常用的基本求導公式

1、1基本求導公式 (C ) 0 （ C 為常數(shù)） ( x n )nx n 1 ；一般地， ( x )x 1 。特別地： ( x)1 ， ( x 2 )2x ， ( 1 )1， (x )1。xx22x(ex ) ex ；一般地， (a x ) a x ln a ( a0, a1) 。(ln x)1(log a x)1(a 0, a1) 。；一般地，x ln ax2求導法則 四則運算法則設 f ( x)，g( x) 均在點 x 可導，則有：（） ( f (x)g( x)f ( x) g ( x) ；（） ( f ( x) g (x)f ( x)g (x)f (x)g ( x) ，特別 (Cf (x)

2、Cf ( x)（ C為常數(shù)）；（）( f (x) )f ( x) g(x) f ( x)g ( x) , ( g( x)0)，特別 ( 1 )g ( x)。g(x)g 2 (x)g( x)g 2 ( x)3微分函數(shù) yf ( x) 在點 x 處的微分： dyy dxf ( x)dx4、 常用的不定積分公式xdx1x 1C (1), dxx c,xdxx 2c, x 2 dxx3（ 1）x 4123 ；x 3dxc4（ 2）1 dxln | x | C ； ex dx exC ； a x dxa xC (a 0, a 1) ；xln a（ 3） kf ( x)dx kf (x)dx （ k 為常

3、數(shù)）5、定積分bf (x)dx F ( x) |abF (b) F ( a)a第1頁共11頁bb k1f (x) k2 g(x)dxk1 af ( x)dxa 分部積分法設 u( x) ， v( x) 在 a， b 上具有連續(xù)導數(shù)bba u( x)dv( x)u( x)v( x) a6、線性代數(shù)特殊矩陣的概念bk2 a g (x)dxu (x), v (x) ，則bv( x)du( x)a1000001010（1）、零矩陣 O2 20, （2）、單位矩陣 I n二階I22,001001a100120a22035(3) 、對角矩陣 A(4) 、對稱矩陣 aij a ji , A1002570 a

4、na11a12a1na100(5) 、上三角形矩陣 A0a22a2 n 下三角形矩陣 A0a20000 ann000 ana11a12a1na11a21an1(6) 、矩陣轉置 Aa21a22a2 n 轉置后 ATa12a22an2an1an2anna1na2nann6、矩陣運算ABabefaebfcdghcgdhabefaebgafbhABdghcedgcfdhc7、 MATLAB軟件計算題第2頁共11頁例 6 試寫出用MATLAB軟件求函數(shù)yln(xx2ex ) 的二階導數(shù)y 的命令語句。解： >>clear;>>syms x y;>>y=log(sqr

5、t(x+x2)+exp(x);>>dy=diff(y,2)例：試寫出用MATLAB軟件求函數(shù)yln(xex ) 的一階導數(shù)y 的命令語句。>>clear;>>syms x y;>>y=log(sqrt(x)+exp(x);>>dy=diff(y)例 1121ex3試寫出用 MATLAB軟件計算定積分xdx 的命令語句。1解： >>clear;>>syms x y;>>y=(1/x)*exp(x3);>>int(y,1,2)例 試寫出用MATLAB軟件計算定積分1 ex3 dx 的命令語句

6、。x解： >>clear;>>syms x y;>>y=(1/x)*exp(x3);>>int(y)MATLAB軟件的函數(shù)命令表 1 MATLAB軟件中的函數(shù)命令函數(shù)x axexln xlg xlog 2xxMATLABx asqrt ( x)exp(x)log( x)log 10( x)log 2( x)abs( x)運算符號運算符+-*/功能加減乘除乘方典型例題例 1 設某物資要從產(chǎn)地 A1，A2，A3 調(diào)往銷地 B1， B2， B3， B4，運輸平衡表（單位：噸）和運價表（單位：百元 / 噸）如下表所示：運輸平衡表與運價表銷地BBB供應量B

7、BBBB12341234產(chǎn)地A73113111A241928第3頁共11頁A9741053需求量365620（ 1）用最小元素法編制的初始調(diào)運方案，（ 2）檢驗上述初始調(diào)運方案是否最優(yōu)，若非最優(yōu)，求最優(yōu)調(diào)運方案，并計算最低運輸總費用。解：用最小元素法編制的初始調(diào)運方案如下表所示：運輸平衡表與運價表銷地BBBB供應量BBBB產(chǎn)地12341234A4373113111A31419282A363974105需求量365620找空格對應的閉回路，計算檢驗數(shù)：11 1，12 1，22 0，24 2已出現(xiàn)負檢驗數(shù)，方案需要調(diào)整，調(diào)整量為1調(diào)整后的第二個調(diào)運方案如下表：運輸平衡表與運價表銷地BBBB供應量B

