版高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1 空間向量及其運(yùn)算 3.1.3 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算課件 新人教A版選修2-1

1、第三章3.1空間向量及其運(yùn)算3.1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握空間向量夾角概念及表示方法.2.掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)、計(jì)算方法及運(yùn)算規(guī)律.3.掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的主要用途，能運(yùn)用數(shù)量積求向量夾角和判斷向量的共線與垂直.題型探究問(wèn)題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一空間向量數(shù)量積的概念思考1答案求兩個(gè)向量的數(shù)量積需先確定這兩個(gè)向量的模和夾角，當(dāng)夾角和長(zhǎng)度不確定時(shí)，可用已知夾角和長(zhǎng)度的向量來(lái)表示該向量，再代入計(jì)算.思考2120.答案梳理梳理(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a|b|cosa，b叫做a，b的數(shù)量積，記作ab.(2)數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與向量數(shù)量積的結(jié)

2、合律(a)b_交換律ab_分配律a(bc)_abac(ab)ba(3)空間向量的夾角aob范圍：a，b .特別地：當(dāng)a，b 時(shí)，ab.0，知識(shí)點(diǎn)二空間向量的數(shù)量積的性質(zhì)兩個(gè)向量數(shù)量積的性質(zhì)若a，b是非零向量，則ab_若a與b同向，則ab ；若反向，則ab . 特別地，aa 或|a|若為a，b的夾角，則cos _|ab|a|b|a|2ab0|a|b|a|b|題型探究類(lèi)型一空間向量的數(shù)量積運(yùn)算命題角度命題角度1空間向量的數(shù)量積基本運(yùn)算空間向量的數(shù)量積基本運(yùn)算例例1(1)下列命題是否正確？正確的請(qǐng)給出證明，不正確的給予說(shuō)明.p2q2(pq)2；解答此命題不正確.p2q2|p|2|q|2，而(pq)2

3、(|p|q|cosp，q)2|p|2|q|2cos2p，q，當(dāng)且僅當(dāng)pq時(shí)，p2q2(pq)2.|pq|pq|p2q2|；解答此命題不正確.|p2q2|(pq)(pq)|pq|pq|cospq，pq|，當(dāng)且僅當(dāng)(pq)(pq)時(shí)，|p2q2|pq|pq|.若a與(ab)c(ac)b均不為0，則它們垂直.解答此命題正確.a(ab)c(ac)ba(ab)ca(ac)b(ab)(ac)(ab)(ac)0，且a與(ab)c(ac)b均為非零向量，a與(ab)c(ac)b垂直.(2)設(shè)a，b120，|a|3，|b|4，求：ab；解答ab|a|b|cosa，b，ab34cos 1206.(3a2b)(a2

4、b).解答(3a2b)(a2b)3|a|24ab4|b|23|a|24|a|b|cos 1204|b|2，(3a2b)(a2b)39434( )41627246461.(1)已知a，b的模及a與b的夾角，直接代入數(shù)量積的公式計(jì)算.(2)如果欲求的是關(guān)于a與b的多項(xiàng)式形式的數(shù)量積，可以先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將多項(xiàng)式展開(kāi)，再利用aa|a|2及數(shù)量積公式進(jìn)行計(jì)算.反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1已知a，b均為單位向量，它們的夾角為60，那么|a3b|等于|a3b|2(a3b)2a26ab9b216cos 60913，|a3b| .答案解析則|a|c|2，|b|4，abbcca0.命題角度命題角度2利用空

5、間向量的數(shù)量積解決立體幾何中的運(yùn)算問(wèn)題利用空間向量的數(shù)量積解決立體幾何中的運(yùn)算問(wèn)題例例2已知長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1中，abaa12，ad4，e為側(cè)面ab1的中心，f為a1d1的中點(diǎn).試計(jì)算：解答解答解答兩向量的數(shù)量積，其運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量，而不是向量.零向量與任意向量的數(shù)量積為0.向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2已知正四面體oabc的棱長(zhǎng)為1，求：解答解答類(lèi)型二利用數(shù)量積求夾角或模命題角度命題角度1利用數(shù)量積求夾角利用數(shù)量積求夾角例例3已知bb1平面abc，且abc是b90的等腰直角三角形，abb1a1、bb1c1c的對(duì)角線都分別相互垂直且相等，若aba，求異面直線b

6、a1與ac所成的角.解答abbc，bb1ab，bb1bc，又異面直線所成的角是銳角或直角，異面直線ba1與ac所成的角為60.反思與感悟利用向量求異面直線夾角的方法因?yàn)閜o，且l，所以lpo，跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3已知：po、pa分別是平面的垂線、斜線，ao是pa在平面內(nèi)的射影，l，且loa.求證：lpa.證明命題角度命題角度2利用數(shù)量積求模利用數(shù)量積求模(或距離或距離)例例4如圖所示，在平行六面體abcda1b1c1d1中，ab1，ad2，aa13，bad90，baa1daa160，求ac1的長(zhǎng).解答因?yàn)閎ad90，baa1daa160，利用向量的數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問(wèn)題

7、，其基本思路是先選擇以?xún)牲c(diǎn)為端點(diǎn)的向量，將此向量表示為幾個(gè)已知向量的和的形式，求出這幾個(gè)已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a| 求解即可.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練4如圖，已知線段ab平面，bc，cdbc，df平面，且dcf30，d與a在的同側(cè)，若abbccd2，求a，d兩點(diǎn)間的距離.解答類(lèi)型三利用空間向量的數(shù)量積解決垂直問(wèn)題因?yàn)閛boc，abac，oaoa，所以oacoab，所以aocaob.例例5如圖，在空間四邊形oabc中，oboc，abac，求證：oabc.證明反思與感悟(1)證明線線垂直的方法證明線線垂直的關(guān)鍵是確定直線的方向向量，看方向向量的數(shù)量積是否為0來(lái)判斷兩直線

8、是否垂直.(2)證明與空間向量a，b，c有關(guān)的向量m，n垂直的方法先用向量a，b，c表示向量m，n，再判斷向量m，n的數(shù)量積是否為0.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練5已知向量a，b滿足：|a|2，|b| ，且a與2ba互相垂直，則a與b的夾角為_(kāi).45答案解析a與2ba垂直，a(2ba)0，即2ab|a|20.2|a|b|cosa，b|a|20，又a，b0，180，a與b的夾角為45.當(dāng)堂訓(xùn)練23451|a2b3c|2|a|24|b|29|c|24ab6ac12bc14.1.已知a，b，c是兩兩垂直的單位向量，則|a2b3c|等于a.14 b. c.4 d.2答案解析選項(xiàng)c，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得ab平面add1a1，23451答案解析2.在長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1中，下列向量的數(shù)量積一定不為0的是23451易知正確；3.在正方體abcda1b1c1d1中，有下列命題：其中真命題的個(gè)數(shù)為a.1 b.2 c.3 d.0答案解析23451答案解析234515.已知正四面體abcd的棱長(zhǎng)為2，e，f分別為bc，ad的中點(diǎn)，則ef的長(zhǎng)為_(kāi).1222122(12cos 120021cos 120)2，答案解析規(guī)律與方法1.空間向量運(yùn)算的兩種方法(1)利用定義：利用ab|a|b|cosa，b并結(jié)合運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算.(2)利用圖形：計(jì)算兩個(gè)數(shù)量的數(shù)量積，可先將各向量移到同一頂點(diǎn)，利用圖形尋找?jiàn)A角，再