第9章 相似性原理與量分析

1、 tianjin institute of urban construction2021年年11月月22日星期一日星期一 流體力學(xué)流體力學(xué) 設(shè)備和熱動設(shè)備和熱動能源與機械工程系能源與機械工程系水力學(xué)水力學(xué)第第9章章 相似理論與量綱分析相似理論與量綱分析 tianjin institute of urban construction2021年年11月月22日星期一日星期一 流體力學(xué)流體力學(xué) 設(shè)備和熱動設(shè)備和熱動實際工程中，有時流動現(xiàn)象極為復(fù)雜，即使經(jīng)過簡化，也難以通過解析的實際工程中，有時流動現(xiàn)象極為復(fù)雜，即使經(jīng)過簡化，也難以通過解析的方法求解。在這種情況下，就必須通過實驗的方法來解決。方法求解

2、。在這種情況下，就必須通過實驗的方法來解決。 而工程原型有時尺寸巨大，在工程原型上進行實驗，會耗費大量的人力而工程原型有時尺寸巨大，在工程原型上進行實驗，會耗費大量的人力與物力，有時則完全是不可能的與物力，有時則完全是不可能的(例如：水壩，水工建筑物中抗特大洪水例如：水壩，水工建筑物中抗特大洪水的試驗的試驗)。所以，通常利用縮小的模型進行實驗。當(dāng)然，如果原型尺寸很。所以，通常利用縮小的模型進行實驗。當(dāng)然，如果原型尺寸很小，也可利用放大的模型進行實驗。小，也可利用放大的模型進行實驗。而進行模型實驗，首先必須解決兩類問題。而進行模型實驗，首先必須解決兩類問題。 (1) 如何正確地設(shè)計和布置模型實驗

3、，例如，模型形狀與尺寸的確定，如何正確地設(shè)計和布置模型實驗，例如，模型形狀與尺寸的確定，介質(zhì)的選取。介質(zhì)的選取。 (2) 如何整理模型實驗所得的結(jié)果，例如，實驗數(shù)據(jù)的整理，以及如何如何整理模型實驗所得的結(jié)果，例如，實驗數(shù)據(jù)的整理，以及如何將實驗的結(jié)果推廣到與實驗相似的流動現(xiàn)象上。將實驗的結(jié)果推廣到與實驗相似的流動現(xiàn)象上。 本節(jié)的內(nèi)容也適用于葉輪機械的模型研究、熱力設(shè)備的模型研究以及本節(jié)的內(nèi)容也適用于葉輪機械的模型研究、熱力設(shè)備的模型研究以及工程傳熱學(xué)等有關(guān)學(xué)科。工程傳熱學(xué)等有關(guān)學(xué)科。 tianjin institute of urban construction2021年年11月月22日星期一

4、日星期一 流體力學(xué)流體力學(xué) 設(shè)備和熱動設(shè)備和熱動l力學(xué)相似的內(nèi)涵；力學(xué)相似的內(nèi)涵；l各相似準(zhǔn)則的定義與物理意義；各相似準(zhǔn)則的定義與物理意義；l相似模型律的應(yīng)用相似模型律的應(yīng)用*l定理及其應(yīng)用定理及其應(yīng)用 * 【教學(xué)重點教學(xué)重點】 tianjin institute of urban construction2021年年11月月22日星期一日星期一 水力學(xué)力學(xué) 給排水工程給排水工程（a a）原型）原型 (b)(b)模型模型 圖圖1 1 滿足幾何相似、運動相似和動力相似的流動滿足幾何相似、運動相似和動力相似的流動 tianjin institute of urban construction202

5、1年年11月月22日星期一日星期一 流體力學(xué)流體力學(xué) 設(shè)備和熱動設(shè)備和熱動lmnmnddll （1 1）幾何相似（）幾何相似（流動空間幾何相似流動空間幾何相似）mn l長度比尺長度比尺力學(xué)相似力學(xué)相似：兩個流動現(xiàn)象中相應(yīng)點處的各物理量彼此之兩個流動現(xiàn)象中相應(yīng)點處的各物理量彼此之間間互相平行互相平行，并且，并且互成一定的比例互成一定的比例。第一節(jié)第一節(jié) 力學(xué)相似性原理力學(xué)相似性原理 tianjin institute of urban construction2021年年11月月22日星期一日星期一 流體力學(xué)流體力學(xué) 設(shè)備和熱動設(shè)備和熱動222lmnmnllaa 333lmnmnllvv 幾何相

