模式識(shí)別在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用2

1、模式識(shí)別在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用武漢第三寄宿中學(xué) 桂文通茫茫題海，何處是岸，廣大數(shù)學(xué)教師都在苦苦思索，如何引導(dǎo)學(xué)生掙脫題海，摒棄題海戰(zhàn)術(shù)、強(qiáng)化模式在解題中的典范作用是一劑良方.“數(shù)學(xué)就是對(duì)模式的研究”（懷德海）.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，學(xué)習(xí)者所積累的知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過加工、融合，會(huì)得出具有長久保存價(jià)值的或基本的典型結(jié)構(gòu)與重要類型模式.若能將其有意識(shí)地記憶固化，形成固有的模型和通法，當(dāng)遇到一個(gè)新題目時(shí)，只需辨認(rèn)它屬于哪一類基本模式，聯(lián)想此模式的通法，在記憶貯存中提取相應(yīng)的方法加以解決，就能舉一反三，以簡馭繁，融會(huì)貫通.這就是模式化解題的基本策略.其過程可用框圖表示為：數(shù)學(xué)材料數(shù)學(xué)模式數(shù)學(xué)問題解1 數(shù)學(xué)模式

2、 數(shù)學(xué)模式可以理解為數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，是內(nèi)化到人頭腦中的符號(hào)（表象、語言等）形式，也就是皮亞杰所說的狹義的認(rèn)識(shí)圖式，它是對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)的結(jié)構(gòu)特征和量化屬性的形式化、概括化的描述，是對(duì)事物的量化本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是人腦抽象思維的產(chǎn)物.“無論是數(shù)學(xué)中的概念和命題，或是問題和方法，事實(shí)上都應(yīng)被看成一種具有普遍意義的模式.從而，從總體上說：數(shù)學(xué)就應(yīng)被說成是模式的科學(xué)”.就是最簡單的自然數(shù)“2”也是人們?cè)诤臀锲反蚪坏赖倪^程中，從兩個(gè)人、兩張桌子、兩個(gè)蘋果之中，將其數(shù)量上的共同屬性抽象概括成統(tǒng)一的模式，并用“2”加以表示，2就是一個(gè)模式.我們經(jīng)常說的數(shù)學(xué)模型其實(shí)也是一種數(shù)學(xué)模式，它是把實(shí)際問題用數(shù)學(xué)語言抽象概括，在從數(shù)

3、學(xué)角度來反映或近似地反映實(shí)際問題時(shí)，所得出的關(guān)于實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型.因此，數(shù)學(xué)模式在數(shù)學(xué)科學(xué)以及其他科學(xué)中隨處可見，難怪有人把數(shù)學(xué)成為“模式”的科學(xué).從數(shù)學(xué)發(fā)展史來看，數(shù)學(xué)的歷史就是不斷地創(chuàng)造模式，研究模式、應(yīng)用模式的歷史.懷特海在50多年前就指出：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征就是，在從模式化的個(gè)體作抽象的過程中對(duì)模式進(jìn)行研究”.同時(shí)，隨著人們認(rèn)識(shí)的不斷深化，數(shù)學(xué)模式的抽象概括程度逐步提高，形成了一系列新的、內(nèi)涵更豐富的數(shù)學(xué)模式，所以數(shù)學(xué)模式具有鮮明的層次性.具體到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，我們就應(yīng)遵循數(shù)學(xué)模式發(fā)展的一般規(guī)律,用模式論的觀點(diǎn)、方法指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)模式的識(shí)別，數(shù)學(xué)模式的研究和應(yīng)用，數(shù)學(xué)模式的創(chuàng)造.

4、2 模式識(shí)別的基本含義數(shù)學(xué)解題中的模式識(shí)別來源于解題的一個(gè)基本經(jīng)驗(yàn);拿到一道題目，我們總是辨別它是否屬于已經(jīng)掌握的類型。如果屬于，那就提出解決該類型的方法來解答；如果不是直接屬于，那我們會(huì)設(shè)法進(jìn)行一些變化；如果無論如何變化都不屬于時(shí)（題目比較陌生或比較復(fù)雜），我們可以考慮其它途徑。這個(gè)人們共有的經(jīng)歷和樸素的體驗(yàn)可以上升為模式識(shí)別的解題策略。2.1解題基本模式； 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，所積累的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過加工，會(huì)得出有長久保存價(jià)值或基本重要性的典型結(jié)構(gòu)與重要類型，我們稱為解題基本模式。2.2數(shù)學(xué)解題中的模式識(shí)別； 當(dāng)遇到一個(gè)新問題時(shí)，我們辨認(rèn)它屬于哪類基本模式，聯(lián)想起一個(gè)已經(jīng)解決的問題，以此索引，在

5、記憶儲(chǔ)存中提取相應(yīng)的方法來解決。這就是模式識(shí)別的解題策略。2.3模式識(shí)別的多角度理解.（1）從解題思想的角度看；這是一種化歸思想的實(shí)現(xiàn)形式。首先是化生為熟。化歸為已經(jīng)解決的問題；其次，化繁為簡，花非常題為標(biāo)準(zhǔn)模式。 數(shù)學(xué)家對(duì)化歸思想的形象解釋對(duì)于數(shù)學(xué)家來說，他們往往不對(duì)問題進(jìn)行正面思考，而是不斷變形，直至把它轉(zhuǎn)化為一個(gè)能夠解決的問題。比如：現(xiàn)有煤氣灶、水龍頭、水壺?cái)[在你面前，當(dāng)你要燒水時(shí)，你應(yīng)該往壺里注滿水，然后把水壺放在煤氣灶上.現(xiàn)在把所說的問題稍作修改，假定水壺中已盛滿了水，其它情況不變，請(qǐng)問，此時(shí)你該怎么去做？物理學(xué)家說：“點(diǎn)燃煤氣，把壺放上去.”數(shù)學(xué)家卻這樣說：“只要把壺中的水倒掉，就

