平行線的判定和性質(zhì)知識點詳解

1、平行線的判定和性質(zhì)（綜合篇）、重點和難點：重點：平行線的判定性質(zhì)。難點：平行線的性質(zhì)與平行線的判定的區(qū)分掌握推理論證的格式。二、例題：這部分內(nèi)容所涉及的題目主要是從已知圖形中辨認(rèn)出對頂角、同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角。解答這類題目的前提是熟練地掌握這些角的概念，關(guān)鍵是把握住這些角的基本圖形特征，有時還需添加必要的輔助線，用以突出基本圖形的特征。上述類型題目大致可分為兩大類。一類題目是判斷兩個角相等或互補(bǔ)及與之有關(guān)的一些角的運算問題。其方法是由線定角即運用平行線的性質(zhì)來推出兩個角相等或互補(bǔ)。另一類題目主要是 由角定線”，也就是根據(jù)某些角的相等或互補(bǔ)關(guān)系來判斷兩直線平行，解此類題目必須要掌握好平行線的

2、判定方法。例1.如圖，已知直線 a,b,c被直線d所截，若/ 1 = /2, / 2+/3=180° ,求證：/ 1 = /7分析：運用綜合法，證明此題的思路是由已知角的關(guān)系推證出兩直線平行，然后再由兩直線平行解決其它角的關(guān)系。/1與/ 7是直線a和c被d所截得的同位角。須證 a/c。法（一）證明：飛是直線（已知） / 1 + 2 4=180° （平角定義） / 2+/3=180° , / 1=/2 （已知） ./ 3=/4 （等角的補(bǔ)角相等）a/c （同位角相等，兩直線平行） ./ 1 = /7 （兩直線平行，同位角相等）法（二）證明：./ 2+Z 3=180&

3、#176; , / 1 = /2 （已知） / 1 + /3=180° （等量代換） / 5=/1, / 6=/3 （對頂角相等） / 5+/6=180° （等量代換）AD平分/ BDF ,求證:BC平分分析：只要求得/ EBC=/CBD,由/ 1 + /2=180°推出/ 1 = /BDC,從而推出AE/FC ,從而推出/ C= / EBC而/C=/A于是可得/ A=/EBC。因此又可得 AD/BC ,最后再運用平行線性質(zhì)和已知條件便可推出/ EBC= / DBC證明：2+/BDC=180（平角定義）又/ 2+/ 1=180° （已知） ./ BDC=

4、 Z 1 （同角的補(bǔ)角相等） .AE/FC （同位角相等兩直線平行） ./ EBC=/C （兩直線平行內(nèi)錯角相等）又/ A=/C （已知） ./ EBC=/A （等量代換）AD/BC （同位角相等，兩直線平行） ./ ADB= /CBD （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）/ ADF= / C （兩直線平行，同位角相等）又 DA平分/ BDF （已知） ./ADB=/ADF （角平分線定義）/ EBC= / DBC （等量代換）BC平分/ DBE （角平分線定義）說明：這道題反復(fù)應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)，這是以后在證題過程中經(jīng)常使用的方法，見到平行”應(yīng)想到有關(guān)的角相等，見到有關(guān)的角相等，就應(yīng)想到能否判斷直

5、線間的平行關(guān)系。把平行線的判定與性質(zhì)緊密地結(jié)合在一起也就是使直線平行和角相等聯(lián)系在一起，這樣解題能得心應(yīng)手，靈活自如。三、小結(jié)：證明角相等的基本方法 、第一章、第二章中已學(xué)過的關(guān)于兩個角相等的命題： 1）同角（或等角）的余角相等； 2）同角（或等角）的補(bǔ)角相等； 3）對頂角相等； 4）兩直線平行，同位角相等；內(nèi)錯角相等；同旁內(nèi)角互補(bǔ)。以上四個命題是我們目前論證兩個角相等的武器，但是何時用這些武器， 用什么武器，怎樣使用，這是遇到的一個具體問題，需要認(rèn)真進(jìn)行分析。 首先必須分析，在題設(shè)中給出了哪些條件，與其相關(guān)的圖形是什么！其次再分析一下要證明的兩個角在圖形的具體位置，與已知條件有什么關(guān)聯(lián)，怎樣

