2022年《彈性力學(xué)》試題參考答案

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載彈性力學(xué)試題參考答案（答題時(shí)間： 100分鐘）一、填空題（每小題 4 分）1最小勢(shì)能原理等價(jià)于彈性力學(xué)基本方程中：平衡微分方程， 應(yīng)力邊界條件。2一組可能的應(yīng)力分量應(yīng)滿足：平衡微分方程，相容方程（變形協(xié)調(diào)條件）。3等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題中，mdxdyd2的物理意義是桿端截面上剪應(yīng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩等于桿截面內(nèi)的扭矩m。4 平面問題的應(yīng)力函數(shù)解法中，airy 應(yīng)力函數(shù)在邊界上值的物理意義為邊界上某一點(diǎn) （基準(zhǔn)點(diǎn)）到任一點(diǎn)外力的矩。5彈性力學(xué)平衡微分方程、幾何方程的張量表示為：0,ijijx，)(21,ijjiijuu。二、簡(jiǎn)述題 （每小題 6 分）1試簡(jiǎn)述力學(xué)中的圣維南原理，并說明它在

2、彈性力學(xué)分析中的作用。圣維南原理：如果物體的一小部分邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效 的面力（主矢與主矩相同） ，則 近處的應(yīng)力 分布將有 顯著的改變 ，但 遠(yuǎn)處的應(yīng)力 所受 影響可以忽略不計(jì)。作用： （ 1）將次要邊界上復(fù)雜的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2）將次要的位移邊界條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊界條件處理。2圖示兩楔形體，試分別用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)寫出其應(yīng)力函數(shù)的分離變量形式。題二（ 2）圖（a）)(),(),(222frrcybxyaxyx（b）)(),(),(33223frrdycxyybxaxyx3圖示矩形彈性薄板，沿對(duì)角線方向作用一對(duì)拉力p，板的幾何尺寸如圖，材料的彈性

3、模量e、泊松比已知。試求薄板面積的改變量s。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載題二（ 3）圖設(shè)當(dāng)各邊界受均布?jí)毫 時(shí)，兩力作用點(diǎn)的相對(duì)位移為l。由qe)1(1得，)1(2222ebaqbal設(shè)板在力p 作用下的面積改變?yōu)閟，由功的互等定理有：lpsq將l代入得：221bapes顯然，s與板的形狀無關(guān)，僅與e、l 有

4、關(guān)。4圖示曲桿，在br邊界上作用有均布拉應(yīng)力q，在自由端作用有水平集中力p。試寫出其邊界條件（除固定端外） 。題二（ 4）圖（1）0,brrbrrq；（2）0, 0arrarr（3）sincospdrpdrbarba2c o sbapr d rba5試簡(jiǎn)述拉甫（love）位移函數(shù)法、伽遼金（galerkin ）位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問題的基本思想，并指出各自的適用性love、galerkin 位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問題的基本思想：（1）變求多個(gè)位移函數(shù)),(),(),(yxwyxvyxu或),(),(rurur為求一些特殊函數(shù)，如調(diào)和函數(shù)、重調(diào)和函數(shù)。（2）變求多個(gè)函數(shù)為求單個(gè)函數(shù)（特

5、殊函數(shù)）。適用性： love 位移函數(shù)法適用于求解軸對(duì)稱的空間問題；galerkin 位移函數(shù)法適用于求解非軸對(duì)稱的空間問題。三、計(jì)算題精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載1 圖示半無限平面體在邊界上受有兩等值反向，間距為 d 的集中力作用， 單位寬度上集中力的值為p，設(shè) 間 距d 很 小 。 試 求 其 應(yīng) 力 分

6、量 ， 并 討 論 所 求 解 的 適 用 范 圍 。 （ 提 示 ： 取 應(yīng) 力 函 數(shù) 為ba2sin）（13 分）題三（ 1）圖解：d很小，pdm，可近似視為半平面體邊界受一集中力偶m 的情形。將應(yīng)力函數(shù)),(r代入，可求得應(yīng)力分量：2si n4112222arrrrr；022r；)2c o s2(112barrrr邊界條件：（1）0, 00000rrr；0,000rrr代入應(yīng)力分量式，有0)2(12bar或02ba（1）（2）取一半徑為r 的半圓為脫離體，邊界上受有：rr,，和 m = pd 由該脫離體的平衡，得0222mdrr將r代入并積分，有0)2cos2(12222mdrbar0

7、2sin22mba得0mb（2）聯(lián)立式（ 1） 、 （2）求得：pdmb，2pda代入應(yīng)力分量式，得精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載22sin2rpdr；0；22sin2rpdr。結(jié)果的適用性：由于在原點(diǎn)附近應(yīng)用了圣維南原理，故此結(jié)果在原點(diǎn)附近誤差較大，離原點(diǎn)較遠(yuǎn)處可適用。2圖示懸臂梁，受三角形分布載荷作用，若梁的

