第十章 波動學(xué)基礎(chǔ)

1、第十章 波動學(xué)基礎(chǔ)第十章 波動學(xué)基礎(chǔ)§10-1波動的基本概念一、常見機(jī)械波現(xiàn)象1、水面波。把一塊石頭投在靜止的水面上，可見到石頭落水處水發(fā)生振動，此處振動引起附近水的振動，附近水的振動又引起更遠(yuǎn)處水的振動，這樣水的振動就從石頭落點(diǎn)處向外傳播開了，形成了水面波。2、繩波。繩的一端固定，另一端用手拉緊并使之上下振動，這端的振動引起鄰近點(diǎn)振動，鄰近點(diǎn)的振動又引起更遠(yuǎn)點(diǎn)的振動，這樣振動就由繩的一端向另一端傳播，形成了繩波。3、聲波。當(dāng)音叉振動時，它的振動引起附近空氣的振動，附近空氣的振動又引起更遠(yuǎn)處空氣的振動，這樣振動就在空氣中傳播，形成了聲波。二、機(jī)械波產(chǎn)生的條件兩個條件 1、波源。如上述

2、水面波波源是石頭落水處的水；繩波波源是手拉繩的振動端；聲波波源是音叉。2、傳播介質(zhì)。如：水面波的傳播介質(zhì)是水；繩波的傳播介質(zhì)是繩；聲波的傳播介質(zhì)是空氣。說明：波動不是物質(zhì)的傳播而是振動狀態(tài)的傳播。三、橫波與縱波1、橫波：振動方向與波動傳播方向垂直。如 繩波。2、縱波：(1)氣體、液體內(nèi)只能傳播縱波，而固體內(nèi)既能傳播縱波又能傳播橫波。(2)水面波是一種復(fù)雜的波，使振動質(zhì)點(diǎn)回復(fù)到平衡位置的力不是一般彈性力，而是重力和表面張力。(3）一般復(fù)雜的波可以分解成橫波和縱波一起研究。四、關(guān)于波動的幾個概念1、波線：沿波傳播方向帶箭頭的線。2、同相面（波面）：振動位相相同點(diǎn)連成的曲面。同一時刻，同相面有任意多

3、個。3、波陣面（或波前）：某一時刻，波源最初振動狀態(tài)傳播到的各點(diǎn)連成的面稱為波陣面或波前，顯然它是同相面的一個特例，它是離波源最遠(yuǎn)的那個同相面，任一時刻只有一個波陣面。（或：傳播在最前面的那個同相面）4、平面波與球面波(1)平面波：波陣面為平面。(2)球面波：波陣面為球面。 圖10-1 *：在各向同性的介質(zhì)中波線與波陣面垂直。五 波長、波的周期和頻率 波速波長波長:同一波線上位相差為的二質(zhì)點(diǎn)間的距離（即一完整波的長度）。在橫波情況下，波長可用相鄰波峰或相鄰波谷之間的距離表示。如下圖。在縱波情況下，波長可用相鄰的密集部分中心或相鄰的稀疏部分中心之間的距離表示。波的周期 圖10-2 波的周期: 波

4、前進(jìn)一個波長距離所用的時間（或一個完整波形通過波線上某點(diǎn)所需要的時間）波動頻率：單位時間內(nèi)前進(jìn)的距離中包含的完整波形數(shù)目?？捎?（1-1）說明：由波的形成過程可知，振源振動時，經(jīng)過一個振動周期，波沿波線傳出一個完整的波形，所以，波的傳播周期（或頻率）=波源的振動周期（或頻率）。由此可知，波在不同的介質(zhì)中其傳播周期（或頻率）不變。波速波速：某一振動狀態(tài)在單位時間內(nèi)傳播的距離（單位時間內(nèi)波傳播的距離）?？捎?（1-2）對彈性波而言，波的傳播速度決定于介質(zhì)的慣性和彈性，具體地說，就是決定于介質(zhì)的質(zhì)量密度和彈性模量，而與波源無關(guān)。橫波在固體中傳播速度為：縱波速度為：（液、氣、固體中）對大多數(shù)金屬，式中