8、BBB產(chǎn)地12341234A5273113111A23141928A363974105需求量365620求第二個調(diào)運方案的檢驗數(shù)：111已出現(xiàn)負檢驗數(shù)，方案需要再調(diào)整，調(diào)整量為2調(diào)整后的第三個調(diào)運方案如下表：運輸平衡表與運價表銷地B2B3B4供應量B1B2B3B4產(chǎn)地B1A1257311311A21341928A639741053第4頁共11頁需求量365620求第三個調(diào)運方案的檢驗數(shù)：12 2，14 1，22 2，23 1，31 9，33 12所有檢驗數(shù)非負，故第三個調(diào)運方案最優(yōu)，最低運輸總費用為：2 × 3 5× 3 1× 13× 8 6×

9、 4 3×5 85（百元）例 2 某物流公司下屬企業(yè)經(jīng)過對近期銷售資料分析及市場預測得知，該企業(yè)生產(chǎn)的甲、乙、丙三種產(chǎn)品，均為市場緊俏產(chǎn)品，銷售量一直持續(xù)上升經(jīng)久不衰。今已知上述三種產(chǎn)品的單位產(chǎn)品原材料消耗定額分別為4 公斤、 4 公斤和 5 公斤；三種產(chǎn)品的單位產(chǎn)品所需工時分別為 6 臺時、 3 臺時和 6 臺時。另外，三種產(chǎn)品的利潤分別為400 元 / 件、250 元 / 件和 300元/ 件。由于生產(chǎn)該三種產(chǎn)品的原材料和工時的供應有一定限制，原材料每天只能供應180公斤，工時每天只有150 臺時。1試建立在上述條件下，如何安排生產(chǎn)計劃，使企業(yè)生產(chǎn)這三種產(chǎn)品能獲得利潤最大的線性規(guī)

10、劃模型。2. 寫出用 MATLAB軟件計算該線性規(guī)劃問題的命令語句。解： 1、設生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品分別為x1 件、x2 件和x3 件，顯然1，2，3 0xxx線性規(guī)劃模型為max S400x1250x2300x34x14 x25x31806x13x26x3150x1， x2，x302解上述線性規(guī)劃問題的語句為：>>clear;>>C=-400 250 300;>>A=4 4 5;6 3 6;>>B=180;150;>>LB=0;0;0;>>X,fval,exitflag=linprog(C,A,B,LB)1012110

11、C T例3已知矩陣 A1， C，求： AB01， B 41221110211010112111解：AB C1412610263021 1例 4 設 y (1 x2)ln x，求： y第5頁共11頁解： y(1 x2 ) ln x(1x2 )(ln x)2x ln x1 x2x例 5ex設 y，求： y1x解： y(ex ) (1x)ex (1x)xex(1 x) 2(1x) 2例 7 某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為 2 萬元，每多生產(chǎn) 1 百臺產(chǎn)品， 總成本增加 1 萬元，銷售該產(chǎn)品 q 百臺的收入為 R( q) 4q 0.5 q2（萬元）。當產(chǎn)量為多少時，利潤最大？最大利潤為多少？解： 產(chǎn)量為

12、 q 百臺的總成本函數(shù)為：C( q) q22利潤函數(shù) L ( q) R( q) C( q) 0.5 q 3q 2令 ML( q) q 3 0 得唯一駐點q 3（百臺）L (3) 0.5 ×323×3 2 2.5 （萬元）例 8 某物流企業(yè)生產(chǎn)某種商品， 其年銷售量為 1000000 件，每批生產(chǎn)需準備費1000 元，而每件商品每年庫存費為0.05 元，如果該商品年銷售率是均勻的，試求經(jīng)濟批量。解： 庫存總成本函數(shù)q1000000000C (q)q40110000000000 得定義域內(nèi)的唯一駐點q 200000 件。令 C ( q)q240即經(jīng)濟批量為200000 件。13