6、似是力學(xué)相似的幾何相似是力學(xué)相似的前提前提 tianjin institute of urban construction2021年年11月月22日星期一日星期一 流體力學(xué)流體力學(xué) 設(shè)備和熱動設(shè)備和熱動（2 2）運動相似（）運動相似（兩流動的對應(yīng)流線幾何相似兩流動的對應(yīng)流線幾何相似或或流速大小成同一比例，方流速大小成同一比例，方向相同）向相同）vmnmnuuvv v速度比尺速度比尺時間比尺時間比尺vlmmnnmntvlvltt 加速度比尺加速度比尺lvtva 2 運動相似是實驗的運動相似是實驗的目的目的 tianjin institute of urban construction2021年年

7、11月月22日星期一日星期一 流體力學(xué)流體力學(xué) 設(shè)備和熱動設(shè)備和熱動（3）動力相似動力相似（同名力作用，且對應(yīng)的同名力互成同一比例同名力作用，且對應(yīng)的同名力互成同一比例）fmnff f力的比尺力的比尺emeningmgnpmpnvmvnffffffffffim動力相似是運動相似的動力相似是運動相似的保證保證 tianjin institute of urban construction2021年年11月月22日星期一日星期一 流體力學(xué)流體力學(xué) 設(shè)備和熱動設(shè)備和熱動在模型實驗中，只要使其中起主導(dǎo)作用的外力滿足相似條在模型實驗中，只要使其中起主導(dǎo)作用的外力滿足相似條件，就能夠保證兩流動現(xiàn)象有基本相

8、同的運動狀態(tài)。這種件，就能夠保證兩流動現(xiàn)象有基本相同的運動狀態(tài)。這種只考慮某一種外力的動力相似條件只考慮某一種外力的動力相似條件稱為稱為相似準(zhǔn)則相似準(zhǔn)則。 怎樣來達到流動的動力相似以保證運動相似呢？怎樣來達到流動的動力相似以保證運動相似呢？ 設(shè)想在兩相似水流中，取兩個相應(yīng)質(zhì)點設(shè)想在兩相似水流中，取兩個相應(yīng)質(zhì)點n n和和m m，研究兩，研究兩質(zhì)點所受粘性力、壓力、重力及慣性力。假設(shè)流體不可壓質(zhì)點所受粘性力、壓力、重力及慣性力。假設(shè)流體不可壓縮，則不需要考慮彈性力相似的問題。根據(jù)動力相似條件，縮，則不需要考慮彈性力相似的問題。根據(jù)動力相似條件，應(yīng)有應(yīng)有第二節(jié)第二節(jié) 相似準(zhǔn)則與模型律相似準(zhǔn)則與模型律

9、一、相似準(zhǔn)則一、相似準(zhǔn)則 tianjin institute of urban construction2021年年11月月22日星期一日星期一 流體力學(xué)流體力學(xué) 設(shè)備和熱動設(shè)備和熱動imffffffffingmgnpmpnmnimffffinpmpnimffffingmgnimffffinmn 由于慣性力相似與運動相似直接相關(guān)，我們把以上的由于慣性力相似與運動相似直接相關(guān)，我們把以上的關(guān)系式分別寫為和慣性力相聯(lián)系的下列等式關(guān)系式分別寫為和慣性力相聯(lián)系的下列等式 ；（1 1）雷諾準(zhǔn)則）雷諾準(zhǔn)則粘性力粘性力是主要的力是主要的力iminmnffff mimninffff 改成 tianjin in

10、stitute of urban construction2021年年11月月22日星期一日星期一 流體力學(xué)流體力學(xué) 設(shè)備和熱動設(shè)備和熱動lvlvdyduaf 22vlmafi mmmnnnlvlv 無量綱數(shù)無量綱數(shù) vl remnrere粘性力相似準(zhǔn)則，也稱為粘性力相似準(zhǔn)則，也稱為雷諾相似準(zhǔn)則雷諾相似準(zhǔn)則。 雷諾數(shù)雷諾數(shù)表征慣性力表征慣性力與黏性力之比與黏性力之比. . tianjin institute of urban construction2021年年11月月22日星期一日星期一 流體力學(xué)流體力學(xué) 設(shè)備和熱動設(shè)備和熱動（2 2）弗諾德準(zhǔn)則弗諾德準(zhǔn)則重力重力是主要的力是主要的力imff

