導(dǎo)數(shù)問題中的分類討論

1、導(dǎo)數(shù)問題中分類討論的方法摘要 ：近年，高考解答題對導(dǎo)數(shù)部分的考察幾乎都會涉及到對某個參數(shù)的分類討論，而考生的在這一題中的得分率并不高。主要原因有兩個， 一是看不懂題意， 二是不會分類討論。而分類討論在高考中處于重要的“地位”：分類討論思想是歷年高考的必考內(nèi)容，它不僅是高考的重點與熱點，而且是高考的難點。每年在中高檔題甚至在低檔題中都設(shè)置分類討論問題，通過分類討論考查推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和分析問題解決問題的能力。本人在幾年的教學(xué)生涯中，對這類問題作了一定的探討，并總結(jié)出了導(dǎo)數(shù)問題中解答問題的步驟及引起分類討論的原因。關(guān)鍵詞： 單調(diào)區(qū)間，極值，分類，最值，取值范圍為了更好的解決導(dǎo)數(shù)中分類討論的問題，筆者建

2、議按照下列步驟來解決導(dǎo)數(shù)解答題（ 1） 求導(dǎo) f ' ( x)（ 2） 令 f ' ( x) =0（ 3） 求出 f ' ( x) =0 的根（ 4） 作出導(dǎo)數(shù)的圖像或等價于導(dǎo)數(shù)的圖像 （一般是二次函數(shù)或一次函數(shù)的圖像）（ 5） 由圖像寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，或最值規(guī)范了步驟后，在解題過程中涉及到的分類討論一般有：方程f ' (x) =0 的類型引起的討論、根的存在引起的討論、根的大小引起的討論、畫圖像時開口或斜率的討論、根與給定區(qū)間:或定義域的端點的大小的討論）下面筆者結(jié)合若干例題對上述的分類討論方法作一一闡述例 1：若函數(shù)2xf ( x)axlna 0），

3、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。x（ 解： f ( x) a21ax 2x 2 (x 0)x 2xx2令f' ( )2x 20（注意這里方程的類型需要討論）x =0，即： ax若 a0，則 x2, 作出 g( x)x2 的圖像，由圖像可知f ( x) 在（ 0,2）上為減函數(shù)，在（2， +）上為增函數(shù)若 a0，則1 8a 0,由 ax 2x 20 ，得118a118ax12a<0, x22a>0作出 h( x)ax 2x 2 的圖像，由圖像可知f ( x) 在 (0, x2 )上為減函數(shù)，在（x2 , )上為增函數(shù)綜上所述： a0時 ， f (x) 在（ 0,2）上為減函數(shù)，在（2， +

4、）上為增函數(shù)（ ， 11 8a ）上為減函數(shù)a 0時， f ( x)在02a在（1 18a ，）上為增函數(shù)2a例 2：(08 全國高考 )已知函數(shù)f(x) x3 ax2 x 1，aR ，討論函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間解： f ( x) 3x22ax 1令 f ( x) 3x 22ax 1 0（注意這里根的存在需要討論）4a212若4a 212 0 ，即3 a3 ，則 f ( x)在 R上為增函數(shù)若4a2120,即 a33或 a由 f ( x) 3x 22ax 10 得，x1aa 23 , x2aa2333f (x)在 (,aa23 )或（aa23 ，）上為增函數(shù)33（aa 23 - aa 23)

5、上為減函數(shù)，在33綜上所述：3 a3 時， f ( x)在 R上為增函數(shù)a3或 a3時，f (x)在 (,aa 23 )或（ aa 23 ， ）33上為增函數(shù)， 在（aa 23- aa 23) 上為減函數(shù)3，3例 3. （ 2010 北京）已知函數(shù)f ( x )=In(1+x )- x + k x2 ( k 0) 。2求 f(x ) 的單調(diào)區(qū)間。解： f( x)11kxx(kxk 1) ( x1)1x1x令f' ()，即： x(kxk1)0（這里需要對方程kx k 1 0 的類型討論）x =0若 k=0 ，則 f (x)x1xf (x) 在（ -1,0）上為增函數(shù)，在（ 0， +）上為