6、轉(zhuǎn)化為前面所說的問題了.” -（匈牙利）路莎·彼得無窮的玩藝 對(duì)于數(shù)學(xué)家來說，他們往往不對(duì)問題進(jìn)行正面的攻擊，而是不斷地將它進(jìn)行變形，直至把它轉(zhuǎn)化為一個(gè)能夠解決的問題。當(dāng)然以下的一個(gè)比擬也許是可笑的，但這一比擬在數(shù)學(xué)家中卻廣為流傳的：“現(xiàn)有煤氣灶、水龍頭、水壺?cái)[在您面前，當(dāng)您要燒水時(shí)，您應(yīng)當(dāng)怎樣做呢？”“往壺里注滿水，然后把水壺放在煤氣灶上”。“您的回答是正確的?，F(xiàn)在把所說的問題稍作修改，即假定水壺中已盛滿了水，其他情況不變，試問，此時(shí)，您應(yīng)該去做？”此時(shí)被問者一定會(huì)大聲而有把握地說：“點(diǎn)燃煤氣，把壺放上去?！钡歉晟频幕卮鹗牵骸爸挥形锢韺W(xué)家才會(huì)按剛才所說的辦法去做，而數(shù)學(xué)家們的回

7、答是：只需把壺中的水倒掉，就化歸為前面所說的問題了?！?（匈牙利）路莎·彼得無窮的玩藝 例1.圓周角定理的證明；例2.（2009年全國聯(lián)賽題）如圖1,已知D、E、F分別在ABC三邊上，DEBC，EFAB，設(shè)ADE、EFC的面積分別為S、S，請(qǐng)用S、S表示平行四邊形DBFE的面積.如圖2，四邊形DEFG為ABC的內(nèi)接平行四邊形，設(shè)ADE、EFC、DGB的面積分別為S、S、S，請(qǐng)用S、S、S表示平行四邊形DGFE的面積（只寫結(jié)果）。圖1圖2 （2）從思維的角度看；是思維定勢的正遷移。（3）從方法論的角度看.體現(xiàn)了基本問題的想法，從基本問題出發(fā)去解決更多、更復(fù)雜的問題，像用預(yù)制構(gòu)件，蓋出房

8、子。例3（1994年全國聯(lián)賽題）若平行直線EF、MN與相交直線AB和CD相交成如圖3所示的圖形，則共得同旁內(nèi)角（ ）對(duì).A.4 B.8 C.12 D.16圖3 方法1：（取出1條直線使剩下的線組成三線八角）分成四類；方法2：（取出三角形或平行線來組成三線八角）分成兩類；例4 如圖4 ，已知AD切O于點(diǎn)A，BD經(jīng)過圓心O，AEBD于E，根據(jù)圖形，盡可能地寫出成比例線段的式子. 圖4（1）由已知條件可知本題中存在下列幾個(gè)基本圖形：如下4圖圖5 圖6 圖7 圖8（2）由基本圖形聯(lián)想到有關(guān)定理：由圖5、6聯(lián)想到母子相似三角形 。由圖7聯(lián)想到三角形的內(nèi)（外）角平分線。由圖8聯(lián)想到切割線定理。從而得出有關(guān)

9、比例線段。 3.模式識(shí)別的應(yīng)用層次3.1模式識(shí)別的具體操作； 拿到一道題目，在理解題意后，立即思考問題屬于哪一學(xué)科，哪一章節(jié)？與這一章節(jié)的哪個(gè)類型比較接近？解決這個(gè)類型有哪些方法？哪個(gè)方法可以先拿來試一試？不行再試第2個(gè)方法。這就是學(xué)生用模式識(shí)別解題的具體操作過程。這個(gè)簡單的過程已經(jīng)回答了數(shù)學(xué)解題中的兩個(gè)根本問題：從何處下手？向何方前進(jìn)？拿道題目就從辨別模式入手，就沿著檢索方法及使用方法的方向前進(jìn)。3.2模式識(shí)別的應(yīng)用的三個(gè)層次.（1）直接識(shí)別，直接使用；拿到題目，經(jīng)過辨認(rèn)，它屬于某個(gè)基本模式，于是提取該模式的相應(yīng)的方法來解答。課本中絕大數(shù)習(xí)題，中考、競賽中的低檔、中檔題都可以歸入這一解決層次

10、。（2）轉(zhuǎn)化識(shí)別，化歸使用；遇到稍新、稍難一點(diǎn)的題目，看不出直接屬于某個(gè)基本模式，但將條件或結(jié)論作出變形，或深層次理解后就屬于基本模式例5.直線平分四邊形的面積3.直線平分梯形的面積(1)【將梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題】方法1：如圖6，取CD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE并延長交BC的延長線于F，再作ABF的中線AG即可，則AG平分梯形的面積.， ， 而 AG平分梯形的面積。方法2：如圖7，分別延長BA、CD交于G點(diǎn)，再作GBC的中線GM交AB于N點(diǎn)，則MN平分梯形的面積.ADBC BM=CN AN=DN由圖1的結(jié)論知、圖6圖10圖7圖8圖9圖11= 即MN平分梯形的面積.圖7的M、N其實(shí)分別是BC、AD的

11、中點(diǎn)，即只要過梯形上下底的中點(diǎn)的直線MN就平分梯形的面積.下面給出另一種證法.如圖8，分別連結(jié)AM、DM. 顯然又BM=CM，且點(diǎn)A、D到BC的距離相等. = 即MN平分梯形的面積. (2)【將梯形問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形問題】 如圖9，取CD的中點(diǎn)P，過點(diǎn)P作EFAB分別交AD延長線、BC于E、F兩點(diǎn).可證，所以，再過平行四邊形ABEF的中心O任作一條與上下底都相交的直線MN即可，從而MN平分梯形的面積. 在圖9中，連結(jié)PO，并延長交AB于G(如圖10)，可知PG是梯形ABCD的中位線，由圖9知，只要過梯形中位線的中點(diǎn)任作一條與上下底都相交的直線MN就平分梯形.同樣給出另一種證法.設(shè)梯形ABCD