11、ffingmgn 改成改成gmimgninffff 3glmgfg 22vlfi mmmnnnlgvlgv22 tianjin institute of urban construction2021年年11月月22日星期一日星期一 流體力學(xué)流體力學(xué) 設(shè)備和熱動設(shè)備和熱動無量綱數(shù)無量綱數(shù)glvfr2 （3 3）歐拉準(zhǔn)則）歐拉準(zhǔn)則壓力壓力是主要的力是主要的力imffffinpmpn 改成改成imffffpminpn 2plfp 22vlfi mnfrfr 重力相似準(zhǔn)則，也稱為弗諾德相似準(zhǔn)則。重力相似準(zhǔn)則，也稱為弗諾德相似準(zhǔn)則。 弗諾德數(shù)弗諾德數(shù)表征慣性力表征慣性力與重力的相對比值。與重力的相對比值

12、。 tianjin institute of urban construction2021年年11月月22日星期一日星期一 流體力學(xué)流體力學(xué) 設(shè)備和熱動設(shè)備和熱動22mmmnnnvpvp 無量綱數(shù)無量綱數(shù)2vpeu 壓力相似準(zhǔn)則，或稱為壓力相似準(zhǔn)則，或稱為歐拉相似準(zhǔn)則歐拉相似準(zhǔn)則mneueu 4 4、馬赫相似準(zhǔn)則、馬赫相似準(zhǔn)則 在高速氣流中，彈性力起主導(dǎo)作用。由彈性力相似，可導(dǎo)出在高速氣流中，彈性力起主導(dǎo)作用。由彈性力相似，可導(dǎo)出mmnnaa式中式中 a a為當(dāng)?shù)匾羲?。為?dāng)?shù)匾羲?。這個速度的比值就是馬赫數(shù)這個速度的比值就是馬赫數(shù)m。avm mnmm 歐拉數(shù)歐拉數(shù)表征壓力（差）表征壓力（差）和慣

13、性力之比和慣性力之比馬赫數(shù)馬赫數(shù)表征慣性表征慣性力與彈性力之比力與彈性力之比 tianjin institute of urban construction2021年年11月月22日星期一日星期一 流體力學(xué)流體力學(xué) 設(shè)備和熱動設(shè)備和熱動 雷諾數(shù)和弗諾德數(shù)中都包含定性長度和定性速度。因雷諾數(shù)和弗諾德數(shù)中都包含定性長度和定性速度。因此，若使雷諾數(shù)和弗諾德數(shù)都相等，就要求原型和模型在此，若使雷諾數(shù)和弗諾德數(shù)都相等，就要求原型和模型在長度和速度比尺之間要保持一定關(guān)系。長度和速度比尺之間要保持一定關(guān)系。 由雷諾數(shù)模型律，有由雷諾數(shù)模型律，有rerenm或或mmmnnnvlvl 或?qū)懗杀瘸哧P(guān)系的形式，即或

14、寫成比尺關(guān)系的形式，即 二、模型律二、模型律 tianjin institute of urban construction2021年年11月月22日星期一日星期一 流體力學(xué)流體力學(xué) 設(shè)備和熱動設(shè)備和熱動lv 在多數(shù)情況下，模型和原型采用同種類且溫度相同在多數(shù)情況下，模型和原型采用同種類且溫度相同的流體，此時的流體，此時 ，故有，故有 l11 或或 2ll另一方面，根據(jù)弗諾德數(shù)相等，可導(dǎo)出另一方面，根據(jù)弗諾德數(shù)相等，可導(dǎo)出 tianjin institute of urban construction2021年年11月月22日星期一日星期一 流體力學(xué)流體力學(xué) 設(shè)備和熱動設(shè)備和熱動 顯然，對于同

15、種、同溫的流體，若要同時滿足雷諾顯然，對于同種、同溫的流體，若要同時滿足雷諾模型律和弗諾德模型律，則容易導(dǎo)出模型律和弗諾德模型律，則容易導(dǎo)出 1l 這意味著模型尺寸與原型相同。因此模型實驗就失去這意味著模型尺寸與原型相同。因此模型實驗就失去意義了。意義了。 即使是對于不同種的流體，若通過調(diào)整運動粘度比尺即使是對于不同種的流體，若通過調(diào)整運動粘度比尺 ，使上述兩模型律同時滿足，則有，使上述兩模型律同時滿足，則有v3/2vl 這要求在模型流動中，采用特定粘度的流體，實際上這要求在模型流動中，采用特定粘度的流體，實際上這是很不容易實現(xiàn)的。這是很不容易實現(xiàn)的。因此，在模型律的應(yīng)用時，通常的因此，在模型

