無窮小量與無窮大量階的比較

1、3.5 無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量 本節(jié)討論極限的求法。利用極限的定義，從變本節(jié)討論極限的求法。利用極限的定義，從變量的變化趨勢來觀察函數(shù)的極限，對于比較復雜量的變化趨勢來觀察函數(shù)的極限，對于比較復雜的函數(shù)難于實現(xiàn)。為此需要介紹極限的運算法則。的函數(shù)難于實現(xiàn)。為此需要介紹極限的運算法則。首先來介紹無窮小。首先來介紹無窮小。一、無窮小一、無窮小 在實際應用中，經(jīng)常會遇到極限為在實際應用中，經(jīng)常會遇到極限為0的變量。的變量。對于這種變量不僅具有實際意義，而且更具有對于這種變量不僅具有實際意義，而且更具有理論價值，值得我們單獨給出定義理論價值，值得我們單獨給出定義1.定義定義:極限為零的變

2、量稱為極限為零的變量稱為無窮小無窮小.例如例如, 0sinlim0 xx.0sin時的無窮小時的無窮小是當是當函數(shù)函數(shù)xx, 01lim xx.1時的無窮小時的無窮小是當是當函數(shù)函數(shù) xx, 0)1(lim nnn.)1(時的無窮小時的無窮小是當是當數(shù)列數(shù)列 nnn注意注意1.稱函數(shù)為無窮小，必須指明自變量的稱函數(shù)為無窮小，必須指明自變量的變化過程；變化過程；2.無窮小是變量無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆;3.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:定理定理 1 1 ),()()(lim0 xaxfaxfx

3、x 其中其中)(x 是當是當0 xx 時的無窮小時的無窮小.證證 必要性必要性,)(lim0axfxx 設(shè)設(shè),)()(axfx 令令, 0)(lim0 xxx則有則有).()(xaxf 充分性充分性),()(xaxf 設(shè)設(shè),)(0時的無窮小時的無窮小是當是當其中其中xxx )(lim)(lim00 xaxfxxxx 則則)(lim0 xaxx .a 意義意義 1.將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮無窮小小);).(,)()(. 20 xaxfxxf 誤誤差差為為附附近近的的近近似似表表達達式式在在給給出出了了函函數(shù)數(shù)3.無窮小的運算性質(zhì)無窮小的運算性質(zhì):定理

4、定理2 在同一過程中在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小仍是無窮小.證證,時的兩個無窮小時的兩個無窮小是當是當及及設(shè)設(shè) x使得使得, 0, 0, 021 nn;21 時恒有時恒有當當nx;22 時恒有時恒有當當nx,max21nnn 取取恒有恒有時時當當,nx 22 , )(0 x注意注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小. .是無窮小，是無窮小，時時例如例如nn1, .11不是無窮小不是無窮小之和為之和為個個但但nn定理定理3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證證內(nèi)有界，內(nèi)有界，在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(

5、100 xuu.0, 0, 0101muxxm 恒有恒有時時使得當使得當則則,0時的無窮小時的無窮小是當是當又設(shè)又設(shè)xx .0, 0, 0202mxx 恒有恒有時時使得當使得當,min21 取取恒有恒有時時則當則當,00 xx uumm , .,0為無窮小為無窮小時時當當 uxx推論推論1 在同一過程中在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小積是無窮小.推論推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論3 有限個無窮小的乘積也是無窮小有限個無窮小的乘積也是無窮小.xxxxx1arctan,1sin,0,2時時當當例如例如都是無窮小都是無窮

6、小二、無窮大二、無窮大絕對值無限增大的變量稱為絕對值無限增大的變量稱為無窮大無窮大.定義定義 2 2 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù)m( (不論它多么不論它多么小小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù) ( (或正數(shù)或正數(shù)x),),使得對于適合不等式使得對于適合不等式 00 xx( (或或 xx) )的一切的一切x, ,所對應的函數(shù)所對應的函數(shù)值值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 mxf )(, ,則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf當當0 xx ( (或或 x) )時為無窮小時為無窮小, ,記作記作 ).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或特殊情形：正無窮大，負無窮大特殊情形：正無窮大，負無

