高等數(shù)學(xué)中求函數(shù)極限的若干方法舉例探析

1、    高等數(shù)學(xué)中求函數(shù)極限的若干方法舉例探析    林見松摘 要：函數(shù)極限的計算是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，靈活掌握計算方法對學(xué)好高等數(shù)學(xué)起著極其關(guān)鍵的作用。有關(guān)函數(shù)極限計算的方法眾多，該文通過具體例題探析了用定義法、四則運算法則、函數(shù)的連續(xù)性、分段點處左右極限討論、兩個重要極限及變形公式、無窮小量性質(zhì)、等價無窮小替換、導(dǎo)數(shù)的定義、洛必達(dá)法則等9種常用方法計算函數(shù)極限。關(guān)鍵詞：函數(shù) 極限 方法中圖分類號：g64 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：a 文章編號：1674-098x（2017）05（c）-0222-02函數(shù)極限的計算是整個高等數(shù)學(xué)的重點，掌握函數(shù)極限的計算方法對于

2、學(xué)好高等數(shù)學(xué)起著極其關(guān)鍵的作用。針對初學(xué)者的學(xué)習(xí)需求，結(jié)合教學(xué)實踐，現(xiàn)將常見求解函數(shù)極限的若干方法做一探析歸納。1 定義法求極限用定義法求函數(shù)極限常常借助于函數(shù)的圖像來分析，更有直觀性。例1：求解：觀察函數(shù)的圖像（如圖1），分析該函數(shù)當(dāng)自變量無限接近于1（但）時函數(shù)值的變化趨勢，容易發(fā)現(xiàn)：當(dāng)，函數(shù)的函數(shù)值無限的接近于2，即=2.2 四則運算法則求極限對和、差、積、商形式的函數(shù)求極限，考慮能否直接利用極限的四則運算法則來計算。特別地，對于不能直接利用四則運算法則的，往往要變形或化簡（如分解因式、通分、分子或分母有理化等等）后再使用。例2：求解：原式=例3：求解：原式=1.例4：求解：分子分母的極

3、限均不存在，不能直接運用法則。分子分母同處以，得。=一般地，當(dāng)，為非負(fù)整數(shù)時，有=3 函數(shù)的連續(xù)性求極限連續(xù)函數(shù)在其定義域內(nèi)某點的極限值等于在該點的函數(shù)值，利用此結(jié)論可求函數(shù)極限。例5：求.解：因是初等函數(shù)，其定義域為，而，所以=0.4 分段點處左右極限討論求極限利用，求（或判斷）分段函數(shù)在分段點處的極限（存在與否）。例6：討論函數(shù)，當(dāng)時的極限。解：由于，所以當(dāng)時的函數(shù)極限不存在。5 兩個重要極限及變形公式求極限利用兩個重要極限、（或）或其變形、等進(jìn)行極限計算。例7：證明證明：等式左邊=右邊.例8：計算解：原式=6 無窮小量性質(zhì)求極限無窮小量性質(zhì)有限個無窮小量的和（積）仍是無窮小量；有界函數(shù)與

4、無窮小的積為無窮小量。例9：求解：因時，是無窮小量，而1，所以有=07 等價無窮小替換求極限例10：求解：因為當(dāng)時，所以，原式=注意：在利用等價無窮小求極限時，一般只在以乘積或商的因子中替換。8 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限對具有形如或形式的極限，可利用導(dǎo)數(shù)的定義來求解。例11：設(shè)存在，求解：=9 洛必達(dá)法則求極限“”型、“”型兩種不定式的極限求解，往往優(yōu)先考慮用洛必達(dá)法則，對于其它的不定式，如“、 、”等，可通過適當(dāng)變形，將它們轉(zhuǎn)化成前兩種不定式，然后再利用羅必達(dá)法則求極限。使用羅必達(dá)法則時，可以先使用一些技巧（如變量替換、等價無窮小等）將原函數(shù)化簡。例12：求解：原式=。實際上，求解函數(shù)極限的方法

5、還有很多，如利用定積分定義、夾逼定理、級數(shù)、泰勒展開式、微分中值定理等等。解同一題目可用不同方法或多種方法聯(lián)合運用。不難發(fā)現(xiàn)，每種方法對計算函數(shù)極限類型有較強(qiáng)的針對性，為此，在通過上述基本方法學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，應(yīng)讓學(xué)習(xí)者掌握思想方法，學(xué)會分析所給函數(shù)極限的特征，做到靈活選擇解法，最終實現(xiàn)具有獨立解決此類問題的能力。參考文獻(xiàn)1 湖南省教育科學(xué)研究院職業(yè)教育與成人教育研究所組.高等數(shù)學(xué)（工科類）m.北京：高等教育出版社，2014.2 同濟(jì)大學(xué)，天津大學(xué)等.高等數(shù)學(xué)m.2版.北京：高等教育出版社，2004.3 吳云飛，裴亞萍.數(shù)列極限計算的方法與技巧j.寧波職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2003，3（1）：91-92.4 李占光.函數(shù)極限的計算方法歸納