無(wú)窮小量與無(wú)窮大量階的比較

1、3.5 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量無(wú)窮小量與無(wú)窮大量 本節(jié)討論極限的求法。利用極限的定義，從變本節(jié)討論極限的求法。利用極限的定義，從變量的變化趨勢(shì)來(lái)觀察函數(shù)的極限，對(duì)于比較復(fù)雜量的變化趨勢(shì)來(lái)觀察函數(shù)的極限，對(duì)于比較復(fù)雜的函數(shù)難于實(shí)現(xiàn)。為此需要介紹極限的運(yùn)算法則。的函數(shù)難于實(shí)現(xiàn)。為此需要介紹極限的運(yùn)算法則。首先來(lái)介紹無(wú)窮小。首先來(lái)介紹無(wú)窮小。一、無(wú)窮小一、無(wú)窮小 在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)遇到極限為在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)遇到極限為0的變量。的變量。對(duì)于這種變量不僅具有實(shí)際意義，而且更具有對(duì)于這種變量不僅具有實(shí)際意義，而且更具有理論價(jià)值，值得我們單獨(dú)給出定義理論價(jià)值，值得我們單獨(dú)給出定義1.定義定義:極限為零的變

2、量稱為極限為零的變量稱為無(wú)窮小無(wú)窮小.例如例如, 0sinlim0 xx.0sin時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小是當(dāng)是當(dāng)函數(shù)函數(shù)xx, 01lim xx.1時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小是當(dāng)是當(dāng)函數(shù)函數(shù) xx, 0)1(lim nnn.)1(時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小是當(dāng)是當(dāng)數(shù)列數(shù)列 nnn注意注意1.稱函數(shù)為無(wú)窮小，必須指明自變量的稱函數(shù)為無(wú)窮小，必須指明自變量的變化過(guò)程；變化過(guò)程；2.無(wú)窮小是變量無(wú)窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆;3.零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù)零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù).2.無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:定理定理 1 1 ),()()(lim0 xaxfaxfx

3、x 其中其中)(x 是當(dāng)是當(dāng)0 xx 時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小.證證 必要性必要性,)(lim0axfxx 設(shè)設(shè),)()(axfx 令令, 0)(lim0 xxx則有則有).()(xaxf 充分性充分性),()(xaxf 設(shè)設(shè),)(0時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小是當(dāng)是當(dāng)其中其中xxx )(lim)(lim00 xaxfxxxx 則則)(lim0 xaxx .a 意義意義 1.將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題(無(wú)窮無(wú)窮小小);).(,)()(. 20 xaxfxxf 誤誤差差為為附附近近的的近近似似表表達(dá)達(dá)式式在在給給出出了了函函數(shù)數(shù)3.無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì):定理

4、定理2 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小仍是無(wú)窮小.證證,時(shí)的兩個(gè)無(wú)窮小時(shí)的兩個(gè)無(wú)窮小是當(dāng)是當(dāng)及及設(shè)設(shè) x使得使得, 0, 0, 021 nn;21 時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng)nx;22 時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng)nx,max21nnn 取取恒有恒有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),nx 22 , )(0 x注意注意無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小. .是無(wú)窮小，是無(wú)窮小，時(shí)時(shí)例如例如nn1, .11不是無(wú)窮小不是無(wú)窮小之和為之和為個(gè)個(gè)但但nn定理定理3 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.證證內(nèi)有界，內(nèi)有界，在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(

5、100 xuu.0, 0, 0101muxxm 恒有恒有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng)則則,0時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小是當(dāng)是當(dāng)又設(shè)又設(shè)xx .0, 0, 0202mxx 恒有恒有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng),min21 取取恒有恒有時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng),00 xx uumm , .,0為無(wú)窮小為無(wú)窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) uxx推論推論1 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中,有極限的變量與無(wú)窮小的乘有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小積是無(wú)窮小.推論推論2 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論推論3 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.xxxxx1arctan,1sin,0,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例如例如都是無(wú)窮小都是無(wú)窮

6、小二、無(wú)窮大二、無(wú)窮大絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大無(wú)窮大.定義定義 2 2 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù)m( (不論它多么不論它多么小小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù) ( (或正數(shù)或正數(shù)x),),使得對(duì)于適合不等式使得對(duì)于適合不等式 00 xx( (或或 xx) )的一切的一切x, ,所對(duì)應(yīng)的函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 mxf )(, ,則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx ( (或或 x) )時(shí)為無(wú)窮小時(shí)為無(wú)窮小, ,記作記作 ).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)

