高三專(zhuān)題復(fù)習(xí)：直線(xiàn)與圓知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典例題

1、名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問(wèn)點(diǎn)專(zhuān)題：圓的方程、直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系【學(xué)問(wèn)要點(diǎn)】圓的定義： 平面內(nèi)與肯定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為圓2（一）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形如：xa 2 yb 2r這個(gè)方程叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；王新敞說(shuō)明： 1、如圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)上，這時(shí)ab0 ，就圓的方程就是x2y2r 2 ；2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)基本要素：圓心坐標(biāo)和半徑；圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小，從而確定了圓，所以，只要a,b,r 三個(gè)量確定了且r 0，圓的方程就給定了；就是說(shuō)要確定圓的方程，必需具備三個(gè)獨(dú)立的條件王新敞確定 a,b,r，可以依據(jù)3 個(gè)條件，利用待定系數(shù)法 來(lái)解決；（二）圓的一般方程將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程xa2 yb 2r 2

2、 ,綻開(kāi)可得x2y22ax2bya 2b 2r 20 ；可見(jiàn)，任何一個(gè)圓的方程都可以寫(xiě)成: x2y 2dxeyf0 ；問(wèn)題： 形如 x2y2dxeyf0 的方程的曲線(xiàn)是不是圓？ded 2e 24 f將方程 x2y 2dxeyf0 左邊配方得：x2 y2 2222（ 1）當(dāng) d 22心，以de 24 fe 24f20 時(shí)，方程（ 1）與標(biāo)準(zhǔn)方程比較，方程 x2為半徑的圓；y 2dxeyf0 表示以 d ,e 為圓22（ 2）當(dāng) d 2e 24 f0 時(shí)，方程 x22ydxeyf0 只有實(shí)數(shù)解，解為xd , y 2e,所以表示一個(gè)2de點(diǎn) , .22（ 3）當(dāng) d 2e 24 f0 時(shí)，方程 x2

3、y 2dxeyf0 沒(méi)有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形；圓的一般方程的定義：當(dāng)d 2e 24f0 時(shí)，方程 x 2y2dxeyf0 稱(chēng)為圓的一般方程.圓的一般方程的特點(diǎn)： （ i ）x2和y2 的系數(shù)相同，不等于零；（ ii ）沒(méi)有 xy 這樣的二次項(xiàng)；（三）直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系1、直線(xiàn)與圓位置關(guān)系的種類(lèi)（ 1）相離 - 求距離；2相切 - 求切線(xiàn)；（ 3）相交 - 求焦點(diǎn)弦長(zhǎng)；2、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系判定方法：幾何方法主要步驟：（ 1）把直線(xiàn)方程化為一般式，利用圓的方程求出圓心和半徑（ 2）利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求圓心到直線(xiàn)的距離（ 3）作判定 : 當(dāng) d>r 時(shí)，直線(xiàn)與圓相離；當(dāng)d r 時(shí)

4、，直線(xiàn)與圓相切;當(dāng) d<r 時(shí)，直線(xiàn)與圓相交；代數(shù)方法主要步驟：（ 1）把直線(xiàn)方程與圓的方程聯(lián)立成方程組（ 2）利用消元法，得到關(guān)于另一個(gè)元的一元二次方程（ 3）求出其的值，比較與 0 的大?。好麕熆偨Y(jié)優(yōu)秀學(xué)問(wèn)點(diǎn)（ 4）當(dāng) <0時(shí)，直線(xiàn)與圓相離；當(dāng)0 時(shí)，直線(xiàn)與圓相切；當(dāng) >0時(shí)，直線(xiàn)與圓相交；圓的切線(xiàn)方程總結(jié)：當(dāng)點(diǎn) x0, y0 在圓 x2y2r 2 上時(shí)，切線(xiàn)方程為：x0 xy0 yr 2 ；當(dāng)點(diǎn) x0, y0 在圓 xa 2 yb2r 2 上時(shí)，切線(xiàn)方程為：x0a xa) y0b ybr 2 ；【典型例題】類(lèi)型一：圓的方程例 1 求過(guò)兩點(diǎn)a1 , 4 、 b 3 ,2

