第6章 傅里葉光學基礎-a

1、目 錄第6章 傅里葉光學基礎 §6.1 數(shù)學基礎知識和傅里葉變換的基本概念.2 §6.2光波的傅里葉分析.8 §6.3平面波角譜理論.14 §6.4透鏡的傅里葉變換18 §6.5阿貝成像原理.1 §6.6光全息術.1 第6章 傅里葉光學基礎傅里葉變換是現(xiàn)代科學技術研究中的十分重要的數(shù)學工具，在信息科學技術領域（例如電子，通信，自動控制，生物醫(yī)學）中有著廣泛的用途。特別是在現(xiàn)代光學研究中，由于傅里葉分析（頻譜分析）方法的引入，逐漸形成了現(xiàn)代光學的一個重要分支-傅里葉光學。盡管傅里葉光學采用了和經(jīng)典光學完全不同的思想方法和解析方法，即空間

2、頻譜的分析方法，但是其物理內(nèi)容和所研究的對象仍然是有關光波的傳播、分解與疊加（干涉，衍射，偏振）和光學系統(tǒng)成像的規(guī)律，只不過，由于傅里葉分析方法的引入，使得對上述現(xiàn)象的本質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律有了更為深入的了解。并且，在激光和光電子技術的推動下，開辟了許多新的應用領域。§6.1 數(shù)學基礎知識和傅里葉變換的基本概念為了能夠較深入地理解和掌握傅里葉光學的解析方法和思想方法，以便熟練地應用這種新的分析方法來研究各種具體的光學過程及現(xiàn)象，本節(jié)將集中介紹與傅里葉光學有關的數(shù)學基礎知識和物理概念。在現(xiàn)代光學中，常用各種非初等函數(shù)和特殊函數(shù)來描述光場的分布。因此，熟悉這些函數(shù)的定義和性質(zhì)，對于分析問題和解決

3、問題具有十分重要的意義。6.1.1 一些常用函數(shù)一些常用函數(shù)及其在光學中的應用如下：常用函數(shù)定義圖形表示應用階躍函數(shù)xstep(x)10直邊（或刀口）的透過率符號函數(shù)孔徑的一半嵌有 相位板的復振幅透過率矩形函數(shù)狹縫或矩孔的透過率三角狀函數(shù)光瞳為矩形的非相干成像系統(tǒng)的光學傳遞函數(shù)sinc函數(shù)狹縫或矩孔的夫瑯禾費衍射圖樣高斯函數(shù)激光器發(fā)出的高斯光束圓域函數(shù)圓孔的透過率6.1.2 傅里葉級數(shù)的定義 一個周期性函數(shù)，周期為，它滿足狄里赫利條件（函數(shù)在一個周期內(nèi)只有有限個極值點和第一類不連續(xù)點），則可以展開為三角傅里葉級數(shù) (6-1)其中傅里葉系數(shù)應用歐拉公式，可將傅里葉級數(shù)展開式(6-1)改寫為 (6

4、-2)令， 于是，式(6-1)的傅里葉級數(shù)可以表示為復指數(shù)函數(shù)的形式 (6-3)其中傅里葉系數(shù)為 (6-4)將周期的倒數(shù)稱為函數(shù)的基頻，表示為，而稱為的諧頻，或簡稱為頻率。如果是時間函數(shù)，則代表時間頻率；如果是空間函數(shù)，則代表空間頻率。式(6-1) 或式(6-3)表明，周期函數(shù)可以分解為一系列頻率為，復振幅為的諧波。反之，若將各個諧波線性疊加，則可以精確地綜合出原函數(shù)。 6.1.3 頻譜的概念上節(jié)的分析表明，一個周期變化的物理量既可以在空間（或時間）域中用來描述，也可以在空間（或時間）頻率域中用來描述，兩者是等效的。由于表示頻率為的諧波成分的復振幅，所以將按頻率的分布圖形稱為的頻譜。由于一般為

