2022年七年級數(shù)學(xué)下冊《軸對稱圖形典型例題》

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載軸對稱圖形典型例題例 1如下圖，已知， pb ab， pc ac，且 pb pc，d 是 ap 上一點(diǎn) 求證： bdp cdp 證明：pb ab，pc ac，且 pb pc， pab pac（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角平分線上）， apb pab 90°， apc pac 90°， apb apc， 在 pdb 和 pdc 中，pbpc，apbapc，pdpd . pdb pdc （ sas）， bdp cdp （圖形具有明顯的軸對稱性，可以通過利用軸對稱的性質(zhì)而不用三角形的全等）注利用角平分線定理的逆定理，可以通過距離相等直接得到角相等，而不用再證明

2、兩個三角形全等例 2已知如下圖（ 1），在四邊形abcd 中， bcba， ad cd ， bd 平分 abc求證：a c 180°（1）證法一：過 d 作 de ab 交 ba 的延長線于 e，df bc 于 f，bd 平分 abc，de df ， 在 rt ead 和 rt fcd 中，addc，dedf .（角平分線是常見的對稱軸，因此可以用軸對稱的性質(zhì)或全等三角形的性質(zhì)來證明）rt ead rt fcd （ hl ）， c ead ， ead bad 180°， a c180°證法二：如下圖（ 2），在 bc 上截取 be ab，連結(jié) de ，證明 abd

3、 ebd 可得（2）證法三：如下圖（ 3），延長 ba 到 e，使 be bc，連結(jié) ed，以下同證法二（3）注此題考察一個角平分線上的任意一點(diǎn)到角的兩邊距離相等的定理來證明線段相等，關(guān)鍵是把握遇到角的平分線的幫助線的不同的添加方法例 3已知，如下圖， ad 為 abc 的中線，且 de 平分 bda 交 ab 于 e，df 平分 adc交 ac 于 f求證： be cf ef證法一：在 da 截取 dn db ，連結(jié) ne、nf ，就 dn dc ，在 bde 和 nde 中，bdnd ，bdende ，dede.（遇到角平分線可以考慮利用軸對稱的性質(zhì)或全等三角形的性質(zhì)來解題） bde nd

4、e （ sas），be ne（全等三角形對應(yīng)邊相等） ， 同理可證：cf nf，在 efn 中， en fn ef（三角形兩邊之和大于第三邊） ，be cf >ef證法二：延長ed 至 m，使 dm ed ，連結(jié) cm 、mf ， 在 bde 和 cdm 中，bdcd，bdecdm ，dedm .（從另一個角度作幫助線） bde nde （ sas），cm be （全等三角形對應(yīng)邊相等） ， 又 bde= a de， adf cdf ，而 bde ade adf cdf 180°， ade+ adf 90°， 即 edf 90°， fdm edf 90

5、76;， 在 edf 和 mdf 中，edmd ，edfmdf ，dfdf . edf mdf （ sas），ef mf （全等三角形對應(yīng)邊相等） ， 在 cmf 中，cf cm >ef，be cf >ef注此題綜合考察角平分線、中線的意義，關(guān)鍵是如何使題中的分散的條件集中例 4已知，如下圖， p、q 是 abc 邊 bc 上的兩點(diǎn)，且bp pq qc ap aq求： bac 的度數(shù)解：ap pqaq（已知）， apq aqp paq 60°（等邊三角形三個角都是60°），ap bp（已知），（留意觀看圖形和條件） pba pab（等邊對等角） ， apq pb

6、a pab 60°（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和）， pba pab 30°，同理 qac 30°， bac bap paq qac 30° 60° 30° 120°注此題考察等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是把握求角的步驟：（1）利用等邊對等角得到相等的角； （ 2）利用三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和得各角之間的關(guān)系；（ 3）利用三角形內(nèi)角和定理列方程例 5已知，如下圖，在 abc 中， ab ac， e 是 ab 的中點(diǎn)，以點(diǎn) e 為圓心， eb 為半徑畫弧，交 bc 于點(diǎn) d，連結(jié) ed ，

7、并延長 ed 到點(diǎn) f，使 df de，連結(jié) fc 求證： f a證明：ab ac， b acb（等邊對等角） ，eb ed ， b edb ， acb edb （等量代換） ，ed ac（同位角相等，兩直線平行） ， 在 bde 和 aed 中， be ae=ed ，連結(jié) ad 可得， ead eda ， ebd edb ，eda edb 90°，即 ad bc， eda edb 90°，即 ad bc，（用什么定理判定三角形全等的？）d 為 bc 的中點(diǎn)， bde cdf ， bed f，而 bed a， f a例 6已知，如下圖， abc 中， ab ac， e 在

