第八章第一節(jié)

1、求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性第第1 1、2 2、3 3節(jié)節(jié)求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù)及和函數(shù)函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)第第4 4節(jié)節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義01,1,nnqaqq 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 收收斂斂當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 發(fā)發(fā)散散11nn 調(diào)調(diào)和和級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散兩個(gè)比較重要的級(jí)數(shù)兩個(gè)比較重要的級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的五個(gè)基本性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的五個(gè)基本性質(zhì)一、問題的提出一、問題的提出1. 1. 計(jì)算圓的面積計(jì)算圓的面積r正六邊形的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正十二邊形的面積1a21aa 正正 形的面積形的面積n23 naaa 21即即212nraaa n103100031

2、00310331. 20.3 二、級(jí)數(shù)的概念二、級(jí)數(shù)的概念1. 1. 級(jí)數(shù)的定義級(jí)數(shù)的定義: :部分和數(shù)列部分和數(shù)列 niinnuuuus121級(jí)數(shù)的級(jí)數(shù)的部分和部分和(前前n項(xiàng)部分和）項(xiàng)部分和）,11us ,212uus 331,iisu ,21nnuuus nnnuuuuu3211( (常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)) )無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)一般項(xiàng)一般項(xiàng)ns2. 2. 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散: :常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別方法：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別方法：用定義討論級(jí)數(shù)斂散性的步驟：用定義討論級(jí)數(shù)斂散性的步驟：（1）研究級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)）研究級(jí)數(shù)的一般項(xiàng) ，看看是否可以化簡(jiǎn)，看看是否可以化簡(jiǎn)nuns（2）求前）求前 項(xiàng)部

3、分和數(shù)列項(xiàng)部分和數(shù)列n（3）求）求limnns （4）若極限存在，則級(jí)數(shù)收斂，否則級(jí)數(shù)）若極限存在，則級(jí)數(shù)收斂，否則級(jí)數(shù) 發(fā)散。發(fā)散。舉例：舉例：11n 發(fā)散發(fā)散6110n 發(fā)散發(fā)散1(0)na a 發(fā)散發(fā)散11n 下面研究下面研究11nnis n limlimnnnsn 11n 發(fā)散發(fā)散解解21nnsaaqaqaq ,11,1naaqqqnaq 1,q 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)lim0,nnq limnns,11,1nnaaqqsqnaq 收斂，收斂，于是級(jí)數(shù)于是級(jí)數(shù)0nnaq 01nnaaqq lim1nnaaqq 1aq 1,q 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)limnnq不不存存在在，limlim1nnnnaaqsq 不不存

4、存在在，發(fā)散發(fā)散此時(shí)級(jí)數(shù)此時(shí)級(jí)數(shù)0nnaq 1q 如如果果時(shí)時(shí)，1,q 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)0,na 級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為nsna 發(fā)散發(fā)散此時(shí)級(jí)數(shù)此時(shí)級(jí)數(shù)0nnaq 綜上，綜上，01,1,nnqaqq 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 收收斂斂當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 發(fā)發(fā)散散1,q 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)aaaa級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)變變?yōu)闉閘imnns 不不存存在在發(fā)散發(fā)散此時(shí)級(jí)數(shù)此時(shí)級(jí)數(shù)0nnaq 01,1,nnqaqq 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 收收斂斂當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 發(fā)發(fā)散散例如：例如：112 () ,3nn 考察下列級(jí)數(shù)的斂散性考察下列級(jí)數(shù)的斂散性13( ) ,2nn 1( 0.0009)n 收收斂斂發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散解解212 3nnnu 143nn 該級(jí)數(shù)為幾何級(jí)數(shù)，該級(jí)數(shù)為幾何級(jí)數(shù)，

5、4,3q 公公比比| 1,q .原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散練練 習(xí)習(xí)43,3n解解1(1)nun n 11,1nn ns1111111(1)()()()22311nnnn1,2,n 111n 11111 22 3(1)(1)nnnnlimnns1 11,1.(1)nn n 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂1lim(1)1nn 解解1(21)(21)nunn ),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn練練 習(xí)習(xí)),1211(21 n11limlim(1)221nnnsn ,21 1,.2綜綜上上，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂 和和為為逆命題成立：逆

6、命題成立：11.nnnnuku即即級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)與與同同斂斂散散結(jié)論結(jié)論: : 收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減. .111()nnnnnnnuvuv 若若收收斂斂，發(fā)發(fā)散散，則則一一定定發(fā)發(fā)散散。111()nnnnnnnuvuv 若若，均均發(fā)發(fā)散散，斂斂散散性性不不確確定定。補(bǔ)充說明補(bǔ)充說明例例如如：1111,1nnnn 均均發(fā)發(fā)散散，111()1nnn 但但收收斂斂1121,nnnn又又均均發(fā)發(fā)散散，121()nnn 但但發(fā)發(fā)散散11nn 發(fā)發(fā)散散, ,例如例如1111,.1nnnnk則則均均發(fā)發(fā)散散注意注意收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)

7、數(shù)不一定收斂. .(11)(11)例例如如 1111 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散注意注意1.1.如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零, ,則級(jí)數(shù)發(fā)散則級(jí)數(shù)發(fā)散; ; 1)1(4332211nnn例如例如 發(fā)散發(fā)散2.2.必要條件不充分必要條件不充分. .lim0,?nnu 有有但但級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)是是否否收收斂斂111123n例例如如調(diào)調(diào)和和級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)11nn 調(diào)調(diào)和和級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)是是發(fā)發(fā)散散的的。12481(248)12(1248)從從而而得得12481 對(duì)于發(fā)散級(jí)數(shù)而言，加括號(hào)及移項(xiàng)等對(duì)于發(fā)散級(jí)數(shù)而言，加括號(hào)及移項(xiàng)等運(yùn)算是無意義的運(yùn)算是無意義的找出下面運(yùn)算中的錯(cuò)誤找出下面運(yùn)算中的錯(cuò)誤思思 考考11(

8、0)nknk 發(fā)發(fā)散散注注證明證明2211nnisi 11341111567821211n 2n 1()(121114)111842888n lim2nn 2limnns 11nn 綜綜上上，調(diào)調(diào)和和級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散。練練 習(xí)習(xí)解解1lnnnun ln(1)ln ,nn2341lnlnlnln123nnsn ln2ln1 ln3ln2ln(1)ln nn1,2,n ln(1)ln1n ln(1)n limlimln(1)nnnsn 綜綜上上, ,原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散。解解1112nnnn發(fā)發(fā)散散；發(fā)發(fā)散散；112nn 而而收收斂斂，121()2nnn 綜綜上上，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散。解解 121)

9、1(5nnnn 1)1(5nnn 121nn 111115)1(5nnnnnn11151nnkskk 令令),111(5 n練練 習(xí)習(xí)1lim5lim(1)5,1nnnsn 11,2nn 是是等等比比級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)111,22q 公公比比首首項(xiàng)項(xiàng)是是 ，112nn 151516.(1)2nnn n 故故121,112 222222222888(1)( 1);999111333(2);(3);363222111111(4)()()();23232323(5)1;2!3!nnnnnnnnnn 補(bǔ)補(bǔ)充充題題：判判斷斷下下列列級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性，并并說說明明理理由由。121111( 1)25,.nnnnnnnaaa 已已知知，求求121111( 1)25,.nnnnnnnaaa 已已知知，求求解解11( 1)2,nnna