7、窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意 1.無窮大是變量無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;.)(lim. 20認為極限存在認為極限存在切勿將切勿將 xfxx3. 無窮大是一種特殊的無界變量無窮大是一種特殊的無界變量,但是無但是無界變量未必是無窮大界變量未必是無窮大.,1sin1,0,但不是無窮大但不是無窮大是一個無界變量是一個無界變量時時當當例如例如xxyx xxy1sin1 ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1(0 kkx取取,22)(0 kxy.)(,0mxyk 充分大時充分大時當當無界，無界，), 3 , 2 , 1 , 0(2

8、1)2(0 kkx取取, kxk充分大時充分大時當當 kkxyk2sin2)(但但.0m 不是無窮大不是無窮大.11lim1 xx證明證明例例證證11 xy. 0 m,11mx 要使要使,11mx 只要只要,1m 取取,110時時當當mx .11mx 就有就有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的圖形的鉛直漸近線的圖形的鉛直漸近線是函數(shù)是函數(shù)則直線則直線如果如果定義定義xfyxxxfxx 三、無窮小與無窮大的關(guān)系三、無窮小與無窮大的關(guān)系定理定理4 4 在同一過程中在同一過程中, ,無窮大的倒數(shù)為無窮小無窮大的倒數(shù)為無窮小; ;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大

9、. .證證.)(lim0 xfxx設(shè)設(shè),1)(0, 0, 00 xfxx恒有恒有時時使得當使得當.)(1,0為無窮小為無窮小時時當當xfxx . 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且設(shè)設(shè)反之反之,1)(0, 0, 00mxfxxm 恒有恒有時時使得當使得當.)(1,0為無窮大為無窮大時時當當xfxx 意義意義 關(guān)于無窮大的討論關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論的討論.極限運算法則的證明極限運算法則的證明定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim bbaxgxfbaxgxfbaxgxfbxgaxf

10、其中其中則則設(shè)設(shè)證證.)(lim,)(limbxgaxf . 0, 0.)(,)( 其中其中bxgaxf由無窮小運算法則由無窮小運算法則,得得)()()(baxgxf . 0.)1( 成立成立)()()(baxgxf abba )( )(ba. 0.)2(成立成立baxgxf )()(baba )( bbab. 0 ab, 0, 0 b又又, 0 ,00時時當當 xx,2b bbbb21 b21 ,21)(2bbb ,2)(12bbb 故故有界，有界，.)3(成立成立注注此定理對于數(shù)列同樣成立此定理對于數(shù)列同樣成立此定理證明的基本原則：此定理證明的基本原則：)()()(limxaxfaxf (

11、1),(2)可推廣到任意有限個具有極限的函數(shù)可推廣到任意有限個具有極限的函數(shù) (2)有兩個重要的推論有兩個重要的推論四四、無窮小的比較、無窮小的比較例如例如,.1sin,sin,022都是無窮小都是無窮小時時當當xxxxxx 觀察各極限觀察各極限xxx3lim20, 0 ;32要快得多要快得多比比 xxxxxsinlim0, 1 ;sin大致相同大致相同與與xx2201sinlimxxxxxx1sinlim0 .不存在不存在不可比不可比.極限不同極限不同, 反映了趨向于零的反映了趨向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.定義定義: :. 0, 且且窮小窮小是同一過程中的兩個無是同一過程中的兩個無

12、設(shè)設(shè));(, 0lim)1( o記作記作高階的無窮小高階的無窮小是比是比就說就說如果如果;),0(lim)2(是同階的無窮小是同階的無窮小與與就說就說如果如果 cc;, 1lim 記作記作是等價的無窮小是等價的無窮小與與則稱則稱如果如果特殊地特殊地.),0, 0(lim)3(無窮小無窮小階的階的的的是是就說就說如果如果kkcck 例例1 1.tan4 ,0:3的四階無窮小的四階無窮小為為時時當當證明證明xxxx 解解430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx , 4 .tan4 ,03的四階無窮小的四階無窮小為為時時故當故當xxxx 例例2 2.sintan,0的階數(shù)的階數(shù)關(guān)于關(guān)