5、復函數(shù)，所以的模值隨頻率的分布圖叫做的振幅頻譜，而的幅角隨的分布圖叫做的位相頻譜。由式(6-4)可得出圖6-1畫出了鋸齒波及它的振幅頻譜圖形。由圖看出，周期函數(shù)的頻譜具有分立的結構。圖6-1 鋸齒波及其頻譜將一個系統(tǒng)的輸入函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)，在頻率域中分析各諧波的變化，最后綜合出系統(tǒng)的輸出函數(shù)，這種處理方法稱作頻譜分析方法。頻譜分析方法在光學中的應用，為認識復雜的光學現(xiàn)象及進行光信息處理提供了全新的思路和手段。6.1.4 傅里葉變換對非周期函數(shù)也可以作傅里葉分析，只是其頻率取值不再是離散的，而是連續(xù)的。（1） 二維傅里葉變換非周期函數(shù)在整個無限平面上滿足狄里赫利條件，而且存在，則有 (6-5

6、)其中 (6-6)式中，是函數(shù)的傅里葉變換（或稱為傅里葉頻譜），的作用類似于傅里葉系數(shù)，表示各頻率成分的權重因子，描述了各復指數(shù)分量的相對幅值和相移；是頻譜函數(shù)的傅里葉逆變換。（2） 廣義傅里葉變換若函數(shù)可以定義為某個可變換函數(shù)所組成的序列的極限，對序列中每一個函數(shù)進行變換，組成一個新的變換式序列，這個新序列的極限就是原來函數(shù)的廣義傅里葉變換。利用廣義傅里葉變換的規(guī)則，我們可以確定諸如階躍函數(shù)、正/余弦函數(shù)等不滿足狄里赫利條件的函數(shù)的傅里葉變換。（3） 傅里葉變換定理傅里葉變換的基本定義式(3-5)導出了關于變換運算的一整套內(nèi)容豐富的數(shù)學理論。我們來研究傅里葉變換的一些基本數(shù)學性質(zhì)，這些性質(zhì)在

7、今后的討論中將得到廣泛應用。A 線性定理。，即兩個（或多個）函數(shù)之加權和的傅里葉變換就是各自的傅里葉變換的相同的加權和。B 相似性定理。若，則 (6-7)即空域中坐標的“伸展”，導致頻域中坐標的壓縮，加上頻域的總體幅度的一個變化。C 相移定理。若，則 (6-8)即原函數(shù)在空域的平移，將使其頻譜在頻域產(chǎn)生線性相移。D 帕塞瓦爾定理。若，則 (6-9)這個定理左邊的積分可以解釋為波形蘊含的能量。這自然使我們將解釋為頻域內(nèi)的能量密度。E 卷積定理。若及，則 (6-10)空域中兩個函數(shù)的卷積（線性系統(tǒng)理論中經(jīng)常出現(xiàn)的一個運算）完全等效于一個更簡單的運算：它們各自的變換相乘然后做逆變換。F 自相關定理。

8、若，則 (6-11)同樣， (6-12)這個定理可以看成是卷積定理的特例，即將函數(shù)與 做卷積。上述變換定理遠遠不止是只有理論上的意義。它們將會經(jīng)常用到，因為它們?yōu)楦道锶~變換的計算提供了基本工具，并且在解決傅里葉分析問題時能減少很大的工作量。§6.2光波的傅里葉分析按照波動光學的觀點，光是由高頻交變的電磁場在空間傳播形成的一種波動，是特定波段的電磁波。光波具有一切波動的基本特性，即第一，光波的傳播具有時空的雙重周期性，它的時間周期（或時間頻率）和空間周期（或空間頻率）由波傳播速度相聯(lián)系；第二光的波動過程，總是伴隨著能量的傳遞，幾何光學的”光線”概念即是能量傳輸線的抽象。光波按其波動特征

9、，可分為簡單波和復雜波。簡單波又可稱為定態(tài)光波，它具有如下性質(zhì)：（1）空間各點的擾動是同頻率簡諧振動，即定態(tài)光波必是單色簡諧波。（2）光場中各點擾動的振幅不隨時間變化。所以，簡諧平面波，簡諧球面波和簡諧柱面波都是定態(tài)光波的例子。不滿足上述條件的光波即是復雜波。對于光波的描述，既可以在時域中進行，也可以在時頻域和空頻域中進行，前者所采用的即是熟知的經(jīng)典波動光學的分析方法，而后者則是傅里葉光學的分析方法。本節(jié)首先從傅里葉分析的觀點來重新認識簡單波和復雜波。6.2.1 平面波基元函數(shù)分析方法 按照§6.1給出的二維傅里葉變換的定義式(6-5)和式(6-6)，平面上的任意復振幅分布可用它的空