12、的高為h.=GO·h而，GO=GP MN平分梯形的面積.4.直線平分任意四邊形的面積【通過作四邊形的對(duì)角線將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形，再運(yùn)用等積變換的方法處理】 圖12方法1：連AC，作DEAC交BC的延長線于E，取BE的中點(diǎn)M，則AM平分四邊形ABCD的面積.DEAC =M是BE的中點(diǎn) AM平分四邊形ABCD面積方法2：連AC、BD，取BD的中點(diǎn)O，作OMAC交BC于M，則AM平分四邊形ABCD的面積.圖13O是BD的中點(diǎn) , =OMAC = AM平分四邊形ABCD面積. （3）分解整合，創(chuàng)造條件使用.遇到更新、更難、更活的題目，簡單變形仍看不出屬于某個(gè)基本模式，那么一方面可以將題目加以

13、組合或分解，使組合后的新問題、或分解后的各個(gè)子問題成為基本模式；另一方面也可以將基本模式加以深化或重組，用整合過的綜合模式來解決所面臨的問題。例6 .如圖5，PC切O于點(diǎn)C，割線PAB過圓心O，CE平分ACB分別交O和AB于點(diǎn)E、D，若PA=4，PC=8，求CD·CE的值.圖5 圖10 圖11 圖12 分析；圖9可分解三個(gè)基本圖形。如圖10、11、12。（1）、圖10是初中幾何教材第三冊(cè)P-10的圖形，可以利用該題的結(jié)論將問題的結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，因?yàn)榭勺CCDBCAE，從而CD·CE=AC·BC（2）、圖11是切割線定理的圖形，由該圖形得PC=PA·PB 又由

14、 PA=4、PC=8，可求AB=12。又由該圖形可證PACPCB 推出=（3）、圖12是直角三角形，聯(lián)想到勾股定理，即AC+BC=AB，再結(jié)合前面的式，可求出AC=、BC= CD·CE=AC·BC=4積累模式41課本學(xué)習(xí)的總結(jié)歸類；（1）基本定理、基本公式等；（2）基本圖形；第一類：“A字型”或“X型” 如下列圖形： “A字型” “X型” “雙A字型”第二類：“子母三角形” 如下列圖形： ABC與ACD ABC與DAC、DBA ABC與ADB 第三類：“站著一個(gè)，睡著一個(gè)” 如下列圖形：第四類：“八字型”或“蝴蝶型” 如右圖：第五類：旋轉(zhuǎn)類相似（經(jīng)常與四點(diǎn)共圓有關(guān)）如下列圖

15、形：（3）基本方法（包括幾何圖形的輔助線作法） 面積問題的處理方法；中點(diǎn)問題;圖6C AD BE F O P Q 圖2例7.(2008年江蘇省競賽試題)如圖6，在ABC中，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在邊AC、AB上，并且ABE=ACF，BE、CF交于點(diǎn)O過點(diǎn)O作OPAC，OQAB，P、Q為垂足求證：DP=DQ這是一道源于課本，超越課本的一道幾何競賽題說它來源于課本是基于當(dāng)OQ與CF，OP與BE重合時(shí)，即BE、CF是ABC兩邊上的高時(shí)（如圖2），比較容易證得DF(Q)=DE(P)有了這樣的實(shí)際數(shù)學(xué)背景，在保證圖形本質(zhì)不變（即ABE=ACF，OPAC，OQAB）的前提下，對(duì)原圖形進(jìn)行變換，這樣既

16、可以考查學(xué)生對(duì)圖形與變換本質(zhì)的理解，也能考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)解題方法、策略的體悟與運(yùn)用作為教師，在素質(zhì)教育和創(chuàng)新教育的今天，對(duì)作為數(shù)學(xué)教育任務(wù)之一的解題教學(xué)而言：“我們不能僅把“題”作為研究的對(duì)象，把“解”作為目標(biāo)，而且要把“解題活動(dòng)”作為研究對(duì)象，把“學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思維”、促進(jìn)人的全面發(fā)展作為目標(biāo)”基于上面的認(rèn)識(shí)，筆者認(rèn)為有必要對(duì)解題活動(dòng)進(jìn)行更深入的探求，并且在日常的教學(xué)活動(dòng)中自覺的引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其“解題活動(dòng)”進(jìn)行反思，這樣的反思不僅是一個(gè)全面“回頭看”“解題分析”過程，更是一個(gè)理清自己數(shù)學(xué)思維和在數(shù)學(xué)活動(dòng)中所涉及的知識(shí)、方法、策略“科學(xué)研究”的過程C AD BE F O P Q M N圖3探求1 信息整

17、合，誘發(fā)證題思路 從已知提供的信息看，線段DQ和DP相等的關(guān)系是依賴于線段BC的中點(diǎn)D以及相似的兩個(gè)直角三角形OBQ和OCP，與其他元素關(guān)系不大，聯(lián)想到三角形中位線和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半這兩個(gè)定理，結(jié)合原圖形模式，從而誘發(fā)能否利用中點(diǎn)解決這個(gè)問題呢？證法一：如圖3，取OB中點(diǎn)M，OC中點(diǎn)N因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以DMOC，DMOC，DNOB， DNOB在RtBOQ和RtOCP中，QMOB，PNOC 所以DMPN，QMDN QMDQMOOMD2ABOFOB，PNDPNOOND2ACOEOC因?yàn)锳BOACO，F(xiàn)OBEOC，所以QMDPND 于是QMDDNP，從而DQ=DP這種證法是