8、ca 的延長線上， aef afe 求證： ef bc證法一：作 bc 邊上的高 ad， d 為垂足，ab ac， ad bc， bad cad（等腰三角形三線合一） ，又 bac e afe， aef afe， cad e，ad ef，ad bc，ef bc證法二：過 a 作 agef 于 g， aef afe， ag ag， age agf 90°， age agf（ asa ），ab ac， b c，又 eaf b c，（請對比多種證法的優(yōu)劣） eag gaf b c， eag c，ag bc，ag ef，ef bc證法三：過 e 作 ehbc 交 ba 的延長線于 h，ab

9、ac， b c， h b c aeh ， aef afe， h afe feh 180°， h aeh aef afe 180°， aef aeh 90°，即 feh 90°，ef eh ，又 eh bc，ef bc證法四：延長ef 交 bc 于 k，ab ac， b c，1 b 2（ 180°bac）， aef afe，1 afe 2 （ 180°eaf ）， bfk afe，1 bfk 2 （ 180°eaf ），11 b bfk 2 （ 180°bac） 2（ 180°eaf ）1 2 360

10、76;（eaf bac ） ， eaf bac 180°， b bfk 90°，即fkb 90°，ef bc注此題考察等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是通過添加幫助線，建立ef 與 bc 的聯(lián)系，認(rèn)真體會以上各種不同的添加幫助線的方法例 7如下圖， ab ac， db dc ， p 是 ad 上一點(diǎn) 求證： abp acp證明：連結(jié) bc，ab ac（已知）， abc acb（等邊對等角） ， 又點(diǎn) a、d 在線段 bc 的垂直平分線上（與線段兩個端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上），而兩點(diǎn)確定一條直線，ad 就是線段 bc 的垂直平分線，pb pc（線段

11、垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等）， pbc pcb（等邊對等角） ，（線段垂直平分線的性質(zhì)） abc pbc acb pcb（等式性質(zhì)） ， 即 abp acp注此題如用三角形全等， 至少需要證兩次， 現(xiàn)用線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，就顯得比較簡潔例 8如下圖， ab ac，de 垂直平分 ab 交 ab 于 d，交 ac 于 e，如 abc 的周長為 28， bc 8，求 bce 的周長解：等腰 abc 的周長 28， bc 8，2ac bc 28，ac 10，（理由是什么？）de 垂直平分 ab，ae be， bce 的周長 beec bcae ec bcac bc 10 8 1

12、8注此題考察線段垂直平分線的性質(zhì)定理的運(yùn)用，關(guān)鍵是運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)得到線段的等量關(guān)系例 9已知，如下圖，abc 中， abac ， bac 120°， ef 為 ab 的垂直平分線， ef1bffc交 bc 于 f，交 ab 于 e，求證：2證法一：連結(jié)af，就 af bf， b fab（等邊對等角） ，ab ac， b c（等邊對等角） ， bac120°，180 b c fab 30°，bac230（三角形內(nèi)角和定理） ， fac bac fab 120° 30° 90°，又 c 30°，（線段的垂直平分線是常見

13、的對稱軸之一）1affc2（直角三角形中 30°角所對的直角邊等于斜邊的一半），bf1 fc2證法二：連結(jié)af，過 a 作 ag ef 交 fc 于 g，ef 為 ab 的垂直平分線，af bf，又 b 30°， afg 60°，bag 90°， agb 60°， afg 為等邊三角形， 又 c 30°，gac 30°，ag gc ，（構(gòu)造等邊三角形是證明線段相等的一種好方法）bf fg gc1 fc2例 10已知，如下圖， ab bc，cd bc， amb 75°， dmc 45°， am md 求證：

14、 ab bc思路分析從結(jié)論分析，要證 ab bc，可連結(jié) ac，使 bc 與 ab 能落在一個三角形內(nèi)，再看bac 與bca 能否相等？證明：連結(jié) ac，交 dm 于 h， amb 75°， dmc 45°（已知）， amd 60°（平角定義） 又am md ， amd 為等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形） ，am ad （等邊三角形三邊相等） ，cd bc， dcm 90°， dmc 45°， mdc 45°（三角形內(nèi)角和定理） ，cd cm （等角對等邊） ，ac 是 dm 的垂直平分線（和線段兩端點(diǎn)

