不定積分典型例題講解

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 習(xí)題課一、一、 求不定積分的基本方法求不定積分的基本方法二、幾種特殊類型的積分二、幾種特殊類型的積分 不定積分的計算方法 第四四章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一、 求不定積分的基本方法求不定積分的基本方法1. 直接積分法直接積分法通過簡單變形, 利用基本積分公式和運算法則求不定積分的方法 .2. 換元積分法換元積分法xxfd)( 第一類換元法第一類換元法tttfd)()( 第二類換元法 注意常見的換元積分類型, 如掌握 p205p206 公式(16) (24)的推導(dǎo)方法 (代換: )(tx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 分部積分法分部積分法vuxvud

2、使用原則:1) 由v易求出 v ;2) xvud比xvud好求 .一般經(jīng)驗: 按“反, 對, 冪, 指 , 三” 的順序,排前者取為 u , 排后者取為.v計算格式: 列表計算xvud目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xvund) 1(xvuvunnd)()()1()(nnvuvu xvund) 1( )2() 1()(nnnvuvuvuxvunnd) 1() 1(1多次分部積分的多次分部積分的 規(guī)規(guī) 律律)2()1()( nnnvuvuvuxvund)2( 快速計算表格:)(ku)1(knvuuu )(nu)1( nv)(nv)1( nvvn) 1()1( nuv1) 1(n特別特別: 當(dāng) u

3、為 n 次多項式時,0)1(nu計算大為簡便 . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 求.d4932xxxxx解解: 原式xxxxxd233222xxxd)(1)(23232xx2323232)(1)(dln1xaaaxxdlndcx3ln2ln)arctan(32目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求.d15)1ln(22xxxx解解:215)1ln(2xx原式5)1ln(d2xx21xxxxxd)1 (212221dxx325)1ln(2xxc23分析分析: 5)1ln(d2xx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 求.dcos1sinxxxx解解 :原式xxxxxd2cos22

4、cos2sin222tandxxxxd2tancxx2tan分部積分目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 設(shè),)(2xyxy解解: 令, tyx求積分.d31xyxxyxy2)(即txy,123ttx,12tty而ttttxd) 1()3(d2222 1原式ttttd) 1()3(2222123tt132tttttd12ct1ln221cyx1)(ln221目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 求.deearctanxxx解解:xearctan原式xedxxearctanexexxxde1e2xxearctanexxxxde1e)e1 (222xxearctanexcx)e1 (ln221

5、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 求32(2)e.dxxxx解解: 取,23xxuxv2)4(e23 xx132xx660)(ku)4(kvx2ex221ex241ex281ex2161ex2e 原式)2(321 xx) 13(241xx681cxxxx)7264(e232816161cxxaxaxpxkndcossine)(說明說明: 此法特別適用于如下類型的積分: 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 證明遞推公式)2(1tandtan21ninxxxinnnn證證:xxxinnd) 1(sectan22)d(tantan2xxn1tan1nxn2ni2ni注注:0iin或1i0i

6、,cx1icx cosln目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8. 求.d1xx解解: 設(shè)1)(xxf1x,1x1x,1x則)(xf1,1221xcxx1,2221xcxx因)(xf連續(xù) , , ) 1 ()1 ()1 (fff得21211121cc221121cc記作c得xxd1)(xf1,21221xcxx1,21221xcxx,) 1(221cx,) 1(221cx利用 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例9. 設(shè) 解解:)(xf為)(xf的原函數(shù),時時當(dāng)當(dāng)0 x,2sin)()(2xxfxf有且,1)0(f,0)(xf求. )(xf由題設(shè), )()(xfxf則,2sin)()(2xxfxf

7、故xxfxfd)()(xxd2sin2xxd24cos1即cxxxf4sin)(412,1)0(f, 1)0(2fc0)(xf, 因此14sin)(41xxxf故)()(xfxf14sin2sin412xxx又目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、幾種特殊類型的積分二、幾種特殊類型的積分1. 一般積分方法一般積分方法有理函數(shù)分解多項式及部分分式之和指數(shù)函數(shù)有理式指數(shù)代換三角函數(shù)有理式萬能代換簡單無理函數(shù)三角代換根式代換目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 需要注意的問題需要注意的問題(1) 一般方法不一定是最簡便的方法,(2) 初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù) ,要注意綜合使用各種基本積分法, 簡便

8、計算 . 因此不一定都能積出.例如例如 , ,de2xx,dsinxxx,dsin2xx,dln1xx,1d4 xx,d13xx, ) 10(dsin122kxxk目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例10. 求.eee1d632xxxx解解: 令,e6xt 則,ln6tx txtdd6原式原式ttttt)1 (d623tttt) 1)(1(d621331362ttttt dtln61ln3t) 1ln(232tct arctan3cxxxx636arctane3) 1ln(e) 1ln(e323目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例11. 求.dsincossincos3xxxxx解解: 令xxsi

9、ncos3xbaxbasin)(cos)(比較同類項系數(shù)3 ba1 ba, 故2, 1ba 原式xxxxxsincos)sind(cos2dcxxxsincosln2說明說明: 此技巧適用于形為xxdxcxbxadsincossincos的積分.)sin(cos)sin(cosxxbxxaxbxasincos令)sincos()sincos(xdxcbxdxca目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例12.解解：xxbxaxidsincossin1求因為.dsincoscos2xxbxaxi及12ibiaxxbxaxbxadsincossincos1cx12iaibxxbxaxaxbdsincoss

10、incos)sincosd(xbxa2sincoslncxbxacxbxaabxbai)sincosln(1221cxbxabaxbai)sincosln(1222目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例13. 求不定積分.dsin)cos2(1xxx解解: )cos(xu 令令原式 uuud) 1)(2(12) 1)(2(12uuua21ub1uc31a61b21c2ln31u1ln61ucu1ln21)2ln(cos31x)cos1ln(61xcx) 1ln(cos21xxxxdsin)cos2(sin2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例14.)()sin()sin(dkbabxaxxi求xbxaxd)sin()sin()()sin(bxax)sin(1ba xbxaxbad)sin()sin()sin(1)sin(ax )cos(bx )cos(ax )sin(bx)sin(1ba xbxbxd)sin()cos(xaxaxd)sin()cos(caxbxba)sin(ln)sin(ln)sin(1caxbxba)sin()si