18、競賽組委會(huì)提供的標(biāo)準(zhǔn)答案，說明了此種證法學(xué)生是有實(shí)際數(shù)學(xué)背景、操作經(jīng)驗(yàn)和思維基礎(chǔ)的，也體現(xiàn)出數(shù)學(xué)競賽是為了引導(dǎo)和促進(jìn)學(xué)生的學(xué)好數(shù)學(xué)、學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)、會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)的理念C AD BE F O P Q NM 圖4探求2 信息挖掘，形成新思路證法一是利用中點(diǎn)構(gòu)造兩個(gè)三角形全等解決線段DQ=DP的問題如果我們把思維聚焦到兩個(gè)RtOBQ和RtOCP中，結(jié)合證法一的思路，經(jīng)驗(yàn)題感就告訴我們：點(diǎn)Q和P能否構(gòu)造為某個(gè)三角形的中點(diǎn)而解決問題呢？證法二：如圖4，在直線BF上取點(diǎn)M，使QM=BQ，在直線CA上取點(diǎn)N，使PN=CP連接CM，BN，OM，ON所以DQ=CM，DQCM，DP=BN，DPBN因?yàn)镺PAC，OQAB，所

19、以O(shè)MOB，ONOC BOM18002ABO，CON18002ACO，因?yàn)锳BOACO，所以BOMCON 從而BON=BOMMONCONMONCOM所以O(shè)MCONB，所以CM=BN，從而DQDP 圖5探求3 經(jīng)驗(yàn)遷移，激發(fā)新意向利用題目中本身所存在的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，結(jié)合某些解題方法和某些條件的有效組合，進(jìn)而形成了上面的兩種解題方法但是解題方法的產(chǎn)生與解題經(jīng)驗(yàn)是密不可分的，所以我們可以進(jìn)一步考慮能否再利用中點(diǎn)D，即延長線段PD或QD（即倍長中線的解題經(jīng)驗(yàn)）來解決問題呢？可以試一試證法三：如圖5，延長線段PD到點(diǎn)M ，使DM=PD，連結(jié)線段BM、QM、QP根據(jù)“SAS”定理，易證BMDCPD，所以A

20、CB=CBM，BM=CP；又易證OBQOCP，所以故因?yàn)镺PAC，OQAB 所以所以BQMOQP所以又因?yàn)镺QAB，所以QMQP即MQP是直角三角形，故DQ=DP上面證明的方法簡潔明了，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美感，這種“直覺性題感”常常有助于解決問題意向的產(chǎn)生類似的，倍長線段QD解決這個(gè)問題自然成了題中之義（證明略）圖6探求4 結(jié)論啟示，構(gòu)造新途徑從結(jié)論DQ=DP看，DQP是等腰三角形，如果能夠證明它，問題也就迎刃而解由此我們很容易從記憶中提取等腰三角形“三線合一”這條性質(zhì)所以，連結(jié)PQ，取線段PQ的中點(diǎn)H，剩下的任務(wù)只要能夠證明DHPQ即可證明四：如圖6，作直線PQ，取線段PQ的中點(diǎn)H，連結(jié)DH、AO

21、，過點(diǎn)B、C作BMPQ、CNPQ，垂足分別為M、N因?yàn)镺PAC，OQAB，所以點(diǎn)A、Q、O、P四點(diǎn)在以AO為直徑的圓上所以AOQAPQ，而APQ=NPC所以，所以 同理可證，所以 又因?yàn)?，所?由、式可以得到MQ=NP， 又因?yàn)镼H=PH，圖7所以 MH=NH，即點(diǎn)H為線段MN的中點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，所以線段DH是直角梯形MBCN的中位線即DHBMCN， 所以DHPQ從而問題得證探求 刪繁就簡，直擊問題本質(zhì)證法四中運(yùn)用了梯形的中位線定理和相似變換，那么證法能否更優(yōu)化呢？由此我們產(chǎn)生刪繁就簡的“念頭”，結(jié)合前面我們對(duì)圖形與圖形之間關(guān)系研究的深刻反思，在證明問題中起著最關(guān)鍵作用的關(guān)系在

22、頭腦中逐漸抽象出來，新的證法也可以由此萌生證法五：如圖7，連結(jié)線段PQ、PB，分別取它們的中點(diǎn)H、M，連結(jié)HM、MD、HD因?yàn)榫€段HM、MD分別是PQB、PBC的中位線，所以所以 易證，所以.又因?yàn)?，所?所以，由此可得，因?yàn)镺QAB，由得到所以，即DHPQ從而問題得證這種證明的方法是利用三角形的中位線和相似變換，相比上面的方法來說就顯得簡潔明了，而且證明的方法更具有創(chuàng)新性，思維也顯得更自覺、更周密通過對(duì)問題證法的探求過程，我們不但發(fā)現(xiàn)了新的證法，而且對(duì)題目有了更深刻、更本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和把握不僅溝通了旋轉(zhuǎn)相似變換、全等變換、三角形、四邊形等知識(shí)之間的聯(lián)系，更為可貴的是我們形成了解決中點(diǎn)類問題的方法

23、和策略，體悟了運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決規(guī)律性探索問題的策略，可謂一舉多得，收獲頗豐行文至此，筆者想借用羅增儒教授的話結(jié)束本文：“對(duì)“解題過程的反思”則繼續(xù)把解題活動(dòng)作為認(rèn)識(shí)的對(duì)象，不僅關(guān)注如何獲得解，而且寄希望于對(duì)“解”進(jìn)一步分析增強(qiáng)數(shù)學(xué)能力、優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)、提高思維素質(zhì)，學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”，重點(diǎn)在怎樣學(xué)會(huì)解題”42解題過程的分析提煉例8反比例函數(shù)模型；（1）完成一件工程，甲單獨(dú)干需要2天，乙單獨(dú)干需要3天，甲、乙一齊干幾天完成？（工程問題）工作效率×工作時(shí)間=工作量（2）。從甲地到乙地，客車需2小時(shí)，貨車需3小時(shí)?，F(xiàn)兩車分別從甲乙兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，幾小時(shí)兩車相遇？(行程問題)速度