8、正應(yīng)力x由材料力學(xué)公式給出，試由平衡微分方程求出yxy,，并檢驗(yàn)該應(yīng)力分量能否滿足應(yīng)力表示的相容方程。（12 分）題三（ 2）圖解： （1）求橫截面上正應(yīng)力x任意截面的彎矩為306xlqm，截面慣性矩為123hi，由材料力學(xué)計(jì)算公式有yxlhqimyx3302（ 1）（2）由平衡微分方程求xy、y平衡微分方程：(3)0(2)0yyxxyxyyxxyx其中，0,0 yx。將式（ 1）代入式（ 2） ，有yxlhqyxy2306積分上式，得)(312230 xfyxlhqxy利用邊界條件：02hyxy，有0)(4312230 xfhxlhq即2230143)(hxlhqxf精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p

9、d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載)41(322230hyxlhqxy（ 4）將式（ 4）代入式（ 3） ，有0)41(62230yhyxlhqy或)41(62230hyxlhqyy積分得)()4133(62230 xfyhyxlhqy利用邊界條件：xlqhyy02，02hyy得：0)()8124(6)()8124(623330023330

10、 xfhhxlhqxlqxfhhxlhq由第二式，得xlqxf2)(02將其代入第一式，得xlqxlqxlq00022自然成立。將)(2xf代入y的表達(dá)式，有xlqyhyxlhqy2)413(602330（ 5）所求應(yīng)力分量的結(jié)果：yxlhqimyx3302)41(322230hyxlhqxy（6）xlqyhyxlhqy2)413(602330校核梁端部的邊界條件：（1）梁左端的邊界（x = 0） ：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - -

11、- - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載0220hhxxdy，0220hhxxydy代入后可見：自然滿足。（2）梁右端的邊界（x = l） ：022233022hhlxhhlxxdyylhxqdy2)4(30222232022lqdyhylhxqdyhhlxhhlxxymlqylhlqdyylhxqydyhhhhlxhhlxx63222022333022233022可見，所有邊界條件均滿足。檢驗(yàn)應(yīng)力分量yxyx,是否滿足應(yīng)力相容方程：常體力下的應(yīng)力相容方程為0)()(22222yxyxyx將應(yīng)力分量yxyx,式（

12、6）代入應(yīng)力相容方程，有xylhqxyx302212)(，xylhqyyx302212)(024)()(3022222xylhqyxyxyx顯然，應(yīng)力分量yxyx,不滿足應(yīng)力相容方程，因而式（6）并不是該該問題的正確解。3一端固定， 另一端彈性支承的梁，其跨度為 l，抗彎剛度 ei 為常數(shù)， 梁端支承彈簧的剛度系數(shù)為k。梁受有均勻分布載荷q 作用，如圖所示。試：（1）構(gòu)造兩種形式（多項(xiàng)式、三角函數(shù)）的梁撓度試函數(shù))(xw；（2）用最小勢(shì)能原理或ritz 法求其多項(xiàng)式形式的撓度近似解（取1 項(xiàng)待定系數(shù)） 。（13 分）題二（ 3）圖精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - -

13、- - - - - - 第 6 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載解：兩種形式的梁撓度試函數(shù)可取為)()(23212xaxaaxxw多項(xiàng)式函數(shù)形式)2cos1 ()(1nmmlxmaxw三角函數(shù)形式此時(shí)有：0)()(023212xxaxaaxxw0)()(2)(03222321xxaaxxaxaaxxw0)2cos1()(01xnmmlxmaxw02sin2)(01xnmmlxmmlaxw即滿足梁的端部邊界條件

14、。梁的總勢(shì)能為202022)(21)(21lwkdxxqwdxdxwdeill?。?1)(xaxw，有1222adxwd，21)(lalw代入總勢(shì)能計(jì)算式，有221012021)(21)2(21lakdxaqxdxaeill42131212132lkalqaeila由0，有0343411lqlkaeila)4(34301kleillqa代入梁的撓度試函數(shù)表達(dá)式，得一次近似解為2430)4(3)(xkleillqxw4 已知受力物體內(nèi)某一點(diǎn)的應(yīng)力分量為：0 x，mpa2y，mpa1z，mpa1xy，0yz，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

15、 7 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載mpa2zx，試求經(jīng)過該點(diǎn)的平面13zyx上的正應(yīng)力。（12 分）解：由平面方程13zyx，得其法線方向單位矢量的方向余弦為1111311222l，1131313222m，1111311222n102021210ij，131111nmll111131102021210131111lltnmpa64. 21129111131375彈性力學(xué)課程考試試卷學(xué)號(hào)：姓名：工程領(lǐng)域：建

