直線與拋物線的位置關(guān)系(教師)

1、直線與拋物線的位置關(guān)系題型一拋物線的定義及應(yīng)用例1-1：（2012·皖南八校一聯(lián)） 若直線mxy10(m>0，n>0)經(jīng)過拋物線y24x的焦點(diǎn)，則 的最小值為( )A32 B3 C. D.例1-2：設(shè)F為拋物線y24x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若0，則|等于 ()A9 B6 C4 D3答案B解析設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，又F(1,0)由0知(x11)(x21)(x31)0，即x1x2x33，|x1x2x3p6.訓(xùn)練1-1： (2011·遼寧)已知F是拋物線y2x的焦點(diǎn)，A、B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|BF|3，則線段AB

2、的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為()A. B1 C. D.答案C解析|AF|BF|xAxB3，xAxB.線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為.訓(xùn)練1-2：過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及其準(zhǔn)線于點(diǎn)A、B、C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則拋物線的方程為( )Ay2x By29x Cy2x Dy23x訓(xùn)練1-3：已知直線和直線，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之和的最小值是（ ）A. B. C. 3 D. 2題型二直線與拋物線的位置關(guān)系例2-1：(2011·江西)已知過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(

3、x1<x2)兩點(diǎn)，且|AB|9.(1)求該拋物線的方程(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若，求的值思維啟迪：(1)聯(lián)立方程，利用焦點(diǎn)弦公式求解；(2)先求出A、B坐標(biāo)，利用關(guān)系式表示出點(diǎn)C坐標(biāo)，再利用點(diǎn)C在拋物線上求解解(1)直線AB的方程是y2(x)，與y22px聯(lián)立，從而有4x25pxp20，所以x1x2.由拋物線定義得|AB|x1x2p9，所以p4，從而拋物線方程是y28x.(2)由p4知4x25pxp20可化為x25x40，從而x11，x24，y12，y24，從而A(1，2)，B(4,4)設(shè)(x3，y3)(1，2)(4,4)(41，42)，又y8x3，所以2(21)28(41

4、)，即(21)241，解得0或2.練習(xí)2-1：（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷）本題共有2個(gè)小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分6分.21世紀(jì)教育網(wǎng)已知拋物線 的焦點(diǎn)為.(1)點(diǎn)滿足.當(dāng)點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;(2)在軸上是否存在點(diǎn),使得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線上?如果存在,求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,則, 因?yàn)榈淖鴺?biāo)為,所以, 由得. 即 解得 代入,得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為. (2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為, 則 解得 若在上,將的坐標(biāo)代入,得,即或. 所以存在滿足題意的點(diǎn),其坐標(biāo)為和. 例2-2：（2

5、013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)到直線:的距離為.設(shè)為直線上的點(diǎn),過點(diǎn)作拋物線的兩條切線,其中為切點(diǎn).() 求拋物線的方程;() 當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí),求直線的方程;() 當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí),求的最小值.【答案】() 依題意,設(shè)拋物線的方程為,由結(jié)合,解得. 所以拋物線的方程為. () 拋物線的方程為,即,求導(dǎo)得 設(shè),(其中),則切線的斜率分別為, 所以切線的方程為,即,即 同理可得切線的方程為 因?yàn)榍芯€均過點(diǎn),所以, 所以為方程的兩組解. 所以直線的方程為. () 由拋物線定義可知, 所以 聯(lián)立方程,消去整理得 由一元二次方程根

6、與系數(shù)的關(guān)系可得, 所以 又點(diǎn)在直線上,所以, 所以 所以當(dāng)時(shí), 取得最小值,且最小值為. 例2-3： (2011·湖南高考)已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設(shè)l1與軌跡C相交于點(diǎn)A，B，l2與軌跡C相交于點(diǎn)D，E，求·的最小值審題視角(1)依題設(shè)可知，利用直接法求軌跡方程；(2)先設(shè)直線l1的斜率為k，依題設(shè)條件可求出·關(guān)于k的解析式，利用基本不等式求最值規(guī)范解答解(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由題意有|x|1.化簡(jiǎn)得y22x2|x|.當(dāng)

