方差計算公式的證明

1、方差計算公式的證明（1）用新數(shù)據(jù)法求平均數(shù)當(dāng)所給的數(shù)據(jù)都在某一常數(shù)a 的上下波動時，一般選用簡化公式：=+a. 其中，常數(shù) a 通常取接近這組數(shù)據(jù)平均數(shù)的較“整”的數(shù)，= -a,=-a, ? ,= -a1= ( +)是新數(shù)據(jù)的平均數(shù)（通常把,? , 叫做原數(shù)據(jù)，, ,? , , 叫做新數(shù)據(jù)） 。證明：11右邊的數(shù)據(jù)相加，得到一個等式：把 左邊的數(shù)據(jù)相加，把+=-a+-a+ ? + -a+=+? + -na=a即2亦即 =+a（2）方差的基本公式方差的基本公式由方差的概念而來。方差的概念是： 在一組數(shù)據(jù)， ，中，各數(shù)據(jù)與他們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差。通常用“”表示，即 :=

2、 +(3) 方差的簡化計算公式= +? +)-n也可寫成=+?+)-此公式的記憶方法是：方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方。證明：=+=+?+= +? +)-2+? +n= +? +)-2n= +? +)-2n= +? +)-n=+? +)-?.(I)1根據(jù)1 ，有=+a,=+a, ?=+a, 和=+a( 詳見（ 1）的證明 )代入簡化公式（I） ,則有：= （） + （）+?（） -= (+? +)+2a(+ + ? + )+n-(+2a+ )= (+? +)+2a+-2 a-= (+? +)+ 2a+= (+? +)?.(II)此公式的記憶方法是：方差等于新數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去新數(shù)

3、據(jù)平均數(shù)的平方。由方差的基本公式，經(jīng)恒等變形后，產(chǎn)生了簡化公式（I） ;由簡化公式（I）進行等量代替產(chǎn)生了簡化公式（II ）.因此，基本公式和簡化公式（I）（ II）所計算出的方差都相同。基本公式和簡化公式（I）按原數(shù)據(jù), ? ,計算方差；簡化公式（ II）按新數(shù)據(jù),? ,計算方差，計算出的方差相同。(4)用新數(shù)據(jù)法計算方差原數(shù)據(jù),? , 的方差與新數(shù)據(jù) =是說，根據(jù)方差的基本公式，求得的,? ,的方差。證明：把式里的每一個式子的兩邊，減去1-=( -a)-( -a)=-=( -a)-( -a)=-?-=(-a)-( -a)=-a,=-a,? ,= -a 的方差相等。也就,? ,的方差就等于原數(shù)據(jù)式的兩邊（左邊-左邊，右邊- 右邊）有：2再把以上每一個新生成等式左右兩邊平方，即有左2=右 2：（）=（）（）=（）?（）=（）最后把這些式子的左邊加左邊，右邊加右邊，其和分別除以n,即有