15、等距離的點(diǎn)，在線段的垂直平分線上）， mhc 90°， hcm 45°， b 90°， bac 45°，ab bc（等角對等邊） 【典型熱點(diǎn)考題】例 1如圖 715，等腰 abc的對稱軸與底邊 bc相交于點(diǎn) d，請回答以下問題：(1) ad 是哪個角的平分線；(2) ad 是哪條線段的垂直平分線；(3) 有哪幾條相等的邊；(4) 有哪幾對相等的角點(diǎn)悟：此題主要考查等腰三角形的全部特點(diǎn)所以應(yīng)當(dāng)依據(jù)等腰三角形是軸對稱圖形的性質(zhì)來解答問題解：等腰三角形是軸對稱圖形，直線ad是它的對稱軸 1ad 是頂角 bac的平分線2ad 是線段 bc的垂直平分線 3ab a

16、c， bd dc4 badcad，abcacb，adbadc例 2如圖 716，已知 pbab，pcac，且 pbpc， d 是 ap上一點(diǎn)求證： bdpcdp點(diǎn)悟： 利用三角形全等證明兩個角相等最直觀，但由于圖形具有明顯的軸對稱性，可以通過利用軸對稱的性質(zhì)而不用三角形全等同樣可以，證明： pb ab， pcac，且 pb pc， pabpac到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上 apbpab90°，apcpac 90°， apbapc 在pdb和pdc中，pbpcapbapcpdpd pdbpdcsas bdpcdp例 3如圖 717，先找出以下各圖形中的軸對稱圖形，再

17、畫出它們的對稱軸 有幾條，畫幾條 點(diǎn)悟：先確定是否是軸對稱圖形，假如是軸對稱圖形，就將它們的對稱軸全部畫出來 解： 1 是，它有 3 條對稱軸(2) 是，它有 2 條對稱軸(3) 是，它有 2 條對稱軸(4) 是，它只有一條對稱軸(5) 它不是軸對稱圖形，故沒有對稱軸(6) 它是軸對稱圖形，有一條對稱軸圖均略例 4如圖 718， abc中， ab ac，d在 bc上，且 bd ad，dc ac，將圖中的等腰三角形全部寫出來，并求出 b 的度數(shù)點(diǎn)悟：圖中共有三個等腰三角形，要將它們一一寫出來，不能遺漏在運(yùn)算b 的度數(shù)時， 要充分利用三角形的一個外角等于它的兩個不相鄰的兩個內(nèi)角的和解：圖中共有三個

18、等腰三角形，它們分別是：abc， abd，cad設(shè)bx，就c xbad，adcdac 2x bcbacbcbaddacx x x 2x 5x 180°180bx365例 5如圖 719，在金水河的同一側(cè)居住兩個村莊a、 b要從河邊同一點(diǎn)修兩條水渠到a、b 兩村澆灌蔬菜，問抽水站應(yīng)修在金水河mn何處兩條水渠最短 .點(diǎn)悟： 先將詳細(xì)問題抽象成數(shù)學(xué)模型河流為直線mn，在直線 mn的同一側(cè)有 a、b 兩點(diǎn) 在直線 mn上找一點(diǎn) p，使 p 點(diǎn)到 a、b 兩點(diǎn)的距離之和為最小這里就要充分運(yùn)用軸對稱圖形的性質(zhì)加以解決解：如圖 719 所示作 b 點(diǎn)關(guān)于直線 mn的對稱點(diǎn) b，連結(jié) ab，與 mn

19、相交于 p，就 p 點(diǎn)即為所求事實(shí)上，假如不是p 點(diǎn)而是 p 點(diǎn)時，就連結(jié)ap、p b和 p b 由軸對稱性知道，p bp b , pbpb ，所以 p 到 a、b 的距離之和，app bapp b ，而 p 到 a、b 的距離之和 appbappbab在ab p' 中，三角形兩邊之和大于第三邊，app bab所以 p 點(diǎn)即為所求的點(diǎn)例 6如圖 720，已知， ad為 abc的中線，且 de平分bda交 ab 于 e，df平分adc交 ac于 f求證： becf ef點(diǎn)悟：遇到角平分線就可以考慮利用軸對稱的性質(zhì)或全等三角形的性質(zhì)來解決問題 證法一：在 da上截取 dn db連結(jié) ne、nf就 dn dc在bde和nde中，bdnd ,bdende ,dede , bdende be ne同理可得， cf nf在efn中， enfn ef三角形兩邊之和大于第三邊 be cf ef證法二：如圖721，延長 de至 m，使 dm ed，連結(jié) cm、mf在bde和cdm中，bdcd ,bdecdm ,d