第三章參數(shù)估計(jì)第四章假設(shè)檢驗(yàn)回歸

1、第三章 參數(shù)估計(jì)2.區(qū)間估計(jì)一般可用在食品及藥品某些主要指標(biāo)的含量以及產(chǎn)品的使用壽命等數(shù)字特征，用抽樣去推斷總體的性質(zhì)。設(shè)總體為X,含未知數(shù)， 是樣本，都是樣本的函數(shù)（不含任何未知參數(shù)）。對(duì)0<<<1,使得，即未知數(shù)以大概率100（）%落在區(qū)間內(nèi)，稱（）為置信度（可相信的程度），為的置信區(qū)間，分別為置信上下限。以上過程稱為對(duì)的區(qū)間估計(jì)，可分為雙側(cè)與單側(cè)區(qū)間估計(jì)。一般都設(shè)總體，對(duì)單個(gè)正態(tài)總體的未知參數(shù)，作區(qū)間估計(jì)，其估計(jì)量用。例1:某廠生產(chǎn)一批清漆，為考慮該批清漆的平均干燥時(shí)間及離散程度，任取n=9個(gè)樣本。測(cè)得干燥時(shí)間分別為6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6

2、，6.1，5.0小時(shí)；設(shè)總體的干燥時(shí)間服從一般正態(tài)分布，即 。 （1）若=0.36，求總體平均干燥時(shí)間的95%的置信區(qū)間；解：1 總體的方差已知 對(duì)作區(qū)間估計(jì)，取統(tǒng)計(jì)量及分布： ， 2 對(duì)，查表取， 雙側(cè)區(qū)間估計(jì)，如圖使，3 將 代入并解不等式，有： ， 則：，4. 由樣本值： ， 5.可以認(rèn)為該批產(chǎn)品的平均干燥時(shí)間以95%的可能性落在區(qū)間內(nèi)。（2）1.未知，用代替，取統(tǒng)計(jì)量及分布2、如圖示，使：3、代入，4.代樣本值，=6.0 5可以認(rèn)為該批產(chǎn)品當(dāng)方差未知時(shí)，平均干燥時(shí)間以95%的可能性落在區(qū)間內(nèi)。（3）求的95%的置信區(qū)間。1.取統(tǒng)計(jì)量及其分布， ，2.對(duì)，雙側(cè)區(qū)間估計(jì)， 取，使，如圖：3

3、.代有：4、由樣本值：，5.可以認(rèn)為該批產(chǎn)品平均干燥時(shí)間的方差以95%的可能性落在區(qū)間內(nèi)。例2、單側(cè)區(qū)間估計(jì)?？茖W(xué)上重大發(fā)現(xiàn)往往是年輕人作出的，美國(guó)科學(xué)院統(tǒng)計(jì)了15世紀(jì)到20世紀(jì)12名科學(xué)偉人。（1）哥白尼 1543年 日心學(xué)說 40歲（2）伽利略 1600年 天文學(xué)，望遠(yuǎn)鏡 34歲 （3）牛頓 1665年 三大定律，微積分 23歲 （4）富蘭克林 1746年 電的本質(zhì) 40歲（5）拉瓦錫 1774年 氧氣及燃燒本質(zhì) 31歲 （6）萊爾 1830年 地球的演化過程 33歲 （7）達(dá)爾文 1858年 生物進(jìn)化論 49歲（8）麥克斯維爾 1864年 光 磁 電場(chǎng) 33歲 （9）居里 1896年 放

4、射性 34歲 （10）普朗克 1911年 量子論 43歲 （11）愛因斯坦 1905年 廣義狹義相對(duì)論 26歲 （12）薛定諤 1926年 量子論數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 39歲求：重大發(fā)現(xiàn)偉人年齡的上限。解答： 由未知，取統(tǒng)計(jì)量及分布（求年齡的上限用單側(cè)區(qū)間估計(jì)） 基于該統(tǒng)計(jì)，數(shù)學(xué)最高獎(jiǎng)菲爾茲獎(jiǎng)（四年頒發(fā)一次），只獎(jiǎng)勵(lì)給40歲以下的年輕人。例3、某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機(jī)訪問了50位市民，根據(jù)這50位市民對(duì)這兩部門的評(píng)分（評(píng)分越高表明市民的評(píng)價(jià)越高），隨機(jī)調(diào)查分?jǐn)?shù)（繪制莖葉圖）如下：甲部門：44，57，59，60，61，61，62，63，63，65，66，66，67，69，70，70，71，7

