數(shù)據(jù)和圖形，利用直觀平面圖形把所給的抽象空間圖形具體到各面，做出了折疊桌展開(kāi)和折疊時(shí)的直觀三視圖，通過(guò)這樣細(xì)致的分析我們規(guī)范了

19、各種數(shù)據(jù)，為下一步解題提供了準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)資料。（2）在數(shù)據(jù)的精確度和理想值方面，我們利用MATLAB作圖，得出最優(yōu)解，并重復(fù)多次作圖，取得最結(jié)合實(shí)際的一個(gè)。（3）模型在圖像處理和顯示上，我們采用MATLAB作圖和幾何作圖等多種作圖工具，用于擬合數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，使問(wèn)題結(jié)果更加清晰、條理和直觀。（4）在模型建立上，分析提取出了平板折疊桌的尺寸和開(kāi)槽長(zhǎng)度的關(guān)系，同時(shí)結(jié)合實(shí)際情況，使其盡量貼近數(shù)學(xué)建模，用最簡(jiǎn)單的方法解決最難問(wèn)題。（5）在問(wèn)題二中，我們將桌面邊緣最外側(cè)木塊長(zhǎng)度d是近似的視為零，雖然有一定誤差，但是卻簡(jiǎn)化了模型，便于求解。模型的缺點(diǎn)：（1）在數(shù)據(jù)計(jì)算上，采用的是計(jì)算機(jī)算取，以“四舍五入法”為基本法，保留四位小數(shù)，雖然大大提高了靈活性，但也容易使數(shù)據(jù)出現(xiàn)人為的偏差和不精確；（2）在問(wèn)題一中，只采用了三視圖分析法，結(jié)