一元非線性回歸分析

1、案例 目標(biāo)函數(shù)可線性化的曲線回歸建模與分析1 曲線回歸常用的非線性目標(biāo)函數(shù)及其線性化的方法在一些實(shí)際問題中，變量間的關(guān)系并不都是線性的，那時就應(yīng)該用曲線去進(jìn)行擬合.用曲線去擬合數(shù)據(jù)首先要解決的問題是回歸方程中的參數(shù)如何估計(jì)?解決這一問題的基本思路是：對于曲線回歸建模的非線性目標(biāo)函數(shù)，通過某種數(shù)學(xué)變換使之“線性化”化為一元線性函數(shù)的形式，繼而利用線性最小二乘估計(jì)的方法估計(jì)出參數(shù)和，用一元線性回歸方程來描述與間的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，然后再用逆變換還原為目標(biāo)函數(shù)形式的非線性回歸方程.下面給出常用的非線性函數(shù)及其線性化的方法. 倒冪函數(shù)函數(shù)圖象線性化方法令，則. 雙曲線函數(shù) 函數(shù)圖象 b<0 b>

2、0線性化方法令，則. 冪函數(shù)函數(shù)圖象 b<0 0<b<1 b>1線性化方法令，則. 指數(shù)函數(shù)函數(shù)圖象 b>0 b<0線性化方法令，則. 倒指數(shù)函數(shù)函數(shù)圖象 b>0 b<0線性化方法令，則. 對數(shù)函數(shù)函數(shù)圖象 b>0 b<0線性化方法令，則. S型曲線 函數(shù)圖象 線性化方法令，則.2 曲線回歸方程的評價方法對于可選用回歸方程形式，需要加以比較以選出較好的方程，常用的準(zhǔn)則有： 決定系數(shù)定義，稱為決定系數(shù). 顯然.大表示觀測值與擬合值比較靠近，也就意味著從整體上看，個點(diǎn)的散布離曲線較近.因此選大的方程為好. 剩余標(biāo)準(zhǔn)差定義稱為剩余標(biāo)準(zhǔn)差.類

3、似于一元線性回歸方程中對的估計(jì). 可以將看成是平均殘差平方和的算術(shù)根，自然其值小的方程為好.其實(shí)上面兩個準(zhǔn)則所選方程總是一致的，因?yàn)樾”赜袣埐钇椒胶托?，從而必定?不過，這兩個量從兩個角度給出我們定量的概念.的大小給出了總體上擬合程度的好壞，給出了觀測點(diǎn)與回歸曲線偏離的一個量值.所以，通常在實(shí)際問題中兩者都求出，供使用者從不同角度去認(rèn)識所擬合的曲線回歸. F檢驗(yàn)（類似與一元線性回歸中的F檢驗(yàn)）,其中，.3 范例與MATLAB實(shí)現(xiàn)【例6.2】 為了解百貨商店銷售額與流通率（這是反映商業(yè)活動的一個質(zhì)量指標(biāo)，指每元商品流轉(zhuǎn)額所分?jǐn)偟牧魍ㄙM(fèi)用）之間的關(guān)系，收集了九個商店的有關(guān)數(shù)據(jù)（見下表）.表 銷售額

4、與流通費(fèi)率數(shù)據(jù)樣本點(diǎn)x銷售額（萬元）y流通費(fèi)率（%）123456789 1.5 4.5 7.510.513.516.519.522.525.57.04.83.63.12.72.52.42.32.2繪制散點(diǎn)圖x=1.5, 4.5, 7.5,10.5,13.5,16.5,19.5,22.5,25.5;y=7.0,4.8,3.6,3.1,2.7,2.5,2.4,2.3,2.2; sdt(x,y) 擬合倒冪函數(shù)曲線nlin1(x,y) 擬合曲線方程是y=2.2254+7.6213/x剩余標(biāo)準(zhǔn)誤差Sy=0.42851可決系數(shù)R=0.96733 '方差來源' '偏差平方和'

5、 '自由度' '方差' ' F值' 'F臨界值' '顯著性' '回歸' 18.7146 1 18.7146 101.9186 5.5914 '* *' '剩余' 1.2854 7 0.1836 12.2464 '總和' 20 8 擬合冪函數(shù)曲線nlin3(x,y) 擬合曲線方程是y=8.5173x-0.42589剩余標(biāo)準(zhǔn)誤差Sy=0.146可決系數(shù)R=0.99626 '方差來源' '偏差平方和' '自由度'

6、; '方差' ' F值' ' F臨界值' '顯著性' '回歸' 19.8508 1 19.8508 931.2285 5.5914 '* *' '剩余' 0.1492 7 0.0213 12.2464 '總和' 20 8 擬合指數(shù)函數(shù)曲線nlin5(x,y) 擬合曲線方程是y=2.3957exp(1.7808/x)剩余標(biāo)準(zhǔn)誤差Sy=0.6497可決系數(shù)R=0.92318 '方差來源' '偏差平方和' '自由度' '

7、;方差' 'F值' ' F臨界值' '顯著性' '回歸' 17.0452 1 17.0452 40.3812 5.5914 '* *' '剩余' 2.9548 7 0.4221 12.2464 '總和' 20 8 擬合對數(shù)函數(shù)曲線nlin6(x,y) 擬合曲線方程是y=1632.5-1.713log(x)剩余標(biāo)準(zhǔn)誤差Sy=0.2762可決系數(shù)R=0.98656 '方差來源' '偏差平方和' '自由度' '方差'

8、' F值' ' F臨界值' '顯著性' '回歸' 19.4660 1 19.4660 255.1773 5.5914 '* * '剩余' 0.5340 7 0.0763 12.2464 '總和' 20 8 【說明】函數(shù)nlin1，nlin2，nlin3，nlin4，nlin5，nlin6，nlin7分別用來擬合第一（倒冪函數(shù)）、二（雙曲線）、三（冪函數(shù)）、四（指數(shù)函數(shù)）、五（倒指數(shù)函數(shù)）、六（對數(shù)函數(shù)）、七（S型曲線）種類型曲線求非線性回歸的回歸方程函數(shù)，并在同一個圖形中繪制散點(diǎn)圖和回歸線圖.這幾個函數(shù)的調(diào)用方式相同，以第一個函數(shù)為例S,Sy,r2,table=nlin1(x,y)輸入?yún)?shù)x,y是長度相等的兩個向量.輸出參數(shù)個數(shù)可選如果沒有輸出參數(shù)，則在命令窗口中顯示回歸線