5、且圓心在直線(xiàn)y0 上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判定點(diǎn)p 2 , 4 與圓的關(guān)系變式 1：求過(guò)兩點(diǎn)a1 , 4 、b3 , 2 且被直線(xiàn)y0 平分的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.變式 2：求過(guò)兩點(diǎn)a1 , 4 、b3 , 2 且圓上全部的點(diǎn)均關(guān)于直線(xiàn)y0 對(duì)稱(chēng)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.分析： 欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小，而要判定點(diǎn)p 與圓的位置關(guān)系，只須看點(diǎn)p 與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，如距離大于半徑，就點(diǎn)在圓外；如距離等于半徑，就點(diǎn)在圓上；如距離小于半徑，就點(diǎn)在圓內(nèi)解法一：（待定系數(shù)法 ）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 xa 2 yb2r 2 圓心在y0 上，故 b0 圓的方程為 xa 2y2r 2 又該圓過(guò)a1

6、 , 4 、 b3 ,2) 兩點(diǎn)221a 16r解之得： a21 ， r20 所以所求圓的方程為 x12y2320 a) 24r 2解法二：（直接求出圓心坐標(biāo)和半徑）由于圓過(guò)a1 ,4 、 b 3 , 2 兩點(diǎn)， 所以圓心 c 必在線(xiàn)段ab 的垂直平分線(xiàn)l 上， 又由于42k ab131 ，故 l的斜率為1，又 ab 的中點(diǎn)為 2 , 3 ，故 ab 的垂直平分線(xiàn)l 的方程為：y3x2 即 xy10 又知圓心在直線(xiàn)y0 上，故圓心坐標(biāo)為c 1 , 0 半徑 rac11 24220 故所求圓的方程為 x12y220 又點(diǎn)p 2 ,4 到圓心 c 1 , 0 的距離為dpc 2124225r點(diǎn) p

7、 在圓外例 2： 求過(guò)三點(diǎn) o（ 0， 0）， m （ 1， 1）， n（ 4， 2）的圓的方程，并求出這個(gè)圓的圓心和半徑；解： 設(shè)圓的方程為：x 2 y2 dx ey f 0，將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程f0def204d2ef200名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問(wèn)點(diǎn)f 0， d 8， e 6圓方程為： x 2 y28x 6y 0配方：（ x4 ） 2 （ y 3）2 25圓心：（ 4，3 ）， 半徑 r 5例 3： 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)a0 , 5 ，且與直線(xiàn)x2 y0 和 2 xy0 都相切的圓的方程分析： 欲確定圓的方程需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過(guò)定點(diǎn)a ，故只需確定圓心坐標(biāo)又圓與兩已知直線(xiàn)相切，故圓心必在它們的

8、交角的平分線(xiàn)上解： 圓和直線(xiàn)x2 y0 與 2xy0 相切，圓心c 在這兩條直線(xiàn)的交角平分線(xiàn)上，又圓心到兩直線(xiàn)x 2 y0 和 2 xy 0 的距離相等x2 y5x2 y5兩直線(xiàn)交角的平分線(xiàn)方程是x 3 y0 或 3 xy 0 又圓過(guò)點(diǎn)a0 , 5 ，圓心 c 只能在直線(xiàn)3xy0 上設(shè)圓心c t , 3t c 到直線(xiàn) 2xy0 的距離等于ac ， 2t3t5t 23t5 2 化簡(jiǎn)整理得t 26t50 解得： t1或 t5 圓心是1 , 3 ，半徑為5 或圓心是5 , 15 ，半徑為 55 所求圓的方程為 x12 y325 或 x5 2 y152125 說(shuō)明： 此題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在已知

9、兩直線(xiàn)的交角平分線(xiàn)上，從而確定圓心坐標(biāo)得到圓的方程，這是過(guò)定點(diǎn)且與兩已知直線(xiàn)相切的圓的方程的常規(guī)求法類(lèi)型二：切線(xiàn)方程、切點(diǎn)弦方程、公共弦方程例 4、 已知圓o： x 2y24 ，求過(guò)點(diǎn)p 2，4與圓 o 相切的切線(xiàn)解： 點(diǎn)p 2，4不在圓 o 上，切線(xiàn)pt 的直線(xiàn)方程可設(shè)為yk x242k433依據(jù) dr 2 .解得 k所以 yx24即 3x4 y1001k 24 ，4，由于過(guò)圓外一點(diǎn)作圓得切線(xiàn)應(yīng)當(dāng)有兩條，可見(jiàn)另一條直線(xiàn)的斜率不存在易求另一條切線(xiàn)為x2 說(shuō)明： 上述解題過(guò)程簡(jiǎn)單漏解斜率不存在的情形，要留意補(bǔ)回漏掉的解此題仍有其他解法，例如把所設(shè)的切線(xiàn)方程代入圓方程，用判別式等于0 解決（也要留