24、15;時(shí)間=路程（3）。媽媽去商店買布，所帶的錢可買甲布2米，或乙布3米，或丙布6米?，F(xiàn)三種布都買同樣多的米數(shù)，問所帶的錢最多可各賣幾米？單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)單位量×單位數(shù)=總量（定值）ab=k（1）甲干2天完成，即=k，；（2）乙干3天完成，即=k，=3；（3）甲乙一起干，即=k，有b=對(duì)于反比例函數(shù)y=f（x），若已知，則f（）= f（）=更一般形式f（+）= f（+）=（4）.如圖，在直線a上平放有3個(gè)面積相等的長方形，其高分別為2米、3米、6米，現(xiàn)有一平行于a的直線b,使截得三部分(陰影部分)面積的和恰好等于一個(gè)長方形的面積，則a、b之間的距離是多少米.（5）。某水池有

25、編號(hào)為1，2，3，9的九個(gè)進(jìn)出口水管，有的只進(jìn)水，有點(diǎn)只出水，已知所開的水管號(hào)與水池灌滿時(shí)間如下表：水管號(hào)時(shí)間（小時(shí)）248163162124248496若九管齊開，水池多少小時(shí)灌滿？例9（中等數(shù)學(xué)2004，6 2005，1）；應(yīng)用1（2004，“TRULY信利杯”全國聯(lián)賽題）已知a0,b0,c0,且=b-2ac.求的最小值。由=b-2ac ，=-1所以二次方程由實(shí)根x=-1于是ac=b-1= （b0）應(yīng)用2（2004，全國聯(lián)賽題）已知的根都是整數(shù)，求整數(shù)n的值。例10一組與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的勾股問題；1 問題的產(chǎn)生如圖1、2是兩個(gè)相似比為1：的等腰直角三角形，將兩個(gè)三角形如圖3放置，小直角三角形的斜

26、邊與大直角三角形的一直角邊重合。圖1圖2圖3在圖3中，旋轉(zhuǎn)小直角三角形可以得到如下問題：在圖3中，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)小直角三角形，使兩直角邊分別與AC、BC交于點(diǎn)E、F，如圖4，求證：；若繼續(xù)旋轉(zhuǎn)小直角三角形，使它的兩直角邊的延長線分別與CA、BC的延長線交于點(diǎn)E、F，如圖5，此時(shí)結(jié)論是否仍然成立？圖4圖5【分析與解】在圖4中，由AD=BD，將AED繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，得BED，AE=B E、ED= ED因?yàn)镕BE=ABC+AB E=ABC+CAB =90°所以在RtB EF中有 EB E又由FD垂直平分E E得 EF=F E所以代換得 在圖5中同理可證相關(guān)結(jié)論。圖7圖6在圖

27、3中，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)小直角三角形，使它的斜邊和CD的延長線分別與AB交于點(diǎn)E、F，如圖6，求證：；若繼續(xù)旋轉(zhuǎn)小直角三角形，使它的斜邊和CD的延長線分別與AB及其延長線交于點(diǎn)E、F，如圖7，此時(shí)結(jié)論是否仍然成立？【分析與解】在圖6中，由AC=BC，將AEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得BEC，AE=B E，CE=C E因?yàn)镕BE=ABC+CB E=ABC+CAB =90°所以在RtB EF中有 EB E又可證CEFC EF 得 EF=F E所以代換得 在圖7中同理可證相關(guān)結(jié)論。圖8圖9在圖6中，求證：；在圖7中結(jié)論是否仍然成立？ 【分析與解】在圖8中，由AC=BC，將BFC繞點(diǎn)C順時(shí)

28、針旋轉(zhuǎn)90°，得AFC，BF=AF、CF=CF因?yàn)镕AF=CAB+CAF=CAB+CBA =90°所以在RtAFF中有 FA F，即 F又可證CF F是等腰直角三角形 ，所以 F=2所以代換得在圖9中同理可證相關(guān)結(jié)論。2問題的拓展2 1問題中“等腰RtABC”可以改為“RtABC”，結(jié)論仍然成立。圖922 問題拓展拓展1：.如圖9，在正方形中，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，滿足的周長等于正方形周長的一半，AE、AF分別與對(duì)角線BD交于點(diǎn)M、N，試問線段BM、MN、DN能否構(gòu)成三角形的三邊長？若能，指出三角形的形狀，并給出證明；若不能，請(qǐng)說明理由. 【分析與解】在圖9中，將

29、ADF繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得ABG，且FD=BG、AD=AG因?yàn)镃EF的周長等于正方形周長的一半，所以CE+EF+CF=CD+BC=CF+FD+CE+BE，化簡得EF=EG，從而可證AEGAEF 推出EAF=EAG=45°圖10此時(shí)該問題就轉(zhuǎn)化為圖6中問題了。由前面的結(jié)論知再由勾股定理的逆定理知，線段BM、MN、DN可構(gòu)成直角三角形. 拓展2：如圖10，在ABC中，ACB=120°，AC=BC，E、F在AB上，且ECF=60°， CEF=45°，求證：【分析與解】在圖10中，由AC=BC，將AEC繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得BEC，

30、CE=CE，AE=B E因?yàn)镕BE=ABC+CBE=ABC+CAB =60°可證CEFC EF 得EF=F E，且CF E=CFE=75°從而EFB=180°-2×75°=30° 所以FEB=180°-30°-60°=90°在RtB EF中有圖11從而有23問題拓展 拓展1：若圖11中的F點(diǎn)在等腰RtABC的內(nèi)部，且CFB=135°，求證：【分析與解】在圖11中，由AC=BC，將AFC繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得BFC，CF=CF，AF=B F可得CFF是等腰直角三角形，所以CF