5、2，73，73，73，74，74，74，75，75，75，75，75，76，76，77，77，77，78，78，79，80，80，82，85，85，86，86，90，92，92，92，93，96.乙部門：35，39，40，44，44，48，51，52，52，54，55，56，56，57，57，57，58，59，60，61，61，62，63，64，66，68，68，70，70，71，71，73，74，74，79，81，82，83，83，84，85，90，91，91，94，95，96，100，100，100（1）分別估計(jì)該市的市民對(duì)甲、乙兩部門評(píng)分的中位數(shù)；（2）分別估計(jì)市民對(duì)甲、乙兩部門評(píng)分高于

6、90的概率；（3）根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對(duì)甲、乙兩部門評(píng)價(jià)。解：（1）由所給莖葉圖知，50位市民對(duì)甲部門的評(píng)分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故樣本中位數(shù)為75，所以該市的市民對(duì)甲部門評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值是75。50位市民對(duì)乙部門的評(píng)分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故樣本中位數(shù)為，所以該市的市民對(duì)乙部門評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值是67。（2）由所給莖葉圖知，50位市民對(duì)甲部門的評(píng)分高于90的次數(shù)為5次，所以評(píng)分高于90的比率為。由所給莖葉圖知，50位市民對(duì)乙部門的評(píng)分高于90的次數(shù)為8次，所以評(píng)分高于90的比率為。（3）解：由所給莖葉圖知，50位市民對(duì)甲部門的評(píng)分

7、的中位數(shù)高于對(duì)乙部門的評(píng)分的中位數(shù)，說明該市市民對(duì)甲部門的評(píng)價(jià)較高，（對(duì)乙部門的評(píng)價(jià)較低）。 由莖葉圖可以大致看出對(duì)甲部門的評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)差要小于對(duì)乙部門的標(biāo)準(zhǔn)差，說明該市市民對(duì)甲部門的評(píng)價(jià)較為一致，（對(duì)乙部門的評(píng)價(jià)差異較大）。注：設(shè)對(duì)甲部門的評(píng)分為，對(duì)乙部門的評(píng)分為，經(jīng)計(jì)算后也得到以上結(jié)論：，。第四章 假設(shè)檢驗(yàn) 統(tǒng)計(jì)推斷一般分為兩大類：一類是對(duì)未知參數(shù)作點(diǎn)估計(jì)及區(qū)間估計(jì)，另一類是對(duì)總體的分布和未知參數(shù)的某些特性作假設(shè)檢驗(yàn)。假設(shè)檢驗(yàn)首先為提出假設(shè)，據(jù)假設(shè)選取適合的統(tǒng)計(jì)量及分布，用樣本去推斷假設(shè)的合理性，假設(shè)檢驗(yàn)是概率論中的反證法。1、對(duì)參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)： 其步驟是先對(duì)參數(shù)提出原假設(shè)，如，檢驗(yàn)總體的均

8、值。為額定的標(biāo)準(zhǔn)，稱其為原假設(shè)，及，稱為備擇或?qū)α⒓僭O(shè)。由檢驗(yàn)均值選擇統(tǒng)計(jì)量，若方差未知時(shí)對(duì)， 取，使為顯著性水平，取等式時(shí)為雙側(cè)檢驗(yàn)，取不等式時(shí)為單側(cè)檢驗(yàn)。統(tǒng)計(jì)推斷的基本原理是：小概率事件在一次隨機(jī)試驗(yàn)中幾乎不會(huì)發(fā)生，若小概率事件發(fā)生，則說明假設(shè)不真，則有拒絕域或接受域。如：，在為真的條件下，由樣本值去推斷是否在拒絕域內(nèi)，作出對(duì)總體的某些特性是拒絕或是接受的推斷。例1 某鹽業(yè)公司用一臺(tái)包裝機(jī)包裝精碘鹽，額定標(biāo)準(zhǔn)每袋凈重,隨機(jī)抽取,其凈重分別為497、506、518、524、488、511、510、515、512.對(duì)，檢驗(yàn)包裝機(jī)工作是否正常。假設(shè)每袋的凈重，標(biāo)準(zhǔn)差解： （1）（2）由總體標(biāo)準(zhǔn)差

9、已知，選取統(tǒng)計(jì)量及其分布。，稱為檢驗(yàn)法。（3）對(duì)顯著性水平，查表取使，拒絕域?yàn)?雙側(cè)檢驗(yàn)。（4）由樣本值 當(dāng) 成立時(shí) （5）小概率事件沒有發(fā)生，樣本值不在拒絕域內(nèi)，接受，即認(rèn)為包裝機(jī)工作正常。說明：在假設(shè)檢驗(yàn)中提出假設(shè)時(shí)有可能發(fā)生假設(shè)錯(cuò)誤，一般可用區(qū)間估計(jì)作驗(yàn)證。在本例中例2：某廠生產(chǎn)某種固體燃料，其燃燒率,額定標(biāo)準(zhǔn)?，F(xiàn)給出一種新的生產(chǎn)方法，任取新方法生產(chǎn)的根產(chǎn)品，測(cè)得。樣本標(biāo)準(zhǔn)差,對(duì)，檢驗(yàn)新方法較原方法生產(chǎn)的固體燃料其燃燒率是否有顯著提高。解：（1）（給出反假設(shè)，一般否定比肯定更具說服力） （2）總體方差未知，檢驗(yàn)總體，?。?）對(duì)顯著性水平，取 單側(cè)檢驗(yàn)（檢驗(yàn)不等式時(shí)為單側(cè)檢驗(yàn)）使,其拒絕域