7、窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意 1.無(wú)窮大是變量無(wú)窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;.)(lim. 20認(rèn)為極限存在認(rèn)為極限存在切勿將切勿將 xfxx3. 無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量,但是無(wú)但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大界變量未必是無(wú)窮大.,1sin1,0,但不是無(wú)窮大但不是無(wú)窮大是一個(gè)無(wú)界變量是一個(gè)無(wú)界變量時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例如例如xxyx xxy1sin1 ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1(0 kkx取取,22)(0 kxy.)(,0mxyk 充分大時(shí)充分大時(shí)當(dāng)當(dāng)無(wú)界，無(wú)界，), 3 , 2 , 1 , 0(2

8、1)2(0 kkx取取, kxk充分大時(shí)充分大時(shí)當(dāng)當(dāng) kkxyk2sin2)(但但.0m 不是無(wú)窮大不是無(wú)窮大.11lim1 xx證明證明例例證證11 xy. 0 m,11mx 要使要使,11mx 只要只要,1m 取取,110時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)mx .11mx 就有就有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的圖形的鉛直漸近線的圖形的鉛直漸近線是函數(shù)是函數(shù)則直線則直線如果如果定義定義xfyxxxfxx 三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系定理定理4 4 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中, ,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小; ;恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大

9、. .證證.)(lim0 xfxx設(shè)設(shè),1)(0, 0, 00 xfxx恒有恒有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng).)(1,0為無(wú)窮小為無(wú)窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfxx . 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且設(shè)設(shè)反之反之,1)(0, 0, 00mxfxxm 恒有恒有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng).)(1,0為無(wú)窮大為無(wú)窮大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfxx 意義意義 關(guān)于無(wú)窮大的討論關(guān)于無(wú)窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論的討論.極限運(yùn)算法則的證明極限運(yùn)算法則的證明定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim bbaxgxfbaxgxfbaxgxfbxgaxf

10、其中其中則則設(shè)設(shè)證證.)(lim,)(limbxgaxf . 0, 0.)(,)( 其中其中bxgaxf由無(wú)窮小運(yùn)算法則由無(wú)窮小運(yùn)算法則,得得)()()(baxgxf . 0.)1( 成立成立)()()(baxgxf abba )( )(ba. 0.)2(成立成立baxgxf )()(baba )( bbab. 0 ab, 0, 0 b又又, 0 ,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx,2b bbbb21 b21 ,21)(2bbb ,2)(12bbb 故故有界，有界，.)3(成立成立注注此定理對(duì)于數(shù)列同樣成立此定理對(duì)于數(shù)列同樣成立此定理證明的基本原則：此定理證明的基本原則：)()()(limxaxfaxf (

11、1),(2)可推廣到任意有限個(gè)具有極限的函數(shù)可推廣到任意有限個(gè)具有極限的函數(shù) (2)有兩個(gè)重要的推論有兩個(gè)重要的推論四四、無(wú)窮小的比較、無(wú)窮小的比較例如例如,.1sin,sin,022都是無(wú)窮小都是無(wú)窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxxx 觀察各極限觀察各極限xxx3lim20, 0 ;32要快得多要快得多比比 xxxxxsinlim0, 1 ;sin大致相同大致相同與與xx2201sinlimxxxxxx1sinlim0 .不存在不存在不可比不可比.極限不同極限不同, 反映了趨向于零的反映了趨向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.定義定義: :. 0, 且且窮小窮小是同一過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)是同一過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)

12、設(shè)設(shè));(, 0lim)1( o記作記作高階的無(wú)窮小高階的無(wú)窮小是比是比就說(shuō)就說(shuō)如果如果;),0(lim)2(是同階的無(wú)窮小是同階的無(wú)窮小與與就說(shuō)就說(shuō)如果如果 cc;, 1lim 記作記作是等價(jià)的無(wú)窮小是等價(jià)的無(wú)窮小與與則稱則稱如果如果特殊地特殊地.),0, 0(lim)3(無(wú)窮小無(wú)窮小階的階的的的是是就說(shuō)就說(shuō)如果如果kkcck 例例1 1.tan4 ,0:3的四階無(wú)窮小的四階無(wú)窮小為為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)證明證明xxxx 解解430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx , 4 .tan4 ,03的四階無(wú)窮小的四階無(wú)窮小為為時(shí)時(shí)故當(dāng)故當(dāng)xxxx 例例2 2.sintan,0的階數(shù)的階數(shù)關(guān)于關(guān)