6、減函數(shù)若 k0,由 x(kx k 1)0 得，1x0或 x11（這里需要對兩個根的大小進(jìn)行討論）kx2若 k=1 ，則 f (x)， f ( x) 在（ -1,）上為增函數(shù)1x若 0k 1，則 f (x) 在 (1,0) 或 (11, ) 上為增函數(shù)k11) 上為減函數(shù)在 (0,k1若 k1 ，則 f (x) 在 (1,1)或 (0,) 上為增函數(shù)k在 ( 11,0) 上為減函數(shù)k綜上所述：若 k=0 ，f ( x) 在（ -1,0）上為增函數(shù)，在（0， +）上為減函數(shù)若 0k1， f (x) 在 ( 1,0) 或 ( 11,) 上為增函數(shù)k1在 (0,1) 上為減函數(shù)k若 k=1 ， f (

7、 x) 在（ -1,）上為增函數(shù)若 k1 ， f (x) 在 ( 1, 11) 或 (0,) 上為增函數(shù)k在 ( 1 1,0) 上為減函數(shù)k例 4.（ 2009 北京理改編）設(shè)函數(shù)f (x)xekx ，求函數(shù) f (x) 的單調(diào)區(qū)間解：f( x)ekxkxekxekx(kx1)令 f ( x)0 ，即 kx10（這里需要對方程kx10的類型討論）若，則 f ( x)10 ， f ( x) 在上為增函數(shù)若 k0 則由 kx 10得， x1 (這里需要對 ykx 1 的k斜率討論 )若 k>0 則 f ( x) 在 (,1 ) 上為減函數(shù)，在(1 ,) 上為增函數(shù)kk若 k<0 ，則

8、f ( x) 在 (,1 ) 上為增函數(shù)，在(1 ,) 上為減函數(shù)kk綜上所述：若 k=0 ， f ( x) 在上為增函數(shù)若 k>0 則 f ( x) 在 (,1 ) 上為減函數(shù)，在(1,) 上為增函數(shù)kk若 k<0，則 f (x) 在 (,1) 上為增函數(shù)， 在 (1 ,) 上為減函數(shù)kk例 5：（海南 2011 四校聯(lián)考）f ( x) 2 ln x2x3, g ( x)p2( p 2) x3x若對任意的 x1,2,f ( x)g (x)恒成立，求實數(shù) p的取值 范圍解： f ( x)的定義域為（ 0，）設(shè)h( x)f (x)g( x)2 ln xpxp 2x設(shè) h' (

9、 x)px 22x p 2x 2令' ()0,即22xp20設(shè) hxpx（對方程類型的討論）若 p=0,則 設(shè) h' (x)2x 20x 2則 h( x)在 1,2上為增函數(shù) , h( x)minh(1)2,不符合要求若 p0,由px 22xp20 得p2x1或 x（對兩根的大小，定義域的端點、給定區(qū)間的端點大小的討論）p若 p21,即 p1, 則 h( x) min h(1)0 ,符合題意p若 p21,即 1p 0, 則 h( x) minh(1)2p 2 0 ，不符合題意pp20,即 2 p1,則 h(x)min h(1)2 p 2 0 ，符合題意若1p若 p 20,即 p

10、2, 則 h(x) minh(1) 2 0 ，符合題意pp21,即 p2,則 h(x)min h(1)2 p 2 0 ，符合題意若 0p若 1p22,即 p2, 則 h(1)2 p20 ，不符合題意p若 p22,即 p2,則 h(1)20 ，不符合題意p若 p22,即0p2,則 h(1)2 p20，不符合題意p綜上所述： p 的取值范圍為 ( ,1下面筆者就海南 2010 年高考的壓軸題來說明本人提出的解題步驟和討論方法具有一定的實用價值，當(dāng)然解答的過程可能不夠嚴(yán)謹(jǐn)，處于定性的范圍，不足之處，望全體同仁多多指教。例 6：（海南 2010 理）設(shè)函數(shù) f ( x)ex1xax2。若當(dāng) x 0 時 f ( x)0 ，求 a 的取值范圍f ( x)ex2ax1令 f ( x)ex2ax10 （此方程是個超越方程，故根的討論轉(zhuǎn)換成兩個函數(shù)的交點的問題）即 ex 2ax 1令 y1 ex ，y22ax 1易求得 y1ex在 A 的切線的斜率為1顯然若有2a1，即 a1則有 ex2ax1 恒成立2即 f ( x)ex2ax10恒成立所以 x0 ，時 f( x)f (0)0 ，即 f ( x)01若有 2a1