31、F=45°又由CFB=135°得FFB=90°在RtB EF中有又在RtC FF中有代換得 。圖12拓展2：若圖8中的F點(diǎn)在等邊ABC的內(nèi)部，且CFB=150°，求證：【分析與解】在圖12中因?yàn)锳C=BC，將AFC繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得BFC，CF=CF，AF=B F可得CFF是等邊三角形，所以CFF=60°又由CFB=150°得FFB=90°在RtB EF中有代換得 三一點(diǎn)體會(huì)用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)觀察圖形的運(yùn)動(dòng)，可以發(fā)現(xiàn)和提出一些數(shù)學(xué)問題。將問題特殊化或一般化，可以得到新的問題；將一個(gè)明顯的條件用等價(jià)問題替代，可以提高

32、問題復(fù)雜性和研究性；類比法有時(shí)也是發(fā)現(xiàn)新問題的一種途徑。旋轉(zhuǎn)變換是我們解題的一種重要工具。它可以將分散的線段集中起來，實(shí)現(xiàn)線段或角等元素的“搬家”和已知條件的重組，從而有利于我們聯(lián)想并選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎū疚闹饕沁\(yùn)用勾股定理一）將問題解決。通過問題的拓展和變式可以發(fā)現(xiàn) “形式的差異往往蘊(yùn)含著精神實(shí)質(zhì)的一致”：不同的問題的結(jié)構(gòu)形式或圖形的運(yùn)動(dòng)形式可能有些差異，但解決問題的方法卻出現(xiàn)了驚人的一致（旋轉(zhuǎn)法），問題結(jié)論也體現(xiàn)著和諧的統(tǒng)一。例11模型；圖5例12ABC的外接圓的直徑公式.在圖1中如果作ABC的高AD,如圖5,則sinB=,由等式(1)得2R=(5).這個(gè)結(jié)論也可以通過證明ABDAEC獲得.

33、 圖6等式(5)我們可以用文字表達(dá)為:三角形外接圓的直徑等于三角形的兩邊之積除以第三邊上的高.等式(5)也可以寫成AB·AC=2R·AD(6),當(dāng)ABC的高AD和它的外接圓的大小不變時(shí), AB·AC也是定值.下面舉幾例說明等式(5)、(6)的運(yùn)用.、在ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，設(shè)能完全覆蓋ABC的圓的半徑為R，求R的最小值。例4、如圖6,圓心A在O上,點(diǎn)D是A上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)D作A的切線交O于B、C兩點(diǎn),連結(jié)AB、AC.已知A、O的半徑分別為r、R,求證： ABAC的值不變。圖7證明:由BC是A的切線,D為切點(diǎn).得ADBC,且AD=r.由等式(

34、6)知AB·AC=2R·AD=2Rr(定值)例5、如圖7，設(shè)兩圓O、O內(nèi)切于A，其直徑分別為D、d（Dd），任作一直線垂直于連心線所在的直線，并使其在連心線同側(cè)分別交O、O于B、C，求證：ABC外接圓的面積是定值。證明:如圖7,連心線OO分別交O、O于E、F,連BE、CF.因?yàn)锳E、AF分別是O、O的直徑, ABE=ACF=90.又有BC OO.所以由射影定理得AB=AG·AE, AC=AG·AF.根據(jù)等式(5) 得2R=,兩邊平方得4R=AE·AF所以ABC外接圓的面積為=(定值)圖8例6.如圖8,在平面直角坐標(biāo)系中, B(-3,0),A為y

35、軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn),半徑為的A交y軸于點(diǎn)G、H,連BG交A于點(diǎn)C.D為半徑AH上一點(diǎn),且AD=1,過點(diǎn)D作A的弦CE,連GE并延長交x軸于點(diǎn)F,當(dāng)A與x軸相離時(shí),求證:的值為定值,并求其值. (2006年武漢市中考題)證明:連CH、EH.因?yàn)镚H是直徑,所以GCH=GEH=90.可證GEHGOF、GCHGOB,得=(7) ,=(8)(7)×(8)后變形得=再作GMCE, 作HNCE,垂足分別為M、N.由等式(6)知CG·EG=GM·GH, CH·EH=NH·GH.所以=因?yàn)镚H=5,AD=1,得DH=,GD=故=OB·=3·=

36、75識(shí)別模式案例：旋轉(zhuǎn)的正方形 例13（一個(gè)正方形繞另一個(gè)正方形的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)）如圖7，正方形EFGH的頂點(diǎn)G與正方形ABCD的頂點(diǎn)C重合.（1）除正方形的邊長相等外，還有哪些線段相等；（2）當(dāng)正方形EFCH繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，如圖8,（1）中的結(jié)論是否仍然成立？圖7圖8圖10圖11圖9O1。兩只大小不同的含45°角的三角板BCD和FCH如圖1擺放，直角頂點(diǎn)重合，在圖1中，點(diǎn)N、P分別是線段DH、BF的中點(diǎn).（1）在圖1中，請(qǐng)猜想CPN的形狀。（2）將圖1中的CFH的繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，（如圖2），問(1)的猜想是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明你的猜想；若不成立，請(qǐng)說明理由.（2008年元

37、月武漢市考試題改）圖1圖21.兩只大小不同的含45°角的三角板BCD和FCH如圖1擺放，直角頂點(diǎn)重合，在圖1中G、P、M、N分別為線段PF、BD、BM，HF的中點(diǎn).（1）在圖1中，請(qǐng)猜想四邊形GPMN的形狀，并證明你的結(jié)論； （2）將圖1中的CFH的繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，（如圖2），問的猜想是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明你的猜想；若不成立，請(qǐng)說明理由.（2007年元月武漢市考試題）圖2圖15.已知等腰三角形ABC和ADE的頂角共頂點(diǎn)，BAC=DAE。線段BD和EC的垂直平分線相交于點(diǎn)P，連接PB，PC，PD，PE.（1）B、A、E依次在同一條直線上.若BAC=90°（圖1），則B

38、PC+DPE= ；若BAC=60°（圖2），則BPC+DPE= ;（2）B、A、E依次在同一條直線上,若BAC=°（圖3），猜想BPC+DPE的值，并寫出你的結(jié)論.（2007年四月武漢市考試題）填空或解答：點(diǎn)B、C、E在同一直線上，點(diǎn)A、D在直線CE的同側(cè)，AB=AC、EC=ED，BAC=CED，直線AE、BD交于點(diǎn)F.(1)如圖12，若BAC=60°，則AFB= ； 如圖13，若BAC=90°, 則AFB= ；(2)如圖14，若BAC= ， 則AFB= (用含的式子表示)；(3)將圖14中的ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)(點(diǎn)F 不與A、B重合)，得到圖15或圖16.