7、x0時(shí)，y24x；當(dāng)x<0時(shí)，y0.所以，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y24x (x0)和y0 (x<0)5分(2)由題意知，直線l1的斜率存在且不為0，設(shè)為k，則l1的方程為yk(x1)由得k2x2(2k24)xk20.7分設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是x1x22，x1x21.因?yàn)閘1l2，所以l2的斜率為.設(shè)D(x3，y3)，E(x4，y4)，則同理可得x3x424k2，x3x41.9分故·()·()····|·|·|(x11)(x21)(x31)(x41)x

8、1x2(x1x2)1x3x4(x3x4)1111(24k2)18484×216.11分當(dāng)且僅當(dāng)k2，即k±1時(shí)，·取最小值16.12分練習(xí)2-3：（2014新課標(biāo)全國卷） 已知點(diǎn)A(0，2)，橢圓E：1(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程解：(1)設(shè)F(c，0)，由條件知，得c.又，所以a2，b2a2c21. 故E的方程為y21.(2)當(dāng)lx軸時(shí)不合題意，故可設(shè)l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)將ykx2

9、代入y21得(14k2)x216kx120，當(dāng)16(4k23)>0，即k2>時(shí)，x1，2，從而|PQ|x1x2|.又點(diǎn)O到直線l的距離d.所以O(shè)PQ的面積SOPQd·|PQ|.設(shè)t，則t>0，SOPQ.因?yàn)閠4，當(dāng)且僅當(dāng)t2，即k±時(shí)等號(hào)成立，滿足>0，所以，當(dāng)OPQ的面積最大時(shí)，k±，l的方程為yx2或yx2.例2-4：（2013年高考陜西卷（理）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0), 且在y軸上截得的弦MN的長為8. () 求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程; () 已知點(diǎn)B(-1,0), 設(shè)不垂直于x軸的直線與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P, Q, 若x軸是的角

10、平分線, 證明直線過定點(diǎn). 【答案】解:() A(4,0),設(shè)圓心C ()點(diǎn)B(-1,0), . 直線PQ方程為: 所以,直線PQ過定點(diǎn)(1,0) 基礎(chǔ)練習(xí)：1 動(dòng)圓過點(diǎn)(1,0)，且與直線x1相切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為_答案y24x解析設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為(x，y)，則圓心到點(diǎn)(1,0)的距離與到直線x1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知?jiǎng)訄A的圓心的軌跡方程為y24x.2 若拋物線y22px的焦點(diǎn)與橢圓1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為_答案4解析因?yàn)闄E圓1的右焦點(diǎn)為(2,0)，所以拋物線y22px的焦點(diǎn)為(2,0)，則p4.3 (2012·重慶)過拋物線y22x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A

11、，B兩點(diǎn)，若|AB|，|AF|<|BF|，則|AF|_.答案解析由于y22x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)AB所在直線的方程為yk，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1<x2，將yk代入y22x，得k222x，k2x2(k22)x0.x1x2.而x1x2px1x21，x1x2.x1，x2.|AF|x1.4 (2012·四川)已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，并且經(jīng)過點(diǎn)M(2，y0)若點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3，則|OM| ()A2 B2 C4 D2答案B解析由題意設(shè)拋物線方程為y22px(p>0)，則M到焦點(diǎn)的距離為xM23，p2，y24x.y4×28

12、，|OM|2.5 設(shè)拋物線y28x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是 ()A. B2,2C1,1 D4,4答案C解析Q(2,0)，設(shè)直線l的方程為yk(x2)，代入拋物線方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，由(4k28)24k2·4k264(1k2)0，解得1k1.6 設(shè)P是曲線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)B(1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x1的距離之和的最小值為_答案解析拋物線的頂點(diǎn)為O(0,0)，p2，準(zhǔn)線方程為x1，焦點(diǎn)F坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)P到點(diǎn)B(1,1)的距離與點(diǎn)P到準(zhǔn)線x1的距離之和等于|PB|PF|.如圖，|PB|PF|BF|，當(dāng)B、P、F三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，此時(shí)|BF|.7 已知定點(diǎn)A(1,0)和直線x1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且，動(dòng)點(diǎn)P滿足，(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過點(diǎn)B(0,2)的直線l與(1)中的軌跡C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，若·<0，求直線l的斜率的取值范圍解(1)設(shè)P(x，y)，E(1，yE)，F(xiàn)(1，yF)·(2，yE)·(2，yF)yE·yF40，yE·yF4，又(x1，yyE)，(1，yF)，且，yyE0且x(yF)y