5、 ：固體切變彈性模量：介質(zhì)的體積彈性模量：楊氏彈性模量：介質(zhì)質(zhì)量密度說明：波動速度與質(zhì)點(diǎn)振動速度是不同的物理量。§10-2 平面簡諧波波函數(shù)一、簡諧波及波動方程1、 簡諧波：當(dāng)波源作諧振動時，介質(zhì)中各點(diǎn)也都作諧振動，此時形成的波稱為簡諧波又叫余弦波或正弦波。*一般地說，介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)振動是很復(fù)雜的，所以由此產(chǎn)生的波動也是很復(fù)雜的，但是可以證明，任何復(fù)雜的波都可以看作是由若干個簡諧波迭加而成的。因此，討論簡諧波就有著特別重要的意義。2、 簡諧波的波動方程：設(shè)任一質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)為，時刻位移為，則關(guān)系即為波動方程。二、波動方程建立如圖所示，諧振動沿+x方向傳播，與x軸垂直的平面均為同相面，任一個同

6、相面上質(zhì)點(diǎn)的振動狀態(tài)可用該平面與x軸交點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)振動狀態(tài)來描述，因此整個介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)的振動研究可簡化成只研究x軸上質(zhì)點(diǎn)的振動就行了，設(shè)原點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)振動方程為式中，為振幅，為角頻率，稱為初相。圖10-3設(shè)振動傳播過程中振幅不變（即介質(zhì)是均勻無限大，無吸收的）為了找出波動過程中任一質(zhì)點(diǎn)任意時刻的位移，我們在ox軸上任取一點(diǎn)p，坐標(biāo)為，顯然，當(dāng)振動從o處傳播到p處時，p處質(zhì)點(diǎn)將重復(fù)o處質(zhì)點(diǎn)振動。振動從o傳播到p所用時間為，所以，p點(diǎn)在時刻的位移與o點(diǎn)在時刻的位移相等，由此時刻p處質(zhì)點(diǎn)位移為 （10-3）同理，當(dāng)波沿-x方向傳播時，時刻p處質(zhì)點(diǎn)位移為 （10-4）利用 由式（10-3）、（10-4）有

7、（10-5）式（10-5）中，“-”表示波沿+x方向傳播；“+”表示波沿-x方向傳播。（為方便，下標(biāo)省略）。式（10-5）稱為平面簡諧波方程。根據(jù)位相（或）關(guān)系，式（10-5）又可化為 （10-6）注意：（1）原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動初相不一定為0；（2）波源不一定在原點(diǎn)，因?yàn)樽鴺?biāo)是任取的。三、波動方程的物理意義1、均變化時，表示波線上各個質(zhì)點(diǎn)在不同時刻的位移。為波動方程。2、時，表示處質(zhì)點(diǎn)在任意時刻位移。波動方程變成了處質(zhì)點(diǎn)振動方程。3、時，表示時刻波線上各個質(zhì)點(diǎn)位移。波動方程變成了時刻的波形方程。4、均一定，表示時刻坐標(biāo)為處質(zhì)點(diǎn)位移。例10-1：橫波在弦上傳播，波動方程為 (SI)求：（1）（2）

8、畫出時波形圖。解：（1） 此題波動方程可化為由上比較知： 另外：求可從物理意義上求（a）=同一波線上位相差為的二質(zhì)點(diǎn)間距離設(shè)二質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)為x1、x2（設(shè)x2> x1），有，得（b）=某一振動狀態(tài)在單位時間內(nèi)傳播的距離。設(shè)時刻某振動狀態(tài)在處，時刻該振動狀態(tài)傳到處，有，得（2）一種方法由波形方程來作圖（描點(diǎn)法），這樣做麻煩。此題可這樣做：畫出時波形圖，根據(jù)波傳播的距離再得出相應(yīng)時刻的波形圖（波形平移）。平移距離圖10-4§10-3波的能量波的傳播過程就是振動的傳播過程。波到哪里，哪里的介質(zhì)就要發(fā)生振動，因而具有動能；同時由于介質(zhì)元的變形，因而具有勢能，因此波傳到哪里，哪里就有機(jī)械能。