6、運用一次推理或幾個一次推理的組合而來完成題設(shè)到結(jié)論的過渡。例 3,如圖/ 1 = /2=/C,求證/ B=/C分析：題設(shè)中給出三個相等的角，其中/ 2和/ C是直線DE和BC被AC所截構(gòu)成的同位 角，由/ 2=/C則DE/BC o再看題中要證明的結(jié)論是/B=/C,由于/ C=/1,所以只要證明/1=/B,而/ 1與/B是兩條平行直線 DE, BC被直線AB所截構(gòu)成的同位角，/ 1=/B是很 顯然的，這樣我們就理順了從已知到求證的途徑：L j，"一證明：./ 2=/C （已知）， .DE/BC （同位角相等，兩直線平行），./ 1 = /B （兩直線平行，同位角相等），又/ 1 = /

7、C （已知）， ./ B=/C （等量代換）例 4、已知如圖， AB/CD , AD/BC ,求證：/ A=/C, / B= / D。分析：要證明/ A=/C, /B=/ D,從這四個角在圖中的位置來看，每一組既不構(gòu)成同位角，也不是內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角，由此不可能利用題設(shè)中的平行關(guān)系，經(jīng)過一次推理得到結(jié)論，仍然如同例10一樣通過等角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從題設(shè)條件出發(fā)，由 AB/CD，且AB與CD被直線BC所截， 構(gòu)成了一對同旁內(nèi)角，/ B、/C,因此/ B+/C=180o,同時/ B又是另一對平行線 AD、BC被 直線AB所截，構(gòu)成的一又t同旁內(nèi)角/B、/ A, / B+/A=180o,通過/ B的中介，就

8、可以證明得/A=/C。同理，也可得到/ B=/D,整個思路為：=NCAT/EC ZB +ZA =130° I證明：AD/BC （已知）， / A+/ B=180o （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），AB/CD （已知）， / B+/ C=180o （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），./ A=/C （同角的補(bǔ)角相等），同理可證/ B=/D。例 5、已知如圖， AD LBC 于 D, EGXBC 于 G, / E= / 3,求證：/ 1 = /2分析：要證明/ 1 = /2,而從圖中所示的/ 1和/ 2的位置來看，根據(jù)題設(shè)或?qū)W過的定義、公理、定理無法直接證明這兩個角相等，因我們可將視野再拓廣一下

9、，尋找一下/1、/2與周邊各角的關(guān)系，我們看到直線 AD與GE被直線AE所截，形成同位角/ 1、/ E;被AB所截， 形成內(nèi)錯角/ 2、/ 3;而題設(shè)明確告訴我們/ 3=/E,于是目標(biāo)集中到證明 AD/GE ,根據(jù)題設(shè) 中ADLBC, EGXBC,我們很容易辦到這一點，總結(jié)一下思路，就可以得到以下推理程序：EG1£C =£3 =證明： AD LBC于D （已知）， ./ ADC=90 o （垂直定義）， EGXBC 于 G （已知）， ./ EGD=90 o （垂直定義）， ./ ADC= /EGD （等量代換），EG/AD （同位角相等，兩直線平行），./ 1=/E （兩

10、直線平行同位角相等），/ 2= / 3 （兩直線平行內(nèi)錯角相等），又/ E=/3 （已知）， ./ 1 = /2 （等量代換）四、兩條直線位置關(guān)系的論證。兩條直線位置關(guān)系的論證包括：證明兩條直線平行， 證明兩條直線垂直， 證明三點在同一直線上。1、學(xué)過證明兩條直線平行的方法有兩大類（一）利用角；（1）同位角相等，兩條直線平行；（2）內(nèi)錯角相等，兩條直線平行；（3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩條直線平行。（二）利用直線間位置關(guān)系：（1）平行于同一條直線的兩條直線平行； （2）垂直于同一條直線的兩條直線平行。例 6、如圖，已知 BE/CF , / 1 = /2,求證：AB/CD。分析：要證明AB/CD ,由圖

11、中角的位置可看出 AB與CD被BC所截得一對內(nèi)錯角/ ABC 和/ DCB，只要證明這對內(nèi)錯角相等， 而圖中的直線位置關(guān)系顯示， / ABC= / 1 + / EBC, / BCD= /2+/FCB,條件中又已知/ 1=/2,于是只要證明/ EBC=/BCF。證明：BE/CF （已知）， ./ EBC=/FCB （兩直線平行，內(nèi)錯角相等） / 1 = /2 （已知）， / 1 + /EBC=/2+FCB （等量加等量其和相等），即/ ABC= / BCD （等式性質(zhì)），AB/CD （內(nèi)錯角相等，兩直線平行）。例 7、如圖 CD± AB , EF± AB , /1=/2,求證