39、在圖15中，AFB與的數(shù)量關(guān)系是 ； 在圖16中， AFB與的數(shù)量關(guān)系是 ,請(qǐng)你任選其中一個(gè)結(jié)論證明圖12圖13圖14圖15圖16例14（一個(gè)正方形繞另一個(gè)正方形的頂點(diǎn)中心旋轉(zhuǎn)）如圖9，正方形EFGH的頂點(diǎn)E與正方形ABCD的中心O重合，當(dāng)正方形OFGH繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，OF、OH分別交直線BC、CD于M、N兩點(diǎn).（1）討論正方形OFGH在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形OMCN的面積的變化情況；圖9圖2（2）討論線段OM、ON的數(shù)量關(guān)系.（2）討論線段CN、CM、OC之間的數(shù)量關(guān)系.（3）將在圖1中正方形繼續(xù)旋轉(zhuǎn)如圖2中，請(qǐng)討論線段CN、CM、OC之間的數(shù)量關(guān)系.由（1）的探求過程可以得到（2）、（

40、3）的結(jié)論：（1）CM+CN=OC；（2）CM-CN=OC.圖形再分析（1）研究點(diǎn)O、M、C、N的位置關(guān)系（四點(diǎn)共圓）；（2）線段CO的特點(diǎn)（CO是MCN的內(nèi)角平分線或外角平分線）.練習(xí)2：在直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)M（2，2）作O分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn),請(qǐng)分別討論OA+OB或OA-OB值的變化情況.【這是一個(gè)開放性的問題，有三種構(gòu)圖方式，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性，并要求學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用前面的知識(shí)方法解決問題.】圖1圖2圖3OA+OB=4 OA-OB=4 OA-OB=-4【圖1中OM是AOB的內(nèi)角平分線，圖2和圖3可以認(rèn)為同一個(gè)圖形，都是AOB的外角平分線，其中圖2是2005武漢市中考、

41、2006年武昌區(qū)中考?jí)狠S題基本圖形.】拓展（1）在圖1中，設(shè)BOA的內(nèi)切圓的直徑為d，求d+AB的值.(2003年武漢市中考?jí)狠S題)（2）在圖1中，設(shè)BOA的內(nèi)切圓與AB的切點(diǎn)為N，求AN-BN的值.（2009年元月武漢市考試題）小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請(qǐng)根據(jù)題目要求幫小明完成探究.（1）更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題。如圖1，在0中，C是的中點(diǎn)，直線CDAB于點(diǎn)E，則AE=BE。請(qǐng)證明此結(jié)論；（2）從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦。如圖2，PA,PB組成0的一條折弦。C是劣弦的中點(diǎn)，直線CDPA于點(diǎn)E，則AE=PE+PB.請(qǐng)證明次結(jié)論；（3）如圖

42、3，PA.PB組成0的一條折弦，若C是優(yōu)弧的中點(diǎn)，直線CDPA于點(diǎn)E，則AE,PE與PB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出并證明你的結(jié)論.3如圖,直徑AB、CD相互垂直，P為上任意一點(diǎn)，連PC、PA、PD、PB， 求證：.（2008年元月武漢市考試題改）CP+PD=2APcos45°,BP+AP=2DPcos45°例4(2006年黑龍江省中考題)已知AOB=90°,在AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C,將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與C重合,它的兩條直角邊分別與OA、OB(或它們的反向延長線)相交于點(diǎn)D、E.當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)(如圖12),易證OD+OE=OC.當(dāng)三

43、角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí),如圖13、14,這兩種情況下,上述結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,線段OD、OE、OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出猜想.圖12圖13圖14【解】DCE=DOE=90°,OM平分AOB.在圖13中,由命題1知OD+OE=OC;在圖14中,由命題5知OE -OD =OC;M圖16BAM圖15AB例5(2007年北京市中考題)在平面直角坐標(biāo)系中,OEFG為正方形,點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,1),將一個(gè)最短邊長大于的直角三角形紙片的直角頂點(diǎn)M放在對(duì)角線FO上,M不與O、F重合時(shí),且兩條直角邊與正方形相鄰兩邊相交,當(dāng)這個(gè)三角形紙片與正方形OEFG重疊的

44、面積的一半時(shí),求M點(diǎn)坐標(biāo),并畫出此時(shí)的圖形.【解】AME=GOE=90°,OM平分GOE.在圖15中,由命題1知S=OM 當(dāng)S=S= OM=1同理在圖16中有MF=1, 于是M(,)或(1-,1-)1基本圖形圖3在人教版八年級(jí)教材（下冊(cè)）第116頁的“實(shí)驗(yàn)與探究”中，有一個(gè)這樣的實(shí)驗(yàn)：如圖3，正方形EFGH的頂點(diǎn)O與正方形ABCD的中心重合，當(dāng)正方形OFGH繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，OG、OH分別交直線BC、CD于M、N兩點(diǎn).在正方形OGFH在旋轉(zhuǎn)過程中，兩個(gè)正方形重疊部分的面積，總等于正方形ABCD的面積的，請(qǐng)說明理由。該問題的解決比較簡單，不需說明。我們重點(diǎn)研究圖中線段OM與ON的