10、間頻譜函數(shù)的逆傅里葉變換表示 (6-13)上式中的傅里葉核代表一個單位振幅簡諧平面波在平面上的復振幅分布，這個簡諧平面波的空間頻率為，它們和波矢的方向余弦的關系是 (6-14)因此，空間頻率完全決定了該簡諧平面波的傳播方向。按照傅里葉分析的觀點，式(6-13)可以解釋為：平面上一個任意光場的復振幅，可以表示為一系列空間頻率為，振幅密度為的簡諧平面波的線性疊加，上述振幅密度函數(shù)可通過的二維傅里葉變換求出 (6-15)當復振幅分布為的空間周期函數(shù)時，它的空間頻譜為空間頻率的離散函數(shù)，則可以分解為空間頻率呈離散分布的一系列三維簡諧平面波的線性疊加；當為空間非周期函數(shù)時，它的空間頻譜是空間頻率的連續(xù)函

11、數(shù)，于是可以表示為空間頻率連續(xù)變化的一系列三維簡諧平面波的線性疊加。在光波的空間傅里葉分析中，三維簡諧平面波這種簡單波構成了傅里葉分析的基礎，稱為基元光波。這種以三維簡諧平面波作為基元光波的分析方法被稱為平面波基元分析法或者余弦基元分析法。選擇簡諧平面波作為傅里葉分析的基元函數(shù)不是偶然的。首先，作為基元光波，其波函數(shù)的形式及其傳播規(guī)律應當是簡單的，簡諧平面波是一種定態(tài)光波，它在傳播過程中，時間頻率不變，振幅為常數(shù)，位相隨空間坐標和時間坐標線性變化，完全符合簡單性的要求。其次，作為基元光波，應滿足對系統(tǒng)的復雜輸入函數(shù)易于進行分解，選擇簡諧平面波作為基元函數(shù)，應用傅里葉變換的數(shù)學工具，這一條件也得

12、到很好的滿足。特別是，對于線性系統(tǒng)來說，簡諧平面波的波函數(shù)時系統(tǒng)的本征函數(shù)，它通過系統(tǒng)傳播時，波函數(shù)形式不變，這使得復雜波在系統(tǒng)中傳播的物理過程變得十分明晰。應用基元分析方法，主要求出了系統(tǒng)對基元光波的響應，即可得出任意復雜輸入的輸出。從這個意義上說，系統(tǒng)的作用完全可由它對基元函數(shù)的響應性質(zhì)來表征。因此，以簡諧平面波作為基元光波是一種合理的選擇。6.2.2 復雜波的分解實際光源發(fā)出的光波通常是復雜波，即在時間參量上包含各種時間頻率，在空間分布上，等相面具有復雜的形狀。研究復雜波的一種有效方法是把它分解為一系列簡諧平面波的線性組合，通過對各個簡諧平面波成分傳播規(guī)律的分析，最后綜合出復雜波的傳播規(guī)

13、律。對于復雜波分解的理論依據(jù)是波動微分方程的線性性質(zhì)和波的疊加原理。此外，由于簡諧平面波波函數(shù)的集合構成了數(shù)學上的完備正交系，因此，凡是符合傅里葉變換存在條件的一切復雜波，都可以應用傅里葉變換作為分解的手段。對復雜波分解的方法步驟是：首先，將空間各考察點處的振動分解為各種時間頻率的簡諧振動的線性組合，即時間域分解；然后，將每一個簡諧波分解為一系列不同空間頻率的平面波的線性組合，即空間域分解。最后將復雜波表示為一系列簡諧平面波的線性組合。1. 時間域分解設表示一個復雜波在空間考察點處的振動函數(shù)，通過時間域的傅里葉變換，可求出該復雜振動的時間頻譜，即 (6-16)注意，由于簡諧振動的位相因子是，即