13、ex )dx例 9計算定積分：( x0151x2x1解：0(x3e )dx(2x3e ) |03e2例 10計算定積分：321(x 2) dxx解：322133261(x)dx(x2 ln | x |)|132ln 3x3教學補充說明1.對編程問題，要記住函數(shù)ex， ln，x在 MATLAB軟件中相應的命令函數(shù)exp(x) ，xlog(x)， sqrt(x)；2 對積分問題，主要掌握積分性質及下列三個積分公式：xa dx1 xa 1c （ a 1）a1ex dx exc第6頁共11頁1dxln | x |c7. 記住兩個函數(shù)值： e01， ln 1 0。模擬試題一、單項選擇題： （每小題4 分

14、，共 20 分）1.若某物資的總供應量（C）總需求量，可增設一個虛銷地，其需求量取總供應量與總需求量的差額，并取各產(chǎn)地到該銷地的單位運價為0，則可將該不平衡運輸問題化為平衡運輸問題。(A)等于(B)小于(C)大于(D)不超過2某物流公司有三種化學原料A1，A2，A3。每公斤原料A1 含 B1， B2， B3 三種化學成分的含量分別為0.7 公斤、 0.2公斤和 0.1公斤；每公斤原料 A2 含 B1， B2，B3 的含量分別為 0.1公斤、 0.3公斤和 0.6公斤；每公斤原料A 含 B ，B ，B 的含量分別為0.3公斤、 0.4公斤3123和 0.3 公斤。每公斤原料A1， A2， A3

15、的成本分別為500 元、 300 元和 400 元。今需要 B1 成分至少 100 公斤， B2 成分至少50 公斤， B3 成分至少80 公斤。為列出使總成本最小的線性規(guī)劃模型，設原料A ， A， A 的用量分別為x公斤、 x公斤和 x公斤，則目標函數(shù)為（ D）。123123(A) max S 500x1 300x2400x3(B) minS 100x1 50x2 80x3(C) max 1001 50x280 3(D) min 500 1 300x2 400x3SxxSx3. 設A12,12，并且 A B，則 x（ C）。4x7B7x(A) 4(B) 3(C) 2(D) 14設運輸某物品q

16、噸的成本（單位：元）函數(shù)為( ) 2 50 2000 ，則運輸該物品C qqq100 噸時的平均成本為（A）元/噸。(A) 170(B) 250(C) 1700(D) 170005. 已知運輸某物品q 噸的邊際收入函數(shù)為MR( q) ，則運輸該物品從100 噸到 300噸時的收入增加量為（D）。(A)300() d(0)(B)100qCMR(q)dq100MRq300(C)MR(q)dq(D)300MR(q)dq100二、計算題： （每小題7 分，共21 分）101 ，B21106已知矩陣 A41 ，C，求： AB C0121112102110101020解： ABC1101412611273

17、2117. 設yln x，求： y1x3第7頁共11頁(ln x)(13)(ln x)(13)1x33x 2 ln x解： yxxx(1x3 ) 2(1x3 ) 28.12ex )dx計算定積分：( x3013x14x17解：2e )dx ( 4x2e )|02e40 ( x三、編程題： （每小題6 分，共12 分）9.試寫出用MATLAB軟件求函數(shù)yln(x x2ex ) 的二階導數(shù)y 的命令語句。解： >>clear;>>syms x y;>>y=log(sqrt(x+x2)+exp(x);>>dy=diff(y,2)10.試寫出用 MATL

18、AB軟件計算定積分1xdx 的命令語句。xe0解： >>clear;>>syms x y;>>y=x*exp(sqrt(x);>>int(y,0,1)四、應用題 （第 11、 12 題各 14 分，第 13題 19 分，共 47 分）11.某物流企業(yè)生產(chǎn)某種商品，其年銷售量為1000000 件，每批生產(chǎn)需準備費1000 元，而每件商品每年庫存費為0.05元，如果該商品年銷售率是均勻的，試求經(jīng)濟批量。解： 庫存總成本函數(shù) C(q)q100000000040q令 C (q)110000000000得定義域內(nèi)的惟一駐點q 200000件。40q2即經(jīng)濟

19、批量為200000 件。12. 某物流公司下屬企業(yè)經(jīng)過對近期銷售資料分析及市場預測得知，該企業(yè)生產(chǎn)的甲、乙、丙三種產(chǎn)品，均為市場緊俏產(chǎn)品，銷售量一直持續(xù)上升經(jīng)久不衰。今已知上述三種產(chǎn)品的單位產(chǎn)品原材料消耗定額分別為4 公斤、 4 公斤和5 公斤；三種產(chǎn)品的單位產(chǎn)品所需工時分別為 6 臺時、 3 臺時和 6 臺時。另外，三種產(chǎn)品的利潤分別為400 元 / 件、250 元 / 件和 300元/ 件。由于生產(chǎn)該三種產(chǎn)品的原材料和工時的供應有一定限制，原材料每天只能供應180公斤， 工時每天只有 150 臺時。 試建立在上述條件下，如何安排生產(chǎn)計劃，使企業(yè)生產(chǎn)這三種產(chǎn)品能獲得利潤最大的線性規(guī)劃模型，并

