二重積分的計(jì)算法80863

1、第二節(jié) 二重積分的計(jì)算法,df x y d一一 利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 利用幾何意義計(jì)算二重積分（求曲頂柱體的體積）。利用幾何意義計(jì)算二重積分（求曲頂柱體的體積）。ddxdy面積元素面積元素xy積分區(qū)域積分區(qū)域bax0 12yxdyxybax0 xydxy21y 12:,dxyxaxbx-型區(qū)域1( )xy2( )xyyxoddccd1( )xy2( )xyxoyd 12:,dyxycydy-型區(qū)域bax0 12yxdyxycd1( )xy2( )xyxoydcd1( )xy2( )xyxoyd1( )xy2( )xyyxoddc1( )xy2( )xyyxoddc(

2、 , )zf x y2( )yx1( )yxxyzab0 x0()a xo21( )( )( , )( , )bxaxdf x y dxdydxf x y dy 12,xyxaxb設(shè)d（x型）：201000,xxa xf xy dy00,:xa ba x取，則有曲邊梯形積分后先對xy 210,babxaxxxva x dxf x y dy dx 將 換成 ，得利用平行截面面積已知利用平行截面面積已知,求立體體積的方法求立體體積的方法: 若d為（y型）： 12,yxycyd21( )( )( , )( , )dycydf x y dxdydyf x y dx則積分后先對yx求二重積分的方法：求二

3、重積分的方法： 將二重積分化為兩個(gè)定積分（二次積分）來計(jì)算將二重積分化為兩個(gè)定積分（二次積分）來計(jì)算21( )( )( , )( , )()bxaxdf x y dxdydxf x y dyyx則先 后 積分 12,xyxaxb若d（x型）： 若d不是x型（或y型），則將d分為幾個(gè)區(qū)域，使它們?yōu)閤型（或y型），幾個(gè)區(qū)域上的積分之和就是所給二重積分的值。1212,dddf x y df x y df x y dddd1d2d 例例1 計(jì)算 ，其中d是由直線y=1,x=2,及y=x所圍區(qū)域。dxyd解法解法 1 把d看成x型域，則21123221114221()2229848xdxxydxydy

4、dxyxxxdxdxxx dxyoyx1y x12:1,12,dyxx解法 2 把d看成y型域，則221222132142212(2)2988yyxydx dyxydyyydyyy dxyddoyx12y2x xy例例2 計(jì)算 ，其中d是由拋物線 及直線 所圍成的區(qū)域 。dxyd2=yx解解 把d看作y型域y122xy2xyd2yx2:2, 12,d yxyy (4,2)yox(1, 1)則dxyd22222221122514632212(2)1422436558yyyyxxydx dyydyy yydyyyyy2221yydyxydx把d看作x型域 由于在0，1和1，4上下邊界的表達(dá)式不同，

5、所以要用直線x=1將d分成兩個(gè)區(qū)域 和 2d1d2:2,dxyx14x01x1:,dxyxyox12ddx1(1, 1)(4,2)yx yx42yxx14012xxxxxydy dxxydy dx dxyd12ddxydxyd它們分別用以下不等式表示：例例3 求221,:,1,1diyxy dd yx xy 所圍.112213122211112133xidxyxy dyxydxx 若y型: 1, 11dxyy 122111yidyyxy dxd1110yx:1, 11d xyx 解解 x型則積分較繁。yxy先 后 積分，解型:0,01dxyy22221100001120011122yyyyyy

6、idye dxex dyye dye dye11yx0d2,:,1,0ydie dd yx yx例例4 求 所圍成。2110yxidxe dyyx分析 若先 后 積分，則 無法積分。例例5 交換二次積分的順序1220010( , )( , )xxdxf x y dydxf x y dy分析 要將按x型域確定積分限改為按y型域確定積分限。為此，應(yīng)根據(jù)定限的方法先將題中所給的積分限還原成平面區(qū)域d，然后再按y型域重新確立積分限，得到二次積分。1220010120( , )( , )( , )xxyydxf x y dydxf x y dydyf x y dx解解 將所給積分限還原成d的圖形，由12