14、位相是隨時間的增大而減小，所以，雖然式(6-16)形式為傅里葉逆變換，而實質(zhì)仍然是從時間域到時間頻率域的傅里葉正變換。于是，按照傅里葉積分定理，可將復雜波表示為 (6-17)上式表明，復雜波可以分解為一系列頻率為，振幅密度為的簡諧波的線性疊加。利用波動微分方程的線性性質(zhì)很容易證明，如果復雜波滿足波動微分方程，則通過傅里葉分解得到的每一單頻成分也仍然滿足同一波動微分方程，構成一個波動，說明這種分解師合理的。2. 空間域分解經(jīng)過時間域分解，將復雜波分解成了一系列簡諧波的線性疊加，但在空間域考察，每個簡諧波的等相面形狀仍然是復雜的，為此可對每個簡諧波做空間域的傅里葉分解，將其分解為一系列不同空間頻率

15、的簡諧平面波的線性疊加。設簡諧波復振幅的空間頻域為，則有 (6-18) (6-19)上式表明，復雜波被分解為一系列空間頻率，振幅密度為的簡諧平面波的疊加。在對復雜波進行空間分解時有兩個要點值得注意。第一，做空間分解時，將作為簡諧波，即將作為常數(shù)，可以不考慮時間位相因子。第二，對于任何簡諧波來說，三個空間頻率分量并不獨立，它們和時間頻率之間由速度相聯(lián)系，滿足下述關系： (6-20)因此，在利用(6-18)計算的空間頻譜時，實際上只需進行二維的傅里葉變換。例如，已知復雜波在平面的振幅分布時，只需要求出，分解出各個空間頻率為的平面波分量即可。綜合以上兩步時間和空間分解過程，可將復雜波表示為 (6-2

16、1)從上面分析可知，函數(shù)，和一樣，能夠描述同一個波動，只不過波函數(shù)是在空間時間域描述波動：是在空間域和時間頻率域描述波動；是在空間頻率和時間頻率域描述同一波動。我們稱是波函數(shù)在確定的空間考察點的時間頻譜函數(shù)，是波函數(shù)的空間時間頻譜函數(shù)?？傊腿齻€函數(shù)，知道其中任何一個，便可以通過傅里葉變換或逆變換，求出其他兩個。3. 分解舉例有一平面波以速度沿軸方向傳播，在處的振動圖如圖6-2所示，振動函數(shù)為 (6-22)在平面上有一個寬，高的矩形光欄，限制了波面的范圍，使通過光欄的光波成為空間時間域的復雜波，其波函數(shù)可表示為 (6-23)圖6-2 有限長余弦波列振動圖下面對這個復雜波進行分解。首先求出它的

17、時間頻譜。 (6-24)于是復雜波可以表示為一系列簡諧波的線性疊加： (6-25)其中頻率為的簡諧成分的振幅密度為，其分布如圖6-3所示。圖6-3 有限余弦波列的時間頻譜下面對任意一個簡諧波成分進一步做空間分解。首先求出的空間頻譜函數(shù)，有 (6-26)最后，復雜波可以表示為一系列具有不同振幅密度和不同空間頻率（即不同傳播方向）的三維簡諧平面波的線性疊加： (6-27)在上式中，各簡諧平面波分量雖然表示為二維的形式，但由于滿足公式(6-20)的約束，所以實質(zhì)上是三維簡諧平面波。§6.3平面波角譜理論利用復雜波的傅里葉分解，可以處理衍射問題，這就是平面波角譜理論。z圖6-4是說明角譜分析

18、方法的簡圖，其中衍射孔徑的坐標為，由其出射的光波復振幅分布為。觀察平面與平行，相距，取平面坐標為，求該平面上衍射場的復振幅分布。圖6-4 衍射的角譜分析方法平面波角譜理論的基本思想是：首先對復振幅作傅里葉變換，將其分解為一系列沿不同方向傳播的三維簡諧平面波，的空間頻譜正是空間頻譜為的平面波成分的復振幅密度。由于平面波在自由空間傳播過程中，不改變其波面形狀，唯一的變化時產(chǎn)生一個與傳播距離有關的相移。所以根據(jù)平面的頻譜，就可以求出在距離處平面上的頻譜分布。最后一步，通過對的反傅里葉變換，也即是將傳播到平面上，經(jīng)歷了不同位相延遲的所有平面波相疊加，就可以綜合出平面上衍射圖形的復振幅分布。從上述分析可

