復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1、一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、復(fù)變函數(shù)的解析性二、復(fù)變函數(shù)的解析性第八模塊第八模塊 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)第三節(jié)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與解析性第三節(jié)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與解析性 （一）（一）復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的概念復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的概念 一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)函設(shè)函數(shù)數(shù))(zfw 的某區(qū)域的某區(qū)域 d 內(nèi)有定義，內(nèi)有定義，在包含在包含0z當(dāng)變量當(dāng)變量z在點(diǎn)在點(diǎn)0z處取得增量時，相應(yīng)地，函數(shù)處取得增量時，相應(yīng)地，函數(shù))(zf取得增量取得增量)()(00zfzzfw如果極限如果極限 zwz0lim存在。存在。 處可導(dǎo)。處可導(dǎo)。 則稱則稱)(zf在點(diǎn)在點(diǎn)0z此極限值稱為此極限值稱為 在點(diǎn)在點(diǎn)0z)(

2、zf處的導(dǎo)數(shù)。處的導(dǎo)數(shù)。 記作記作 )(0zf 或或 0zzw即即 zzfzzfzwzfzz)()(limlim)(00000如果函數(shù)f（z）在區(qū)域d內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱f（z）在 d 內(nèi)可導(dǎo). .0zzdzdw或或 （一）（一）復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的概念復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的概念 一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即即 zzfzzfzwzfzz)()(limlim)(00如果函數(shù)如果函數(shù))(zfw 在區(qū)域在區(qū)域 d 內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱)(zfw 在在 d 內(nèi)可導(dǎo)。內(nèi)可導(dǎo)。函數(shù)函數(shù) )(zfw 在在 d 內(nèi)任意點(diǎn)內(nèi)任意點(diǎn)z處的導(dǎo)數(shù)記為：處的導(dǎo)數(shù)記為： 或或 ,dzdw)(zf w或

3、或 例例 1 求函數(shù)求函數(shù) 2zzf)(的導(dǎo)數(shù)。的導(dǎo)數(shù)。 z例例 2 證明證明 zw 在復(fù)平面內(nèi)處處連續(xù)，但它在復(fù)平面在復(fù)平面內(nèi)處處連續(xù)，但它在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo)。內(nèi)處處不可導(dǎo)。 （二）（二）復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則：求導(dǎo)法則：;)()( )()()(zgzfzgzf1; )()()()( )()()(zgzfzgzfzgzf2; )()()()()()()()()(032zgzgzgzfzgzfzgzf; )()()()()(zwzwfzf其其中中4是是和和其中其中)()()()()(wzzfwwzf15兩個互為反函數(shù)的單

4、值函數(shù)，且兩個互為反函數(shù)的單值函數(shù)，且 .)(0 w求導(dǎo)公式：求導(dǎo)公式：,)()(01c.)()(12nnnzz （二）（二）復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例例 3 ,)(zzzf13設(shè)設(shè).)()(iff和和求求0例例 4 ,)()(2242 zzzf設(shè)設(shè).)( if求求 （二）（二）復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例例 3 ,)(zzzf13設(shè)設(shè).)()(iff和和求求0例例 4 ,)()(2242 zzzf設(shè)設(shè).)( if求求 （二）（二）復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)

5、算法則 一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例例 3 ,)(zzzf13設(shè)設(shè).)()(iff和和求求0例例 4 ,)()(2242 zzzf設(shè)設(shè).)( if求求不僅在不僅在 z0 處可導(dǎo)，處可導(dǎo)， （一）（一）解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念 二、復(fù)變函數(shù)的解析性二、復(fù)變函數(shù)的解析性如果函數(shù)如果函數(shù))(zf不僅在不僅在 z0 處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，如果函數(shù)如果函數(shù))(zf在區(qū)域在區(qū)域d內(nèi)的每一點(diǎn)內(nèi)的每一點(diǎn) 處都解析，處都解析，區(qū)域區(qū)域d稱為稱為)(zf的的解析區(qū)域解析區(qū)域。如果函數(shù)如果函數(shù))(zf在在 z0 處不解析，處不解析，)(zf則稱則稱 z0 為為的的奇點(diǎn)奇點(diǎn)。但在但在 z0 的任意鄰域內(nèi)總的任