7、ddd2012dd11xy知d是由y=x，y=2x，y=0三條直線所圍成，:2,01d yxyy于是按y型域定限1:0,01dyxx ，2:02,12dyxx其中例例6 交換二次積分的順序 1110001,;2,xyydxf x y dydyf x y dx故d是由 所圍成的， 于是0,1,0,1xxyyx y:01,01,dxyy 型11110000,xydxf x y dydyf x y dxx110y1xy 1:01,01,dyxx 由二次積分限，有x型解解2:,01,d xyxx21100,yxyxdyf x y dxdxf x y dyx11,10y2yxyx0,1,yyxy xy故

8、d是由 所圍成的， 于是:,01,d yxyyy型 102,yydyf x y dx由的積分限，有000( )() ( )cycdyf x dxcx f x dx 0,7f xc 設(shè)在上連例續(xù)，證明證證 由等式左邊，得:0,0dxyyc改變積分順序，得:,0d xycxc左邊 右邊00( )() ( )cccxdxf x dycx f x dx所以，左邊 右邊00( )() ( )cccxdxf x dycx f x dx所以，二二 極坐標(biāo)計(jì)算二重積分極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 極坐標(biāo)是由極點(diǎn)極點(diǎn)和極軸極軸組成，坐標(biāo) ，其中r為點(diǎn)p到極點(diǎn)o的距離， 為or到op的夾角。 r =常數(shù)；（從o出發(fā)的同心圓

9、） =常數(shù)；（射線）or( , )p r, r0,02r cossinxryr直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系為：面積元素為（矩形）( , )( , )ddf x y df rrdrd由直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，得到二重積分在極坐標(biāo)下的形式,cos, sinf rf rr其中,df x y ddrd dr底高rd弧長于是得到極坐標(biāo)下，二重積分化為二次積分的公式：21( )( )( , )( , )df rrdrdf rrdr d 12( )( ),r ao1( )r 2( )r daod2( )r 1( )r 若積分區(qū)域 d：21( )( )( , )( , )df rrdrddf rrdr 或?qū)懽魅?/p>

10、極點(diǎn)在d的內(nèi)部則d可以用不等式 ， 表示，這時(shí)有0210( )r 2( )00( , )( , )df rrdrddf rrdr aod( )r 解解 利用 把積分區(qū)域的邊界曲線化為極坐標(biāo)形式：2,:11,081df x y ddxyxx 將 化為極坐標(biāo)例下的二次積分.cossinxryr11,sincosrr圓：直線：1210sincos1:1,0sincos2,cos , sinddrf x y ddf rrrdr1r 1sincosrxy11于是例例9 計(jì)算 ，其中d是以原點(diǎn)為圓心，半徑為 的圓域。dxdyedyx22解解 d可以表示成0,02ra222222222000020121(1

11、)(1)2xyrddarraaaedxdyerdrdderdrededea 問題 本題為何不用直角坐標(biāo)計(jì)算？ 如何計(jì)算廣義積分20?xedx解解 用極坐標(biāo)，222222sin,:1,00014dxyddxyxyxy 計(jì)例算 :12,2dr2122122sinsin21rdrdrrdrdrd 原積分0 x21y 例例11 計(jì)算 其中d為 和x軸所圍成的區(qū)域，并說明該積分的幾何意義。 2224daxy dxdy，222(0)xyaxy 解解 將 化為 ，可見d是一個(gè)半圓域。222()xaya222xyaxx02 cosrayad2a02 cos2ra ，0所以d可表示為2 cosra圓的方程表示成極坐標(biāo)形式：于是，利用極坐標(biāo)得：222222 cos2220033320444882(1 sin)3323ddaaxy dxdyar rdrddar rdrada（ ）幾何意義幾何意義是球面 ,圓柱面2224zaxy22, 0yaxxx zxoy面及面所圍成的立體的體積。dy0 xz2a練習(xí)練習(xí)1dyxy由和圍成.22222.:3.dxy dxdyd xy求，2111.,.xxdxf x y dy改換積分順序23.( 2cos)dxyx y dxdy求，2330012.232 33idr rdr21212211122211121.,xxyydxf x y dydyf x