16、律的應(yīng)用時，通常的做法是要求對流動現(xiàn)象起決定或主導(dǎo)作用的那一個模型律做法是要求對流動現(xiàn)象起決定或主導(dǎo)作用的那一個模型律相似就可以了。相似就可以了。 tianjin institute of urban construction2021年年11月月22日星期一日星期一 流體力學(xué)流體力學(xué) 設(shè)備和熱動設(shè)備和熱動常見流動的模型律常見流動的模型律(1)(1)管流管流(2)(2) (3)(3)管中水流或氣流管中水流或氣流, ,粘性力粘性力( (主導(dǎo)作用主導(dǎo)作用),),應(yīng)滿足雷諾準(zhǔn)則。應(yīng)滿足雷諾準(zhǔn)則。(4)(4)(5)(5)具有自由面的液體急變流動具有自由面的液體急變流動, ,重力重力( (主導(dǎo)主導(dǎo)),),

17、應(yīng)滿足應(yīng)滿足frfr模模 型律（孔口，管嘴的自由出流）型律（孔口，管嘴的自由出流）無需滿足雷諾模型律無需滿足雷諾模型律慣性力慣性力阻力阻力阻力平方區(qū)阻力平方區(qū)相當(dāng)大時相當(dāng)大時管流管流 2rev:p mndkdk 管中的水擊、空泡現(xiàn)象和空泡阻力管中的水擊、空泡現(xiàn)象和空泡阻力歐拉準(zhǔn)則歐拉準(zhǔn)則 tianjin institute of urban construction2021年年11月月22日星期一日星期一 流體力學(xué)流體力學(xué) 設(shè)備和熱動設(shè)備和熱動 【例例1】 煤油管路上的文丘里流量計，入口直徑為煤油管路上的文丘里流量計，入口直徑為300mm，喉部直徑為，喉部直徑為150mm，在，在1:3的模型中

18、用水來進行試的模型中用水來進行試驗。已知煤油的比重為驗。已知煤油的比重為0.82，水和煤油的運動粘性系數(shù)分，水和煤油的運動粘性系數(shù)分別為別為0.010cm2s和和0.045cm2s，求：，求： (1) 已知原型煤油流量已知原型煤油流量 ，為達到動力相似，模型，為達到動力相似，模型中水的流量中水的流量 應(yīng)為多少應(yīng)為多少? (2) 若在模型中測得入口和喉部斷面的測管水頭差若在模型中測得入口和喉部斷面的測管水頭差，推算原型中的測管水頭差，推算原型中的測管水頭差 應(yīng)為多少應(yīng)為多少?100nql smq1.05mhmnh 解：此流動的主要作用力為壓力和阻力，決定性相似準(zhǔn)解：此流動的主要作用力為壓力和阻力

19、，決定性相似準(zhǔn)則為則為re數(shù)，非決定性相似準(zhǔn)則為數(shù)，非決定性相似準(zhǔn)則為eu數(shù)。數(shù)。 由阻力相似的比尺關(guān)系由阻力相似的比尺關(guān)系 tianjin institute of urban construction2021年年11月月22日星期一日星期一 流體力學(xué)流體力學(xué) 設(shè)備和熱動設(shè)備和熱動由于由于 ，故，故lv 20.045313.50.010qlvl 40. 75 .13100qnmqql/s2ph 2224.52.253vhl36. 205. 125. 2mhnhh m 由壓力相似的比尺關(guān)系由壓力相似的比尺關(guān)系 tianjin institute of urban construction202

20、1年年11月月22日星期一日星期一 流體力學(xué)流體力學(xué) 設(shè)備和熱動設(shè)備和熱動1. 1. 基本量綱：基本量綱：(獨立量綱) 長度 (l) 時間 (t) 質(zhì)量 (m) 2.2.導(dǎo)出量綱：導(dǎo)出量綱：第三節(jié)第三節(jié) 量綱分析法量綱分析法3.3.一致性原則：一致性原則：一、量綱一致性一、量綱一致性 tianjin institute of urban construction2021年年11月月22日星期一日星期一 流體力學(xué)流體力學(xué) 設(shè)備和熱動設(shè)備和熱動某一物理過程，涉及某一物理過程，涉及n個變量，其中有個變量，其中有m個基本變量，個基本變量，則此則此n個變量間的關(guān)系個變量間的關(guān)系f(x1，x2，xn）=