45、數(shù)量關(guān)系顯然圖中OM=ON，下面給出證明：【方法1】：通過證OBMOCN或OCMODN得OM=ON；圖4【方法2】：過O點(diǎn)分別作OPCD，OQBC，垂足分別為P、Q，通過證OPNOQM得OM=ON；【方法3】：連結(jié)MN，運(yùn)用圓的定義，可證O、M、C、N四點(diǎn)共圓，由OCN=OCM得OM=ON.仔細(xì)分析圖1的本質(zhì)特征，我們可以得到一個(gè)基本圖形，如圖4.在圖4中，BCD=90°，BC=BD，O是斜邊BD的中點(diǎn)，有OM=ON.2圖形的演變 改變圖1或圖4中一些特征，可以得到許多全國各地中考試題和一些改編題.21 將圖4中的直角MON繞頂點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)試題1（2007，臨沂市） 如圖5,已知ABC中

46、，AB=BC=1,ABC90°，把一塊含30°角的三角板DEF的直角頂點(diǎn)放在AC的中點(diǎn)上（直角三角板邊為DE，長直角邊為DF），將直角三角板DEF繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).（）在圖5中，DE交AB于，DF交BC于，證明DMDN；在這一過程中，直角三角板DEF與ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請(qǐng)說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生改變？若變化，請(qǐng)說明理由；若不發(fā)生變化，求出面積；（）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖6的位置，延長AB交DE于，延長BC交DF于，DMDN是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立。請(qǐng)說明理由；()繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖7的位置，延長FD交BC于，延長ED交AB于，DMDN是否仍然

47、成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立.請(qǐng)說明理由.圖7圖6圖5試題2（2008，武漢） 正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PFCD于點(diǎn)F。如圖8，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，顯然有DFCF如圖9，若點(diǎn)P在線段AO上（不與點(diǎn)A、O重合），PEPB且PE交CD于點(diǎn)E. 求證：DFEF； 寫出線段PC、PA、CE之間的一個(gè)等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；若點(diǎn)P在線段OC上（不與點(diǎn)O、C重合），PEPB且PE交直線CD于點(diǎn)E.請(qǐng)完成FP(O)DCBA圖8ODCBA圖10P圖9圖10，并判斷中的結(jié)論、是否分別成立？若不成立，寫出相應(yīng)的結(jié)論.（所寫結(jié)論均不必證明）【簡解】該題的關(guān)鍵

48、是要證PB=PE.過P作GHBD，分別交CD、CB的延長線于G、H，這樣就得到基本圖形4.（1）PCPACE；結(jié)論仍成立；結(jié)論不成立，此時(shí)中三條線段的數(shù)量關(guān)系是PAPCCE.圖11【說明】 此題點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，實(shí)質(zhì)是直角BPE繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn).試題3（2008，海南） 如圖11，P是邊長為1的正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（P與A、C不重合），點(diǎn)E在射線BC上，且PE=PB.求證：（1） PE=PD ；（2） PEPD.【說明】該題是上一題的逆命題.圖1222 將圖3中正方形ABCD改為一般的平行四邊形試題4（2006，泰州）如圖12，O是矩形ABCD的中心，將直角頂點(diǎn)與O點(diǎn)重合，轉(zhuǎn)動(dòng)三角板使

49、兩直角邊始終與BC、AB相交，交點(diǎn)分別為M、N.如果AB=4，AD=6，OM=x，ON=y，則y與x的關(guān)系是（ ）Ay=x By= Cy=x Dy=x【簡解】過O點(diǎn)分別作OGAB，OHBC，垂足分別為G、H.可證OHMOGN 選D.試題5（2008，大連） 如圖13，正方形ABCD和正方形QMNP，M =B，M是正方形ABCD的對(duì)稱中心，MN交AB于F，QM交AD于E求證：ME = MF如圖14，若將原題中的“正方形”改為“菱形”，其他條件不變，探索線段ME與線段MF的關(guān)系，并加以證明如圖15，若將原題中的“正方形”改為“矩形”，且AB = mBC，其他條件不變，探索線段ME與線段MF的關(guān)系，

50、并說明理由圖14圖13圖16圖15根據(jù)前面的探索和圖16，你能否將本題推廣到一般的平行四邊形情況？若能，寫出推廣命題；若不能，請(qǐng)說明理由【答案】（4）命題可以作一般性的推廣：如圖16，若AB=BC，則ME=MF；若AB = mBC，則MF=mME.23 將圖4的中點(diǎn)O的位置一般化試題6（2008，徐州） 如圖17，一副直角三角板滿足ABBC，ACDE，ABCDEF90°，EDF30°.【操作】將三角板DEF的直角頂點(diǎn)E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點(diǎn)P，邊EF與邊BC于點(diǎn)Q.【探究】在旋轉(zhuǎn)過程中，（1） 如圖18，當(dāng)時(shí)，E

51、P與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明.（2） 如圖19，當(dāng)時(shí)EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？，并說明理由.（3） 根據(jù)你對(duì)（1）、（2）的探究結(jié)果，試寫出當(dāng)時(shí)，EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式為_,其中的取值范圍是_(直接寫出結(jié)論，不必證明)圖17圖18圖19【簡解】（2）如圖19,過E點(diǎn)分別作EGBC，EHAB，垂足分別為G、H.圖20可證EHPEGQ , 又AHEEGC , .（3） （0m2+）試題7（2002，北京） 如圖20，已知ABC中，C=90°，CA=CB，點(diǎn)E、F分別在CA、CB所在的直線上，沿直線EF將CEF翻折，使C點(diǎn)恰好落在AB上的點(diǎn)O處，求證：【簡解】當(dāng)點(diǎn)C落在AB上時(shí)，就產(chǎn)生直角EOF，以下同試題6（3），以下略.試題8，如圖21，已知ABC中，C=90°，O是AB上一點(diǎn)，EOF與MON的兩邊分別與交AC于E、M，交BC于F、N，且EOF=MON=90°，求證：EOFMON.【簡證】過O點(diǎn)