9、這些機(jī)械能來自于波源。可見，波的傳播過程即是振動的傳播過程，又是能量傳遞過程。在不傳遞介質(zhì)的情況下而傳遞能量是波動的基本性質(zhì)。一、波的能量下面以簡諧縱波在一棒中沿棒長方向傳播為例，推導(dǎo)出波的能量公式。如圖所示，取x軸沿棒長方向，設(shè)波動方程為在波動過程中，棒中每一小段將不斷地壓縮和拉伸。 圖13-7在棒上任取一體積元BC，體積，棒在平衡位置時，B、C坐標(biāo)分別為，即BC長為。設(shè)棒的橫截面積為，質(zhì)量密度為，體積元能量為動能勢能設(shè)時刻，A、B端位移分別為、，體積元伸長量為。設(shè)在體積元端面上由于形變產(chǎn)生的彈性恢復(fù)力大小為，可知，協(xié)強(qiáng)為，協(xié)變?yōu)椋蓷钍蠌椥阅Ａ慷x有：（為楊氏彈性模量）按胡克定律，在彈性限

10、度內(nèi)彈性恢復(fù)力值為由上二式有： 應(yīng)寫成，可有 可得 （10-7）討論：（1）任一時刻體積元動能與其勢能總是相等，（2）波動中體積元的能量與單一諧振動系統(tǒng)的能量有著顯著的不同。在單一諧振動的系統(tǒng)中，動能和勢能相互轉(zhuǎn)化，動能最大時，勢能最小，勢能最大時，動能最小，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。在波動情況下，任一時刻任一體積元的動能與勢能總是隨時間變化的，變化是同步的，值也相等，這說明體積元總能量不能為常數(shù)，即能量不守恒（體積元）（3）波動中體積元能量不守恒原因：每個體積元都不是獨(dú)立地做諧振動，它與相鄰的體積元間有著相互作用。因而相鄰體積元間有能量傳遞，沿著波傳播方向，某體積元從前面介質(zhì)獲得能量，又把能量傳遞給后

11、面介質(zhì)，這樣，通過體積元不斷地吸收和不斷傳遞能量，波動是能量傳遞的一種形式。波動的能量密度：單位體積內(nèi)波動能量?？芍?是的函數(shù)。平均能量密度： （10-8）二、能流密度如上所述，波的傳播過程就是能量傳播過程，因此可引進(jìn)能流和能流密度概念。1、平均能流定義：單位時間內(nèi)通過某一面積的能量稱為能流。如圖所示，設(shè)為介質(zhì)中垂直于波傳播方向的一面積，通過的能流=以為底為高的柱體內(nèi)的能量。這體積內(nèi)能量是變化的?？捎闷骄祦肀硎?。定義：單位時間內(nèi)通過某一面積的平均能量稱為平均能流。由上可知，通過的平均能流為=平均能流密度柱體體積 （10-9）式中： 為平均能量密度為波速為面積2、能流密度定義：通過垂直于波傳播

12、方向單位面積上的平均能流稱為能流密度或波的強(qiáng)度。 （10-10）3、平面波和球面波振幅（1）平面波在推導(dǎo)平面波（簡諧波）的波動方程時，假定介質(zhì)中各點(diǎn)振幅不變。現(xiàn)從能量角度來看一下振幅不變的含義。如圖所示，設(shè)垂直于波傳播方向上有兩平面、（），此二平面構(gòu)成了一柱體的二底面。設(shè)、為通過、的平均能流，有若，則 （） 圖10-9也就是說，如果振幅不變，則通過、的平均能流相等，有多少能量通過進(jìn)入柱體內(nèi)，就有多少能量通過流出此柱體，這說明了介質(zhì)不吸收能量。因此，介質(zhì)中各點(diǎn)振幅相同表明了介質(zhì)不吸收能量。（平面波情況）（2）球面波情況在球面波情況下，假設(shè)介質(zhì)不吸收能量，則振幅是否不變呢？分析如下。設(shè)在距波源o為