10、意漏解） 仍可以運(yùn)用x0 xy0 yr 2 ，求出切點(diǎn)坐標(biāo)x0 、y0 的值來(lái)解決，此時(shí)沒(méi)有漏解例 5、自點(diǎn) a-3,3 發(fā)出的光線(xiàn)l 射到 x 軸上，被 x 軸反射， 其反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)與圓x2y24 x4 y70 相切，求光線(xiàn)所在直線(xiàn)方程；1例 6、 兩圓c ： x22yd1xe1 yf10 與 c ： x222y2d xe2 yf20 相交于 a 、 b 兩點(diǎn)，求它們的名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問(wèn)點(diǎn)公共弦 ab 所在直線(xiàn)的方程分析： 第一求 a 、 b 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式求直線(xiàn)ab 的方程，但是求兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)的過(guò)程太繁為了防止求交點(diǎn)，可以采納“設(shè)而不求 ”的技巧解： 設(shè)兩圓c1 、 c2 的任一

11、交點(diǎn)坐標(biāo)為 x0 ,y0 ，就有：22x0y022x0y0d1x0 d2 x0e1 y0 e2 y0f10f20得： d1d 2 x0e1e 2 y0f1f20 a 、 b 的坐標(biāo)滿(mǎn)意方程d1d2 x e1e2 yf1f20 方程 d1d2 xe1e2 yf1f20 是過(guò) a 、 b 兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程又過(guò)a 、 b 兩點(diǎn)的直線(xiàn)是唯獨(dú)的兩圓c1 、 c2 的公共弦ab 所在直線(xiàn)的方程為d1d2 x e1e2 yf1f20 1說(shuō)明： 上述解法中，奇妙地躲開(kāi)了求a 、 b 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，雖然設(shè)出了它們的坐標(biāo)，但并沒(méi)有去求它，而是利用 曲線(xiàn)與方程的概念達(dá)到了目標(biāo)從解題的角度上說(shuō)，這是一種“設(shè)而不求 ”的技

12、巧，從學(xué)問(wèn)內(nèi)容的角度上說(shuō)，仍表達(dá)了對(duì)曲線(xiàn)與方程的關(guān)系的深刻懂得以及對(duì)直線(xiàn)方程是一次方程的本質(zhì)熟悉它的應(yīng)用很廣泛例 7、 求過(guò)點(diǎn)m 3,1 ，且與圓 x22y4 相切的直線(xiàn)l 的方程 解： 設(shè)切線(xiàn)方程為y1k x3 ，即kxy3k10，圓心 1,0 到切線(xiàn) l 的距離等于半徑2 ， | k3k1|2 ，解得 k3， 切線(xiàn)方程為y13 x3 ，即 3 x4 y130 ，k 21 244當(dāng)過(guò)點(diǎn) m 的直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，其方程為x 3，圓心 1,0 到此直線(xiàn)的距離等于半徑2 ，故直線(xiàn) x3 也適合題意；所以，所求的直線(xiàn)l 的方程是 3x4 y130 或 x3補(bǔ)充： 圓 x2y2dxeyf0 的切點(diǎn)弦

13、方程：類(lèi)型三：弦長(zhǎng)、弧問(wèn)題例 8、 求直線(xiàn) l: 3xy60 被圓 c: x 2y 22 x4 y0 截得的弦 ab 的長(zhǎng) .例 9、 直線(xiàn)3xy 230截圓x2y 2名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問(wèn)點(diǎn)4 得的劣弧所對(duì)的圓心角為解： 依題意得，弦心距d3 ，故弦長(zhǎng)ab2r 2d 22 ，從而 oab 是等邊三角形，故截得的劣弧所對(duì)的圓心角為aob.3例 10、圓 c： x1 2 y2225 ，直線(xiàn)（ 2m1） xm1 y7m40 mr ，（）證明：不論m 取何值時(shí)，l 與 c 恒有兩個(gè)交點(diǎn)；（）求最短弦長(zhǎng)所在直線(xiàn)方程；分析： 此題最關(guān)鍵的是直線(xiàn)交點(diǎn)系方程的轉(zhuǎn)化，挖掘出直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)；再探究定點(diǎn)在圓內(nèi)，下一步只需