19、知，應用平面波角譜理論解決衍射問題的關鍵是：根據(jù)平面的頻譜，求出觀察面上的頻譜。6.3.1 角譜的傳播首先給出角譜的概念。設的空間頻譜為，則有 (6-28)表示復雜波中空間頻率為的平面波成分的復振幅密度，空間頻率決定了該平面波的傳播方向。該平面波波矢的方向余弦為，則有 (6-29)且 (6-30)所以，的空間頻譜又可以表示為，這種用波矢方向余弦表示的空間頻譜，稱為復雜波的角譜。公式(6-28)表示，平面的復雜波被分解為一系列空間頻率各不相同的三維簡諧平面波，其中空間頻率的簡諧平面波成分為 (6-31)公式(6-31)所表示的平面波復振幅，實際上是空間頻率為的一個三維簡諧平面波在平面的表達式。該

20、三維簡諧平面波在自由空間傳播過程中，其等相面始終是平面。當它從平面?zhèn)鞑ゾ嚯x，到達平面時，其復振幅應表示為 (6-32)利用公式(6-30)，上式可改寫為 (6-33)為了比較同一平面波在平面和傳到平面的復振幅分布，可將公式(6-31)中的空間變量改寫為，以便和公式(6-33)進行比較。通過對兩式得比較可以看出，平面的角譜在自由空間傳播距離之后，只是增加了一個和有關的位相因子，因此平面的角譜可以表示為 (6-34)最后，對作反傅里葉變換，即可求出觀察面上衍射場的復振幅 (6-35)公式(6-34)和式(6-35)就是應用平面波角譜理論求衍射問題的基本公式。這組公式說明：平面波角譜理論的實質(zhì)是傅里

21、葉分解和綜合的過程。即首先將輸入函數(shù)分解為一系列簡諧平面波，然后再將傳播過程中經(jīng)歷了不同相位延遲的平面波成分相加，最后綜合出輸出面上衍射的復振幅。 下面，對公式(6-34)表示的角譜傳播特性作進一步討論。首先，在公式(6-34)中，只有所含的平面波成分滿足： (6-36)時，才能保證這些角譜成分以平面波的形式在自由空間傳播；當公式(6-36)的條件不滿足時，對應的角譜成分成為倏逝波，不能離開平面向前傳播。其次，如果用表示和的比值，即 (6-37)可以看出，與輸入函數(shù)的形式無關，表征了光波在自由空間傳播的固有性質(zhì)。如果把光波在自由空間傳播的過程看做是一個線性不變的系統(tǒng)，將和看做是系統(tǒng)的“輸入”和

22、“輸出”，那么就是該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。6.3.2 角譜理論的菲涅耳近似 在推導角譜理論基本公式(6-34)和式(6-35)時，沒有應用菲涅耳近似，所以這組公式可以用來嚴格求解衍射問題。不過，應用這組公式求解衍射問題是十分復雜的，很難得到解析形式的結果。為此，可結合具體的衍射問題作進一步近似。將公式(6-37)表示的角譜傳遞函數(shù)按泰勒級數(shù)展開得 (6-38)當菲涅耳近似條件 2得到滿足時，上式右端4次方以上的高階位相因子的影響可以忽略不計，于是菲涅耳近似條件下的角譜傳遞函數(shù)可以表示為 (6-39)將式(6-39)代入式(6-35)，可得(6-40)上式最后一步應用了頻域的卷積定理。又因: (6-4

23、1) (6-42)所以 (6-43)這正是公式菲涅爾衍射積分的表達式，如果對上式采用更加嚴格的夫瑯和費近似，忽略積分中與有關的二次位相因子，則可以導出表示的夫瑯和費衍射積分公式。 綜上所述，計算標量波的衍射問題，可以應用公式(6-34)和式(6-35)為基礎的平面波理論。類比于幾何光學的光線追蹤，可將這組基本公式稱為波面追跡公式。應用這組公式，就可以在線性不變系統(tǒng)的理論框架內(nèi)，解決光波在任意介質(zhì)中的傳播和變換問題。§6.4透鏡的傅里葉變換與電子系統(tǒng)相比較，光學系統(tǒng)最突出的優(yōu)勢在于它的二維并行運算能力。這個能力是通過光學系統(tǒng)的傅里葉變換性質(zhì)和成像性質(zhì)來體現(xiàn)的，而透鏡又是光學成像系統(tǒng)和光