10、 當(dāng)成立時(shí)，, 則拒絕域 (4)由樣本值 ，=40，, (5) 樣本值在拒域內(nèi)的小概率事件發(fā)生，拒絕，接受，即認(rèn)為新方法生產(chǎn)的產(chǎn)品燃燒率有顯著性提高。例3：兩個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn) 假設(shè)兩個(gè)公司生產(chǎn)同類型電子產(chǎn)品，其使用壽命分別為為檢驗(yàn)兩個(gè)公司產(chǎn)品的質(zhì)量是否一致。任取=9個(gè)樣本，測(cè)得，個(gè)樣本，測(cè)得；對(duì)顯著性水平兩個(gè)公司的生產(chǎn)的同類電子產(chǎn)品的質(zhì)量是否有顯著性差異。解答：（1） 首先檢驗(yàn)正態(tài)總體的均值差1. 或者 2 在條件下取統(tǒng)計(jì)量及其分布 其中，3 對(duì)顯著性水平查表 使得 在成立下拒絕域 5樣本值不在拒絕域內(nèi)，小概率事件沒有發(fā)生，即可認(rèn)為兩家公司產(chǎn)品的壽命沒有顯著性差異。 （2）檢驗(yàn)產(chǎn)品使用壽命

11、的方差比 1 . 2. 選取統(tǒng)計(jì)量及其分布 3 對(duì)顯著性水平查表 使：拒絕域 ：或者 ，雙側(cè)檢驗(yàn)， 4. 當(dāng) 成立時(shí)，代樣本值5由 樣本值不在拒絕域內(nèi)，接受，即可認(rèn)為產(chǎn)品使用壽命方差沒有顯著性差異。綜合（1）（2）可以認(rèn)為兩家公司生產(chǎn)同類產(chǎn)品質(zhì)量沒有顯著性差異。例4、 據(jù)推測(cè)：工作和經(jīng)歷相類似的人群中，矮個(gè)子人的壽命較高個(gè)子人壽命長(zhǎng)，美國(guó)科學(xué)院統(tǒng)計(jì)了31位自然死亡的總統(tǒng)，其中5位個(gè)子矮<58, 5英尺8寸， 1英尺=0.304785米, 581.77m; 26位高個(gè)子>58， 5位矮個(gè)子總統(tǒng)身高從1.651.74m，壽命從6590歲；26位高個(gè)子總統(tǒng)從1.771.97m,壽命從53

12、90。 矮、高個(gè)子的壽命分別是隨機(jī)變量，記為 ， 且 。 解答：，反假設(shè)否定更有說服力，在方差相等的條件下，選取不等式檢驗(yàn)，為單側(cè)檢驗(yàn)，對(duì)顯著性水平：拒絕域；當(dāng)成立時(shí)，由樣本值小概率事件發(fā)生，拒絕，接受推測(cè)成立。3. 兩類錯(cuò)誤假設(shè)檢驗(yàn)作統(tǒng)計(jì)推斷是基于小概率事件在一次隨機(jī)試驗(yàn)幾乎不會(huì)發(fā)生的原理。但并不說明小概率事件不會(huì)發(fā)生。由此假設(shè)檢驗(yàn)作統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)可能發(fā)生兩類錯(cuò)誤：（1）棄真錯(cuò)誤 （第一類）P（拒絕|為真時(shí)）=（2）取偽錯(cuò)誤 （第二類）P（接受|不真時(shí)）=一般控制犯第一類錯(cuò)誤的概率為，越小有利于假設(shè)的成立，但否定，又更有說服力。犯第二類錯(cuò)誤的概率，越大，有利于假設(shè)，如在對(duì)犯罪嫌疑人做無罪推斷時(shí)。嫌疑人無罪， 嫌疑人有罪（拒絕|為真時(shí)）=（接受|不真時(shí)）=那種情況對(duì)社會(huì)危害大？經(jīng)分析：應(yīng)是第一種。若要使兩類錯(cuò)誤發(fā)生都較小，可增加樣本的容量n(尋找新證據(jù)以形成證據(jù)鏈)。在生產(chǎn)實(shí)際中由0-C準(zhǔn)則，以作為樣本