12、：DG/BC分析：要證明DG/BC ,只需證明/ 1=/DCB,由于/ 1=/2,只需證明/ 2=/DCB, /2 與/ DCB又是同位角，只需證明 CD/EF o根據(jù)題設(shè)CD LAB, EFLAB, CD/EF ,很容易證得, 這樣整個推理過程分成三個層次。CZ）-I-月I（1） 1- ）（平行線的判定）（2） CD/EF = / 2=/ DCB （平行線的性質(zhì)）（3） /1J|n/1 =/ DCB，n DG/BC （平行線判定）在這三個推理的環(huán)節(jié)中，平行線的判定和性質(zhì)交替使用，層次分明證明：.CD，AB于D （已知）， ./ CDB=90 o （垂直定義）， EFXAB 于 F （已知），

13、 ./ EFB=90o （垂直定義）， ./ CDB= / EFB （等量代換），CD/EF （同位角相等，兩直線平行）， ./2=/DCB （兩直線平行，同位角相等）又/ 1 = /2 （已知），./ 1 = /DCB （等量代換），DG/BC （內(nèi)錯角相等，兩直線平行）說明：從以上幾例我們可以發(fā)現(xiàn)，證明兩條直線平行，必須緊扣兩直線平行的條件，往往歸結(jié)于求證有關(guān)兩個角相等，根據(jù)圖形找出兩直線的同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角， 設(shè)法證明這一組同位角或內(nèi)錯角相等，或同旁內(nèi)角互補(bǔ)。而證明兩角相等，又經(jīng)常歸于證明兩直線平行。因此， 交替使用平行線的判定方法和平行線的性質(zhì)就成為證明兩直線平行的常用思路。2、

14、已經(jīng)學(xué)過的證明兩直線垂直的方法有如下二個：（1）兩直線垂直的定義（2） 一條直線和兩條平行線中的一條垂直，這條直線也和另一條垂直。（即證明兩條直線 的夾角等于90。而得到。）例 8、如圖，已知 EF± AB , / 3=/ B, / 1=2 2,求證：CDXAB分析：這是一個與例14同樣結(jié)構(gòu)的圖形， 但證明的目標(biāo)卻是兩條直線垂直。證明CDLAB,根據(jù)幺條直線垂直于兩條平行線中的一條，必垂直于另一條?！庇钟捎谝阎獥l件 EFXAB ,只要證明EF/CD ,要證EF/CD ,結(jié)合圖形，只要證明/ 2=/DCB ,因為/ 1 = /2,只需證明/ DCB= /1 ,而/ DCB與/ 1是一對

15、內(nèi)錯角，因而根據(jù)平行線的性質(zhì)，就需證明DG/BC ,要證明DG/BC根據(jù)平行線的判定方法只需證明/3=/B,而這正是題設(shè)給出的條件，整個推理過程經(jīng)過以下幾個層次：21 -/ 3= / B = DG/BC n/一12 Jn / DCB= / 2（1）平行線判定（2）平行線性質(zhì)DCj!今C CDXAB（3）平行線判定性質(zhì)（4）垂直定義證明：./ 3=/ B （已知），DG/BC （同位角相等，兩直線平行）./ 1 = /DCB （兩直線平行，內(nèi)錯角相等），./ DCB= /2 （等量代換），.DC/EF （同位角相等，兩直線平行），C兩直線平行.同位角相等腦/EF±AB C已知），I二/

16、EFBn燈（垂直定義CDFu蛾（等量代換）,/.CDJLAB （垂直定義）.有括號部分的五步也可以用以下證法：接DC/EF （同位角相等，兩直線平行），又 EFXAB （已知）， CDXAB （一條直線和兩條平行線中的一條垂直，這條直線也和另一條垂直。）E、O、F三點共線,3、已經(jīng)學(xué)過的證明三點共線的方法在前面的幾講中已分析過，若證明 通常采用/EOF=180o,利用平角的定義完成三點共線證明。此方法不再舉例。五、一題多解。例9、已知如圖，/ BED=/B+/D。求證：AB/CD法（一）分析： 要證明AB/CD ,從題設(shè)中條件和圖形出發(fā)考慮，圖形中既不存在三線八角”，又不存在與 AB、CD同時