20、寫出用MATLAB軟件計算該線性規(guī)劃問題的命令語句。解：設生產(chǎn)甲、 乙、丙三種產(chǎn)品分別為x件、x2件和 x件，顯然 x ，x，x3 01312線性規(guī)劃模型為第8頁共11頁max S400x1250x2 300x34 x14x25x31806x13x26x3150x1，x2，x30解上述線性規(guī)劃問題的語句為：>>clear;>>C=-400 250 300;>>A=4 4 5;6 3 6;>>B=180;150;>>LB=0;0;0;>>X,fval,exitflag=linprog(C,A,B,LB)線性規(guī)劃習題1.某物流

21、公司下屬企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，要用A， B，C 三種不同的原料，從工藝資料知道：每生產(chǎn)一件產(chǎn)品甲，需用三種原料分別為1，1，0 單位；生產(chǎn)一件產(chǎn)品乙，需用三種原料分別為1，2，1 單位。每天原料供應的能力分別為6，8，3 單位。又知，銷售一件產(chǎn)品甲，企業(yè)可得利潤 3 萬元； 銷售一件產(chǎn)品乙， 企業(yè)可得利潤 4 萬元。試寫出能使利潤最大的線性規(guī)劃模型， 并用 MATLAB軟件計算（寫出命令語句， 并用 MATLAB軟件運行）。解：設生產(chǎn)甲產(chǎn)品x1 噸，乙產(chǎn)品 x2 噸。線性規(guī)劃模型為：max S3x14x 2x1x26x12x28x23x1 , x20用 MATLAB軟件計算該線性規(guī)劃模型的命

22、令語句為：>> clear;>> C=-3 4;>> A=1 1;1 2;0 1;>> B=6;8;3;>> LB=0;0;>> X,fval=linprog(C,A,B,LB)2. 某物流公司有三種化學產(chǎn)品A1，A2，A3 都含有三種化學成分 B1，B2， B3，每種產(chǎn)品成分含量及價格 ( 元 / 斤) 如下表，今需要B1 成分至少100 斤， B2 成分至少50 斤， B3 成分至少80 斤，試列出使總成本最小的線性規(guī)劃模型。相關情況表產(chǎn)品含量每斤產(chǎn)品的成分含量成 分A1A2A3第9頁共11頁B0.70.10.31B2

23、0.20.30.4B20.10.60.3產(chǎn)品價格 ( 元/ 斤)500300400解：設生產(chǎn) A1 產(chǎn)品 x1 公斤 ,生產(chǎn) A2 產(chǎn)品 x2 公斤 ,生產(chǎn) A3 產(chǎn)品 x3 公斤 ,min S500x1300x2400x30.7 x10.1x20.3x31000.2x10.3x20.4x3500.1x10.6x20.3x380x1 , x2 , x303. 某物流企業(yè)下屬家具廠生產(chǎn)桌子和椅子，產(chǎn)品的銷路挺好。生產(chǎn)每張桌子的利潤為12 元，每張椅子的利潤為10 元。生產(chǎn)每張桌子在該廠的裝配中心需要10 分鐘，在精加工中心需要20 分鐘；生產(chǎn)每張椅子在裝配中心需要14 分鐘，在精加工中心需要12

24、 分鐘。該廠裝配中心一天可利用的時間不超過1000 分鐘，精加工中心一天可利用的時間不超過880分鐘。假設生產(chǎn)桌子和椅子的材料能保證供給。試寫出使企業(yè)獲得最大利潤的線性規(guī)劃模型，并用 MATLAB軟件計算（寫出命令語句，并用MATLAB軟件運行出結果）解：設生產(chǎn)桌子x1 張，生產(chǎn)椅子x2 張max S12x110x210x114x2100020x112x2880x1 , x20MATLAB 軟件的命令語句為：>> clear;>> C=-12 10;>> A=10 14; 20 12;>> B=1000 ； 880;>> LB=0;0;>> X,fval=linprog(C,A,B,LB)4、某物流企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，這兩種產(chǎn)品分別需要A,B,C,D 四種不同的機床加工，這四種機床的可用工時分別為