6、意鄰域內(nèi)總存在解析點(diǎn)，存在解析點(diǎn)，內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，而且在而且在 z0 的某鄰域的某鄰域)(zf在在 z0 處處解析解析。)(zf稱稱 z0 為為的的解析點(diǎn)解析點(diǎn)。則稱則稱在在區(qū)域區(qū)域d內(nèi)解析內(nèi)解析。)(zf則稱則稱 （二）（二）函數(shù)解析性與可導(dǎo)性的關(guān)系函數(shù)解析性與可導(dǎo)性的關(guān)系 函數(shù)在區(qū)域函數(shù)在區(qū)域d內(nèi)解析內(nèi)解析在在 z0 處解析處解析)(zf函數(shù)函數(shù)函數(shù)在區(qū)域函數(shù)在區(qū)域d內(nèi)可導(dǎo)。內(nèi)可導(dǎo)。在在 z0 處可導(dǎo)。處可導(dǎo)。)(zf函數(shù)函數(shù)在在 z0 處可導(dǎo)處可導(dǎo),)(zf函數(shù)函數(shù)在在 z0 處不一定解析。處不一定解析。)(zf則則 （三）（三）解析函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解析函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

7、（1） 若函數(shù)若函數(shù)在在 z0 處解析處解析,)(zf與與)(zg則則)()()(,)()(,)()(0zgzgzfzgzfzgzf在在 z0 處解析。處解析。（2） 若函數(shù)若函數(shù)在在 區(qū)域區(qū)域g內(nèi)解析內(nèi)解析,)(hfw 而而,)(gd )(zh在在 區(qū)域區(qū)域d內(nèi)解析內(nèi)解析, 且且則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) )(zfw在在 區(qū)域區(qū)域d內(nèi)解析內(nèi)解析,.)()()(zdzdhdhfdzdzfd且且（3） 所有多項(xiàng)式函數(shù)在全復(fù)平面內(nèi)處處解析。所有多項(xiàng)式函數(shù)在全復(fù)平面內(nèi)處處解析。任意分式有理函數(shù)任意分式有理函數(shù)在不含分母為在不含分母為0的點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)解析。的點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)解析。)()(zqzp （四）（四）解析函

8、數(shù)的判定解析函數(shù)的判定 在在 區(qū)域區(qū)域d內(nèi)有定義內(nèi)有定義,設(shè)設(shè)),(),()(yxviyxuzfyixz是是d內(nèi)任意一點(diǎn)，內(nèi)任意一點(diǎn)，在點(diǎn)在點(diǎn) z 處可導(dǎo)的充要條件是：處可導(dǎo)的充要條件是：)(zf則則;),(),(),()(處處可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)yxyxv、yxu1.,:)(xvyuyvxu 黎黎曼曼條條件件滿滿足足柯柯西西2.)(:)(yuiyvxvixuzfzf的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為且且 1. 函數(shù)可導(dǎo)性的判別函數(shù)可導(dǎo)性的判別 2. 函數(shù)解析性的判別函數(shù)解析性的判別在在 區(qū)域區(qū)域d內(nèi)解析的充要條件是內(nèi)解析的充要條件是:函數(shù)函數(shù)),(),()(yxviyxuzf。dyxv、yxu黎黎曼曼條條件件且且滿滿足足柯柯西西內(nèi)內(nèi)處處可可微微在在,),(),(二、復(fù)變函數(shù)的解析性二、復(fù)變函數(shù)的解析性例例 5 ,)()(zzf1例例 6 。yixzf的的可可導(dǎo)導(dǎo)性性和和解解析析性性討討