17、平行的第三條直線或與AB、CD同時垂直的直線，這樣就無法利用平行線公理的推理或平行線的判定方法來證明兩條直線平行。能不能為此創(chuàng)造條件呢？如果我們能夠在圖中添置一條直線，使這條直線和AB、CD中的一條平行，那么我們就有可能證明它也平行于另一條，從而得到AB/CD。根據(jù)平行公理，經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行，所以這樣的直線是存在的。接下來的問題是：過哪一點作這條平行線，考慮題設(shè)中的已知條件，三個角的關(guān)系圍繞著 E點展開的，因而選擇 E點作AB的平行線是較為理想的位 置。證明：過點E作EF/AB ,./ B=/1 （兩直線平行，內(nèi)錯角相等），./ BED= / 1 + /2 （全量

18、等于部分之和），./ 2=/ BED- / 1 （等式性質(zhì)），又/ BED= / B+/ D （已知），/ D= / BED- / B （等式性質(zhì)）./ 2=/ D （等量代換）EF/CD （內(nèi)錯角相等，兩直線平行），EF/AB （作圖），AB/CD （平行于同一直線的兩直線平行）說明：在光憑題設(shè)條件無法直接證得結(jié)論時，在圖中添置新的線， 以構(gòu)成一個條件充分的圖形，從而得出所求證的結(jié)論，像這樣添置的線叫做輔助線，在畫圖時，輔助線用虛線畫出。法（二）分析： 如果在E點的另一側(cè)添置 AB的平行線（如圖），同樣可以憑此證得結(jié)論, 但是由于所取的角的位置不同，推理的依據(jù)過程也有所不同。證明：過點E作E

19、F/AB （如圖），/ B+/ 1=180o （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），/ 1 + /2+/BED=360 0 （周角定義），/ BED= / B+ / D （已知），/ B+/D+/ 1 + / 2=3600 （等量代換），/ D+/ 2=360o- （ / B+/1）（等式性質(zhì)）=360 0.1800 （等量代換）=180 0EF/CD （同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），EF/AB （作圖），AB/CD （平行于同一直線的兩條直線平行）。注意：在添置輔助線 EF時，只能過E點作直線EF平行于直線 AB、CD中的一條，而不能 同時平行于AB和CD。從另一個方面考慮這個命題，仍然是這個圖形如果

20、我們交換題設(shè)和結(jié)論部分：即已知AB/CD ,能否得到/ BED= / B+ / D的結(jié)論，仍然像例 16法（一）那樣添置 AB的平行線EF, 可得到/ B=/BEF,又由于 AB/CD，則EFCD。于是又有/ D= / DEF ,很顯然/ B+/ D= / BEF+ ZDEF=ZBEDo可知，交換原命題的題設(shè)和結(jié)論部分，仍然得到一個真命題。平行線的性質(zhì)考點才3描：會用一直線截兩平行線所得的同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)等性質(zhì)進(jìn)行推理和計算.名師精講：平行線的性質(zhì)是指在兩條直線平行的前提條件下，能夠得到的與圖形有關(guān)的位置及數(shù)量關(guān) 系.平行線的性質(zhì)有：（1）平行線永遠(yuǎn)不相交（定義）；（2）兩

21、直線平行，同位角相等（性質(zhì)公理）；（3）兩直線平行，內(nèi)錯角相等（性質(zhì)定理1）;（4）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)（性質(zhì)定理2）.平行線的判定和平行線的性質(zhì)不能混淆，應(yīng)分清定理（或公理）的條件結(jié)論：（1）判定定理說的是滿足了什么條件（性質(zhì)）的兩條直線是互相平行的.（2）性質(zhì)定理說的是如果兩條直線平行，它具有什么性質(zhì).互逆”定理）由此可見，判定定理與性質(zhì)定理是因果關(guān)系倒置的兩類定理（稱為1 .已知：如圖， AB / CD , CE平分/ ACD , / A = 110° ,則/ ECD的度數(shù)等于（A、110°B、70°C、55° D、35°考點：平行線的性質(zhì)，角平分線評析：因為/ A與/ ACD是同旁內(nèi)角，又 AB/CD,由平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁 內(nèi)角互補(bǔ)，可知I /A+/ACD=180 .當(dāng)/A = 110° 時，/ ACD=70 .又 CE 平分/ ACD ,所以/ ACE=/ECD=? /ACD=35 ,故應(yīng)選 D.2 .如圖，已知：14/12, / 1=100 °,則/ 2=.考點：平行線的性質(zhì)評析：/1與/ 3是同位角，