13、、處取二球面（如圖），面積分別為、，通過、的平均能流為介質(zhì)不吸收能量 即 可知,波動方程為 圖10-10式中：為離波源的距離。為離波源為單位距離時的振幅。例10-5：一簡諧空氣波，沿直徑為的圓柱形管傳播，波的強(qiáng)度為，頻率為，波速為。求：1）波的平均能量密度和最大能量密度；2）每兩個相鄰?fù)嗝骈g的波中含有的能量。解：（1）能量密度為 （2）題中相鄰?fù)嗝骈g波含能量為§10-4 波的疊加 一、波的疊加原理現(xiàn)在我們來討論兩個或兩個以上的波源發(fā)出的波在同一介質(zhì)中傳播情況。把兩個小石塊投在很大的靜止的水面上鄰近二點(diǎn)，可見從石頭落點(diǎn)發(fā)出二圓形波互相穿過，在他們分開之后仍然是以石塊落點(diǎn)為中心的二圓

14、形波。說明了他們各自獨(dú)立傳播。當(dāng)樂隊(duì)演奏或幾個人同時講話時，能夠辨別出每種樂器或每個人的聲音，這表明了某種樂器和某人發(fā)出的聲波，并不因?yàn)槠渌麡菲骰蚱渌送瑫r發(fā)聲而受到影響。通過這些現(xiàn)象的觀察和研究，可總結(jié)出如下的規(guī)律：幾列波在傳播空間中相遇時，各個波保持自己的特性（即頻率、波長、振動方向、振幅不變），各自按其原來傳播方向繼續(xù)傳播，互不干擾。在相遇區(qū)域內(nèi)，任一點(diǎn)的振動為各列波單獨(dú)存在時在該點(diǎn)所引起的振動的位移的矢量和。這個規(guī)律稱為波的迭加原理或波的獨(dú)立傳播原理。二、波的干涉1、波的干涉含義一般地說，頻率不同，振動方向不同的幾列波在相遇各點(diǎn)的合振動是很復(fù)雜的，迭加圖樣不穩(wěn)定?，F(xiàn)在。來討論最簡單而又

15、最重要的情況，即（1）振動方向相同（2）頻率相同（3）位相差恒定這樣兩列波迭加問題。當(dāng)兩列波在空間中某點(diǎn)相遇時，各個波在該點(diǎn)引起的振動位相是一定的（當(dāng)然在不同點(diǎn)的這個位相可能不同），因此該點(diǎn)的合振動的振幅是恒定的。由此可知，如果兩列波在空間某點(diǎn)相互加強(qiáng)（即合振幅最大），則這些點(diǎn)上始終是相互加強(qiáng)的，如果兩列波在空間中某些點(diǎn)相互減弱（即合振幅最?。?，則在這些點(diǎn)上始終是相互減弱，可見迭加圖樣是穩(wěn)定的。這種現(xiàn)象稱為波的干涉現(xiàn)象，相應(yīng)的波稱為相干波，相應(yīng)的波源稱為相干波源。（前面的（1）、（2）、（3）為相干條件）、干涉加強(qiáng)或減弱的條件設(shè)有相干波源、，其振動方程為、由波的迭加原理知，此二波在p點(diǎn)引起的合

16、振動=這兩列波單獨(dú)存在時在p點(diǎn)引起位移的代數(shù)和（在此振動方向一致）此二波頻率相同、而又在同一介質(zhì)中傳播（即波速相同），二波波長相同，設(shè)為。此二波在p 圖10-15點(diǎn)引起的振動分別為p點(diǎn)合成振動： （10-11）對同方向、同頻率振動合成，結(jié)果為其中：=在p處二振動的相位差 （很重要）討論：（1） 時，（振幅最大，即振動加強(qiáng)） 時，（振幅最小，即振動減弱）（2）（=波源初相相同）時， 時，（振動加強(qiáng)） 時，（振動減弱）；表示二波源到考察點(diǎn)路程之差，稱為波程差。由上可知，時，波程差等于半波長的偶數(shù)倍時，干涉加強(qiáng)，波程差等于半波長奇數(shù)倍時，干涉減弱。說明：干涉加強(qiáng)與減弱，不僅與波源振動初相差有關(guān)，而且也與波程差 引起的位相差有關(guān)。例10-6：A、B為同一介質(zhì)中二相干波源，其振幅均為，頻率為。A處為波峰時，B處恰為波谷。設(shè)波速為。試求p點(diǎn)干涉結(jié)果。解：p點(diǎn)干涉振幅為由題意知：（B比A位相落后） 圖10-16 即干涉靜止不同。強(qiáng)調(diào)：干涉加強(qiáng)與