16、筑與土木工程題號(hào)一二三四五總分得分考試時(shí)間： 120 分鐘考試方式：開卷任課教師：楊靜日期： 20xx年 4 月 28 日一、簡(jiǎn)述題（ 40 分）1.試敘述彈性力學(xué)兩類平面問題的幾何、受力、應(yīng)力、應(yīng)變特征，并指出兩類平面問題中彈性常數(shù)間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。2.彈性力學(xué)問題按應(yīng)力和位移求解，分別應(yīng)滿足什么方程？3.寫出直角坐標(biāo)下彈性力學(xué)平面問題的基本方程和邊界條件？4.寫出彈性力學(xué)按應(yīng)力求解空間問題的相容方程。5.求解彈性力學(xué)問題時(shí)，為什么需要利用圣維南原理？6.試敘述位移變分方程和最小勢(shì)能原理，并指出他們與彈性力學(xué)基本方程的等價(jià)性? 7.試判斷下列應(yīng)變場(chǎng)是否為可能的應(yīng)變場(chǎng)？（需寫出判斷過程）)(22y

17、xcx，2cyy，cxyxy2。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載8.試寫出應(yīng)力邊界條件：（1） （a）圖用極坐標(biāo)形式寫出；（2） （b）圖用直角坐標(biāo)形式寫出。（a）圖（b）圖二、計(jì)算題（ 15分）已知受力物體中某點(diǎn)的應(yīng)力分量為：0 x，ay2，az，axy，0yz，azx2。試求作用在過此點(diǎn)的平面13zyx上的沿坐

18、標(biāo)軸方向的應(yīng)力分量，以及該平面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。三、計(jì)算題（ 15 分）圖示矩形截面懸臂梁，長(zhǎng)為l，高為h，在左端面受力p作用。不計(jì)體力，試求梁的應(yīng)力分量。（試取應(yīng)力函數(shù)bxyaxy3）四、計(jì)算題（ 15 分）圖示半無限平面體在邊界上受有兩等值反向，間距為 d 的集中力作用， 單位寬度上集中力的值為p， 設(shè) 間 距 d很 小 。 試 求 其 應(yīng) 力 分 量 ， 并 討 論 所 求 解 的 適 用 范 圍 。 （ 試 取 應(yīng) 力 函 數(shù)ba2sin）五、計(jì)算題（ 15 分）如圖所示的懸臂梁，其跨度為l。抗彎剛度為ei，在自由端受集中力p作用。試用最小勢(shì)能原xyophhy2hxolhyxproy

19、qpx精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載理求最大撓度。 （設(shè)梁的撓度曲線)2cos1(lxaw）彈性力學(xué)試題（答題時(shí)間： 120 分鐘）班級(jí)姓名學(xué)號(hào)題號(hào)一二三總 分（1）（2）（3）（4）得分一、填空題（每小題 4 分）1用最小勢(shì)能原理求解時(shí)所假設(shè)的位移試函數(shù)應(yīng)滿足：。2彈性多連體問題的應(yīng)力分量應(yīng)滿足，。3拉甫（lo

20、ve ）位移函數(shù)法適用空間問題；伽遼金（galerkin ）位移函數(shù)法適用于空間問題。4圣維南原理的基本要點(diǎn)有，。5有限差分法的基本思想為：，。二、簡(jiǎn)述題 （每小題 5 分）1試比較兩類平面問題的特點(diǎn)，并給出由平面應(yīng)力到平面應(yīng)變問題的轉(zhuǎn)換關(guān)系。2試就下列公式說明下列問題：（1）單連體問題的應(yīng)力分量與材料的彈性常數(shù)無關(guān)；（2）多連體彈性力學(xué)問題中應(yīng)力分量與彈性常數(shù)無關(guān)的條件。)()(22)(re4)()(211111zzzizzzxyxyyxmkkkkmkkkkzzzyxzzzzyxz111111)()ln()i(83)()()ln()i(81)(式中：)(),(11zz均為解析函數(shù)；)(),(

21、11zz均為單值解析函數(shù)。p精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載3試列寫圖示半無限平面問題的邊界條件。題二（ 3）圖4圖示彈性薄板， 作用一對(duì)拉力p。試由功的互等定理證明：薄板的面積改變量s與板的形狀無關(guān)，僅與材料的彈性模量e、泊松比、兩力 p 作用點(diǎn)間的距離l 有關(guān)。題二（ 4）圖5下面給出平面問題（單連通域）的一組應(yīng)變分量，試判斷它們是否可能。),(22yxcx,2cyycxyxy2。6等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力函數(shù)解法中，應(yīng)力函數(shù)),(yx應(yīng)滿足：gk22式中： g 為剪切彈性模量；k 為桿件單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。試說明該方程的物理意義。三、計(jì)算題1 圖示無限大薄板，在夾角為90的凹口邊界上作用有均勻分布剪應(yīng)力q。已知其應(yīng)力函數(shù)為：)