13、于求求時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1tan(lim20 xxxxx ,21 .sintan的三階無(wú)窮小的三階無(wú)窮小為為xxx 常用等價(jià)無(wú)窮小常用等價(jià)無(wú)窮小: :,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x.21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx xx2111 xnxn111 xx 1)1( 注注1. 上述上述10個(gè)等價(jià)無(wú)窮小（包括反、對(duì)、冪、個(gè)等價(jià)無(wú)窮?。òǚ?、對(duì)、冪、指、三）必須熟練掌握指、三）必須熟練掌握都成立都成立換成換成將將0)(. 2 xfx用等價(jià)無(wú)窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式用等價(jià)無(wú)窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式:

14、, 1lim , 0lim ),( o即即).( o于是有于是有)( o 同理也有同理也有一般地有一般地有)( o 即即與與等價(jià)等價(jià) 與與互為主要部分互為主要部分例如例如,),(sinxoxx ).(211cos22xoxx 補(bǔ)充補(bǔ)充高階無(wú)窮小的運(yùn)算規(guī)律高階無(wú)窮小的運(yùn)算規(guī)律,min)()()().1(nmkxoxoxoknm 其中其中)()()().2(nmnmxoxoxo )()().3(nmnmxoxox 為有界為有界其中其中)()()()().4(xxoxoxnn 五、等價(jià)無(wú)窮小替換五、等價(jià)無(wú)窮小替換定理定理( (等價(jià)無(wú)窮小替換定理等價(jià)無(wú)窮小替換定理) ).limlim,lim, 則則存

15、在存在且且設(shè)設(shè)證證 lim)lim( limlimlim.lim 意義意義 求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，可將其中的分子求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，可將其中的分子或分母或乘積因子中的無(wú)窮小用與其等價(jià)的較簡(jiǎn)單或分母或乘積因子中的無(wú)窮小用與其等價(jià)的較簡(jiǎn)單的無(wú)窮小代替，以簡(jiǎn)化計(jì)算。具體代換時(shí)，可只代的無(wú)窮小代替，以簡(jiǎn)化計(jì)算。具體代換時(shí)，可只代換分子，也可只代換分母，或者分子分母同時(shí)代換。換分子，也可只代換分母，或者分子分母同時(shí)代換。例例3 3.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)22021)2(limxxx 原式原式. 8 注意注意不能濫用等價(jià)無(wú)

16、窮小代換不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換.對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別替換對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別替換. .等價(jià)關(guān)系具有：自反性，對(duì)稱性，傳遞性等價(jià)關(guān)系具有：自反性，對(duì)稱性，傳遞性例例4 4.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 30)2(limxxxx 原式原式. 0 錯(cuò)錯(cuò)解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,22sinxx)cos1(tansintanxxxx ,213x330)2(21limxxx 原式原式.161 例例5 5.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解tan55( ),xx o x),(33sinxoxx ).(21cos122

17、xoxx )(3)(21)(5lim220 xoxxoxxoxx 原式原式xxoxxoxxxox)(3)(21)(5lim20 .35 例例6 求求)1ln()cos1(1cossinlim20 xxxxxx 解一解一xxxxxxxx)1ln()cos1(1cossinlim0 原原式式1201 21 解二解二xxxxxx )cos1(1cossinlim20原原式式 )1cossin(cos11lim0 xxxxxx21 解三解三 xxxxxxxxix1cos)1ln(cos11)1ln()cos1(sinlim0012121 21 例例7 求求131)1()1()1)(1(lim nnxx

18、xxx解解1 xu令令ux 1則則得得由由uu 1)1( 130)11()11)(11(lim nnuuuuui1013121lim nuuunuu!1n 關(guān)于關(guān)于1 1型極限的求法型極限的求法)()(limxgxf )(lim, 1)(limxgxf)()(limxgxf)(ln)(limxfxge )(ln)(limxfxge )(1)1)(1lnlim)(ln)(limxgxfxfxg )(11)(limxgxf 1)()(lim xfxg)()(limxgxf1)()(lim xfxge無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的.1、主要內(nèi)容、主要內(nèi)容: 兩個(gè)定義兩個(gè)定義;四個(gè)定理四個(gè)定理;三個(gè)推論三個(gè)推論.2、幾點(diǎn)注意、幾點(diǎn)注意:（1） 無(wú)窮?。o(wú)窮?。?大）是變量大）是變量,不能與很小（大）的數(shù)混不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)；淆，零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)；（2 2）無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無(wú)窮小無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無(wú)窮小. .（3） 無(wú)界變量未必是無(wú)窮大無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.六、小結(jié)六、小結(jié)3.無(wú)窮小的比較無(wú)窮小的比較:反映了同一過(guò)程中反映了同一過(guò)程中, 兩無(wú)窮小趨于零的速度兩無(wú)窮小趨于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的無(wú)