24、學信息處理系統(tǒng)中最重要的元件，所以，研究透鏡及光學系統(tǒng)的傅里葉變換性質(zhì)及規(guī)律，就構成了傅里葉光學的一個非常重要的方面。6.4.1 薄透鏡的位相變換因子按照波動光學的觀點，透鏡的作用只不過是一個位相變換器，它使入射光波的波前受到延遲，位相延遲的大小正比于透鏡孔徑內(nèi)各點的光學厚度?；蛘哒f可以把透鏡作為一個純位相調(diào)制元件，它對入射光波產(chǎn)生和各點光學厚度成正比的位相調(diào)制。由于光波的位相以為周期，因此可以忽略透鏡中與整數(shù)倍位相延遲相對應的光學厚度，或者說，可以忽略光線通過透鏡時的幾何光學平移，稱這樣的透鏡為薄透鏡。圖6-5 薄透鏡的厚度函數(shù)參看圖6-5，設透鏡瞳平面坐標為，最大厚度為，坐標處的厚度為，稱

25、為透鏡的厚度函數(shù)。于是光波從入瞳平面?zhèn)鞯匠鐾矫鏁r，在點產(chǎn)生的總的位相延遲為 (6-44)式中，是透鏡的折射率。透鏡對入射光波的作用可以用一個位相變換因子來描述，表示為 (6-45)于是，只要知道透鏡入瞳平面上的復振幅分布，按照位相調(diào)制的觀點，立即可以得出薄透鏡出瞳面上的復振幅分布，即 (6-46)下面應用幾何光學方法，通過計算薄透鏡的厚度函數(shù)，可以得出的表達式。圖6-6 厚度函數(shù)的計算為了求出，按圖6-6所示方法將透鏡剖成兩半，并規(guī)定：當光線從左向右傳播時，所經(jīng)過的凸球面的曲率半徑為正，凹球面的曲率半徑為負。所示圖6-6中的為正，為負。利用圖3-6的幾何關系，很容易求得 (6-47)對于薄透

26、鏡，如果傍軸近似成立，即 (6-48)則厚度函數(shù)可以簡化為 (6-49)代入公式 (6-45)，并應用透鏡的焦距公式，立即可以得到透鏡的位相變換因子為 (6-50)上式表示了透鏡對入射光波的位相調(diào)制。雖然公式(3-50)是對凸透鏡導出的結果，但是所用的符號規(guī)則使得這一結果對其他類型的透鏡也是正確的。式中第一個因子表示均勻的位相延遲。第二個因子表示球面波的菲涅爾近似，當焦距為正時，這是一個會聚球面波，為凹透鏡的位相變換因子。此外，雖然公式(6-50)所表示的透鏡的位相變換作用在很大程度上依賴于傍軸近似的成立，但在非傍軸近似條件下，只要對透鏡進行了嚴格的相差矯正，這一結論依然是成立的。本節(jié)的推導過

27、程還表明，透鏡對入射光波的位相變換作用，是由透鏡本身的性質(zhì)決定的，與入射光波的類型無關，不管入射波是平面波、球面波、甚至是復雜波，只要滿足前面所說的條件（傍軸近似或嚴格的相差矯正），透鏡就能以公式(3-50)的形式實現(xiàn)對入射光波的位相變換。在傅里葉光學中，這一思想也可以用于處理柱面鏡、錐面鏡、楔形棱鏡等別種類型的光學元件。6.4.2 透鏡的傅里葉變換性質(zhì)夫瑯和費衍射和傅里葉變換運算之間存在著直接的聯(lián)系。具體來說，夫瑯和費衍射等于衍射孔徑復振幅透射系數(shù)的物體的夫瑯和費衍射來實現(xiàn)?；蛘哒f，利用夫瑯和費衍射裝置，可以完成物分布函數(shù)二維傅里葉變換運算。這就開辟了用光學方法完成二維傅里葉變換運算的新途徑