13、于求求時時當當xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1tan(lim20 xxxxx ,21 .sintan的三階無窮小的三階無窮小為為xxx 常用等價無窮小常用等價無窮小: :,0時時當當 x.21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx xx2111 xnxn111 xx 1)1( 注注1. 上述上述10個等價無窮?。òǚ础?、冪、個等價無窮?。òǚ础?、冪、指、三）必須熟練掌握指、三）必須熟練掌握都成立都成立換成換成將將0)(. 2 xfx用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達式用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達式:

14、, 1lim , 0lim ),( o即即).( o于是有于是有)( o 同理也有同理也有一般地有一般地有)( o 即即與與等價等價 與與互為主要部分互為主要部分例如例如,),(sinxoxx ).(211cos22xoxx 補充補充高階無窮小的運算規(guī)律高階無窮小的運算規(guī)律,min)()()().1(nmkxoxoxoknm 其中其中)()()().2(nmnmxoxoxo )()().3(nmnmxoxox 為有界為有界其中其中)()()()().4(xxoxoxnn 五、等價無窮小替換五、等價無窮小替換定理定理( (等價無窮小替換定理等價無窮小替換定理) ).limlim,lim, 則則存

15、在存在且且設(shè)設(shè)證證 lim)lim( limlimlim.lim 意義意義 求兩個無窮小之比的極限時，可將其中的分子求兩個無窮小之比的極限時，可將其中的分子或分母或乘積因子中的無窮小用與其等價的較簡單或分母或乘積因子中的無窮小用與其等價的較簡單的無窮小代替，以簡化計算。具體代換時，可只代的無窮小代替，以簡化計算。具體代換時，可只代換分子，也可只代換分母，或者分子分母同時代換。換分子，也可只代換分母，或者分子分母同時代換。例例3 3.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 時時當當22021)2(limxxx 原式原式. 8 注意注意不能濫用等價無

16、窮小代換不能濫用等價無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換. .等價關(guān)系具有：自反性，對稱性，傳遞性等價關(guān)系具有：自反性，對稱性，傳遞性例例4 4.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx時時當當 30)2(limxxxx 原式原式. 0 錯錯解解,0時時當當 x,22sinxx)cos1(tansintanxxxx ,213x330)2(21limxxx 原式原式.161 例例5 5.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解tan55( ),xx o x),(33sinxoxx ).(21cos122

17、xoxx )(3)(21)(5lim220 xoxxoxxoxx 原式原式xxoxxoxxxox)(3)(21)(5lim20 .35 例例6 求求)1ln()cos1(1cossinlim20 xxxxxx 解一解一xxxxxxxx)1ln()cos1(1cossinlim0 原原式式1201 21 解二解二xxxxxx )cos1(1cossinlim20原原式式 )1cossin(cos11lim0 xxxxxx21 解三解三 xxxxxxxxix1cos)1ln(cos11)1ln()cos1(sinlim0012121 21 例例7 求求131)1()1()1)(1(lim nnxx

18、xxx解解1 xu令令ux 1則則得得由由uu 1)1( 130)11()11)(11(lim nnuuuuui1013121lim nuuunuu!1n 關(guān)于關(guān)于1 1型極限的求法型極限的求法)()(limxgxf )(lim, 1)(limxgxf)()(limxgxf)(ln)(limxfxge )(ln)(limxfxge )(1)1)(1lnlim)(ln)(limxgxfxfxg )(11)(limxgxf 1)()(lim xfxg)()(limxgxf1)()(lim xfxge無窮小與無窮大是相對于過程而言的無窮小與無窮大是相對于過程而言的.1、主要內(nèi)容、主要內(nèi)容: 兩個定義兩個定義;四個定理四個定理;三個推論三個推論.2、幾點注意、幾點注意:（1） 無窮?。o窮?。?大）是變量大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2 2）無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小. .（3） 無界變量未必是無窮大無界變量未必是無窮大.六、小結(jié)六、小結(jié)3.無窮小的比較無窮小的比較:反映了同一過程中反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度兩無窮小趨于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的無