21、0，可用（可用（n-m）個）個無量綱無量綱的的項關(guān)系式來表示，即項關(guān)系式來表示，即 （1，2，n-m）=0 以上這個結(jié)論就是著名的以上這個結(jié)論就是著名的定理，定理，也稱也稱布金漢定理。布金漢定理。二、二、定理定理量綱分析法量綱分析法就是通過對現(xiàn)象中物理量的量綱以及量綱之就是通過對現(xiàn)象中物理量的量綱以及量綱之間相互聯(lián)系的分析來研究現(xiàn)象相似性的方法。它是以方間相互聯(lián)系的分析來研究現(xiàn)象相似性的方法。它是以方程式的程式的因次和諧性因次和諧性為基礎(chǔ)的。為基礎(chǔ)的。 tianjin institute of urban construction2021年年11月月22日星期一日星期一 流體力學(xué)流體力學(xué) 設(shè)備

22、和熱動設(shè)備和熱動 【例例2】證明有壓管流中的壓強損失證明有壓管流中的壓強損失p可表示為：可表示為： 根據(jù)實驗，知道壓強損失根據(jù)實驗，知道壓強損失p與管長，管徑與管長，管徑d，管壁粗糙度，管壁粗糙度k，流體運動粘性系數(shù)流體運動粘性系數(shù) ，密度，密度和流速和流速 有關(guān)，于是有有關(guān)，于是有2re,/2dldkp 解：解：1)1)找出影響某物理現(xiàn)象的找出影響某物理現(xiàn)象的n n個獨立物理變量。個獨立物理變量。),(kdlfp 2)2)從從n n個變量中選擇個變量中選擇m m個基本變量。個基本變量?；咀兞炕咀兞康臈l件為其的條件為其量綱中量綱中包括包括n n個變量中所有的基本量綱個變量中所有的基本量綱。

23、m m一般等于這些變量所涉及一般等于這些變量所涉及的基本量綱的個數(shù)?；咀兞繎?yīng)選取最簡單，最有代表性和的基本量綱的個數(shù)?；咀兞繎?yīng)選取最簡單，最有代表性和容易測量的物理量，如物體的長度，流體的密度和粘度，相容易測量的物理量，如物體的長度，流體的密度和粘度，相對速度等。對速度等。二、使用二、使用定理的具體步驟定理的具體步驟 tianjin institute of urban construction2021年年11月月22日星期一日星期一 流體力學(xué)流體力學(xué) 設(shè)備和熱動設(shè)備和熱動 在這在這7個量中，基本量綱數(shù)為個量中，基本量綱數(shù)為3，因而可選擇三個基本，因而可選擇三個基本變量，不妨取變量，不妨取

24、 管徑管徑d d=l 平均流速平均流速 =lt-1 密度密度 =ml-3 kdldpdd3443332221114321 3 m3)3)排列排列 個個項項，如該物理現(xiàn)象中的，如該物理現(xiàn)象中的 ，其基本變，其基本變量為量為x1，x2，x3，作為重復(fù)變量，則各個，作為重復(fù)變量，則各個項的組成為：項的組成為：mn iixxxxiii3321（i=1,2,., ）用未知指數(shù)寫出無量綱用未知指數(shù)寫出無量綱參數(shù)參數(shù)i (i (i i=1-4=1-4）。）。 tianjin institute of urban construction2021年年11月月22日星期一日星期一 流體力學(xué)流體力學(xué) 設(shè)備和熱動設(shè)

25、備和熱動對每一個對每一個 寫出量綱和諧方程組寫出量綱和諧方程組 11114443332221113143132131212311lmllltlmlllttmlmlllttlmlllti0:01:023:111111mtl01:02:013:222222mtl4)4)根據(jù)各個根據(jù)各個項必須為無量綱量的條件，決定待定指數(shù)項必須為無量綱量的條件，決定待定指數(shù)ii、ii、ii列出具體的列出具體的項。項。將各量的量綱代入，寫出量綱公式將各量的量綱代入，寫出量綱公式 tianjin institute of urban construction2021年年11月月22日星期一日星期一 流體力學(xué)流體力學(xué) 設(shè)備和熱動設(shè)備和熱動0:0:013:333333mtl0:0:013:444444mtl 分別解得：分別解得： 故有故有 tianjin institute of urban construction2021年年11月月22日星期一日星期一 流體力學(xué)流體力學(xué) 設(shè)備和熱動設(shè)備和熱動dkdleuppddvvd43210220111re15)5)該物理現(xiàn)象可用該物理現(xiàn)象可用(n-m)(n-m)個無量綱個無量綱項的函數(shù)關(guān)系來表示。項的函數(shù)關(guān)系來表示。必要時，可將各必要時，可將各項相互或項相互或自相乘除