28、，這種運算方法不同于應用快速傅里葉變換的數(shù)字計算方法。首先，它是二維并行的運算，其運算速度要快得多；其次，參與運算的量是光波復振幅，而非數(shù)字信號，因此稱為光學模擬傅里葉變換，或簡稱為光學傅里葉變換。這種運算，在隨后將要討論的二維空間信號處理系統(tǒng)中將得到廣泛應用。下面，從最一般的夫瑯和費衍射裝置出發(fā)，分別討論不同條件下，透鏡的傅里葉變換性質(zhì)，并在此基礎上進一步研究光學傅里葉變換的應用。1.平面波照明，物體位于透鏡之前的光路如圖6-7所示，物體的復振幅透射系數(shù)為，位于透鏡之前的距離為的平面，由單位振幅的單色平面波正入射照明，觀察平面位于傅里葉變換透鏡的后焦平面。設物體的傅里葉光譜為，透過物體的光波

29、傳到透鏡入瞳平面時的復振幅為，其傅里葉光譜為。透鏡后焦面上的復振幅分布為。按照平面波角譜理論，在菲涅爾近似條件下，和之間滿足公式(6-34)和(6-37)的關系，即 (6-51)圖6-7 物體位于透鏡之前的光路透鏡后焦面上的復振幅分布等于透鏡入瞳面上物體的夫瑯和費衍射，可得(6-52)將公式(6-51)代入(6-52)，并注意到 以及 于是可得 (6-53)在上式的推導過程中，我們假設傅里葉變換透鏡的孔徑足夠大，不會限制的高頻成分，因而沒有考慮透鏡有限孔徑的影響。公式(6-53)表明，當物體位于透鏡前面距離處，用單色平面波正入射照明時，透鏡后焦面上的光場分布等于物體振幅透射系統(tǒng)的傅里葉變換與一

30、個復系數(shù)的乘積。這個復系數(shù)為 (6-54)它是由一個復常數(shù)和一個和有關的二次位相因子組成。正因為二次位相因子的存在，所以在一般情況下，透鏡后焦面上的光場分布并不等于物體振幅透射系數(shù)的準確傅里葉變換。但是從公式(6-54)看出，當物體放置在透鏡前焦面，既滿足的特殊條件時，二次位相因子為1，復系數(shù)成為復常數(shù)，從而在透鏡后焦面可獲得物體振幅透射系數(shù)的準確傅里葉變換。在實際的光學傅里葉變換系統(tǒng)中，透鏡有限孔徑的限制是必然存在的，它必然引起中高頻成分的損失。這種現(xiàn)象被稱為漸暈效應。很明顯，越大，漸暈效應越顯著。但在某些的特殊計算中，并不追求準確的傅里葉變換關系，而只是對頻譜面上的強度分布，即物體的功率譜

31、感興趣，這是可以將物體放在緊貼透鏡的的位置，以盡量減少漸暈的影響。2.平面波照明，物體位于透鏡之后的光路 如圖6-8所示，物體的復振幅透射系數(shù)仍為，放置在透鏡后距焦平面距離為的平面上，照明透鏡的光波是振幅為正入射單色平面波，經(jīng)透鏡的位相變換之后，照射到物體上的光波成為向平面中心點匯聚的匯聚球面波。如果不考慮透鏡有限空間的影響，根據(jù)公式(6-50)，在菲涅耳近似條件下，投射到物體上的匯聚球面波可表示為 (6-55)圖6-8 平面波照明，物體位于透鏡之后的光路于是透過物體的光波復振幅為 (6-56)透鏡焦平面上的光場分布可看做是透過物體光波的菲涅耳衍射，可求出平面上的光場的復振幅分布為 (6-57)上式表明，當物體位于透鏡之后時，焦平面上的光場復振幅分布仍然等于物體振幅透射系數(shù)的傅里葉變換與一個復系數(shù)的乘積。值得注意的是，在物體位于透鏡之后的光路中，無論等于何值，復系數(shù)中的二次位相因子都不能消除，因此這種光路無法實現(xiàn)的準確傅里葉變換。一種特殊情形是，當物體緊靠透鏡放置時，公式(6-57)表示的結果與公式(6-53)中的的結果完全相同。圖6-8的光路雖然不能實現(xiàn)的準確傅里葉變換，但在某些只對頻譜面上的光強度分布感興趣的應用場合，這