14、要去探究點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大時(shí)，直線(xiàn)方程是什么；類(lèi)型四：直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系例 11、已知直線(xiàn)3xy230 和圓x 2y 24 ，判定此直線(xiàn)與已知圓的位置關(guān)系.例 12、如直線(xiàn) yxm 與曲線(xiàn) y4x2有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m 的取值范疇 .解： 曲線(xiàn)y4x 2表示半圓x 2y 24 y0 ，利用數(shù)形結(jié)合法，可得實(shí)數(shù)m 的取值范疇是2m2 或 m22 .例 13、圓 x3 2 y3 29 上到直線(xiàn) 3x4 y110 的距離為1 的點(diǎn)有幾個(gè)？分析： 借助圖形直觀(guān)求解或先求出直線(xiàn)l1 、 l 2 的方程，從代數(shù)運(yùn)算中查找解答解法一： 圓 x32 y329 的圓心為o1 3 , 3 ，半徑 r3 設(shè)

15、圓心o1 到直線(xiàn) 3 x4 y110 的距離為 d ，就 d334323114223 如圖，在圓心 o1同側(cè)，與直線(xiàn)3 x4 y110 平行且距離為1 的直線(xiàn)l1 與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)符合題意 又 rd321與直線(xiàn) 3 x4 y110 平行的圓的切線(xiàn)的兩個(gè)切點(diǎn)中有一個(gè)切點(diǎn)也符合題意符合題意的點(diǎn)共有3 個(gè)解法二： 符合題意的點(diǎn)是平行于直線(xiàn)3x4 y110 ，且與之距離為1 的直線(xiàn)和圓的交點(diǎn)設(shè)所求直線(xiàn)為3x4 ym0 ，就 dm1132421， m115 ，即 m6 ，或 m16 ，也即l1：3 x4 y60 ，或l ：3x4 y160 設(shè)圓 o ： x32 y3 29 的圓心到直線(xiàn)l 、

16、l的距離為 d 、 d ，211212名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問(wèn)點(diǎn)就 ， d233432316142 l1 與 o1 相切，與圓o1 有一個(gè)公共點(diǎn)；l2 與圓 o1 相交，與圓o1 有兩個(gè)公共點(diǎn)即符合題意的點(diǎn)共3 個(gè)類(lèi)型五：圓中的最值問(wèn)題例 14、圓 x2y 24 x4 y100 上的點(diǎn)到直線(xiàn)xy140 的最大距離與最小距離的差是解：圓 x2 2 y2 218 的圓心為 （2，2），半徑 r32 ，圓心到直線(xiàn)的距離d1052r ，2直線(xiàn)與圓相離，圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離與最小距離的差是dr dr 2r62 .例 15、1已知圓o1： x3 2 y421 ， px ,y 為圓 o

17、 上的動(dòng)點(diǎn)，求d22xy的最大、最小值2已知圓值o2： x2 2y21 ， p x ,y 為圓上任一點(diǎn)求y2 的最大、最小值，求x1x2 y的最大、最小分析： 1、 2兩小題都涉及到圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決此題類(lèi)比于2021 年高考理科全國(guó)二卷12 題，這類(lèi)型題目的處理方法就是通過(guò)幾何意義用線(xiàn)性規(guī)劃的思路來(lái)處理，或者用圓的參數(shù)方程，分別把 x,y 表示出來(lái)，通過(guò)討論三角函數(shù)的最值討論；'解： 1圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值d 1 等于圓心到原點(diǎn)的距離'd 1 加上半徑1，圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值d 2 等于圓心到原點(diǎn)的距離d 1 減去半徑1所以 d1324216 d2324214 所以 d max36 dmin16 y22設(shè)x1k ，就 kxyk20 由于p x ,y 是圓上點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)與圓有交點(diǎn)時(shí)，如下列圖，兩條切線(xiàn)的斜率分別是最大、最小值2kk233y233由 d1k21，得k所以4x的最大值為，14最小值為33 令4x2 yt ，同理兩條切線(xiàn)在x 軸上的截距分別是最大、最小值由d2m1 ，得 m255 所以x2 y的最大值為25 ，最小值為25 例 16、已知 a2,0 ，