偶然誤差的統(tǒng)計(jì)分析李

1、 學(xué)號 2008060105 密級 *學(xué)院本科畢業(yè)論文偶然誤差的統(tǒng)計(jì)分析 學(xué) 院 名 稱：*學(xué)院專 業(yè) 名 稱：物理學(xué)學(xué) 生 姓 名：*指 導(dǎo) 教 師：* 講師 二一二年三月BACHELOR'S DEGREE THESIS OF LANZHOU CITY UNIVERSITYStatistical analysis of random errorCollege ：*Subject ：HpysicsName ：Li Directed by ：Zh Lecture June 2012鄭 重 聲 明本人呈交的學(xué)位論文，是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果，所有數(shù)據(jù)、圖片資料真實(shí)可靠

2、。盡我所知，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本學(xué)位論文的研究成果不包含他人享有著作權(quán)的內(nèi)容。對本論文所涉及的研究工作做出貢獻(xiàn)的其他個(gè)人和集體，均已在文中以明確的方式標(biāo)明。本學(xué)位論文的知識產(chǎn)權(quán)歸屬于培養(yǎng)單位。本人簽名： 日期： 摘要當(dāng)對同一物理量進(jìn)行多次等精度的重復(fù)測量時(shí)，得到一系列不同的測量值，每個(gè)測量值都含有誤差，這些誤差的出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律，即前一個(gè)誤差出現(xiàn)后，不能預(yù)定下一個(gè)誤差的大小和方向，這種誤差稱為為偶然誤差。雖然單個(gè)測量值的誤差我們無法確定，但就誤差的總體而言卻具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律。本文通過單擺測當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣鹊膶?shí)驗(yàn)，通過該實(shí)驗(yàn)所測得得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用統(tǒng)計(jì)方法來研究偶然誤差的分布規(guī)律，加深對偶然誤

3、差的研究和認(rèn)識。（為了研究的方便，在本研究中我們只考慮偶然誤差）關(guān)鍵字：偶然誤差 單擺實(shí)驗(yàn) 重力加速度 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 統(tǒng)計(jì)規(guī)律Abstract When the same physical quantity to be many ,precision when repeated measurements, obtained a series of different measurement values. Each measurement error ,the error was not determined by the law, namely before an error appears,

4、cannot be scheduled next error magnitude and direction, this error is called for accidental error. Although the individual measuring value error we cannot be identified ,but the overall error has statical regularity. Through measuring the local acceleration of gravity pendulum experiment, through th

5、e experimental short experimental data using statistical methods to study the distribution law of accidental error, to deepen the research and understanding of accidental error.(For the convenience of research, in this study we consider only accidental error.Keyword: random error, simple pendulum ex

6、periment, acceleration of gravity, experimental data, statistical regularity目 錄第1章 實(shí)驗(yàn)材料與方法的選擇11.1 實(shí)驗(yàn)裝置11.2 實(shí)驗(yàn)原理11.3 偶然誤差的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)31.4實(shí)驗(yàn)內(nèi)容4第2章 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄5第3章 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析73.1 求重力加速度73.2 偶然誤差的分析9第4章 結(jié)論12參考文獻(xiàn)13致謝14第1章 引言一個(gè)物理量的測量，只有包括誤差在內(nèi)的數(shù)據(jù)才有參考價(jià)值，誤差的大小直接反應(yīng)了該物理量的可信程度。還可以幫助我們找到提高實(shí)驗(yàn)質(zhì)量的方法，并指導(dǎo)我們對實(shí)驗(yàn)做進(jìn)一步的改進(jìn)。 偶然誤差是由很多未能掌握的

7、或不便掌握的微小因素所構(gòu)成的，主要有以下幾個(gè)方面：（1） 測量裝置方面的因素 各裝置配合的不穩(wěn)定性、裝置的變形、裝置表面油膜不均勻、摩擦等。（2） 環(huán)境方面的因素 濕度的微小波動、濕度與氣壓的微量變化、光照強(qiáng)度變化、空氣阻力及空氣流動的變化、灰塵以及電磁場變化等。（3） 人員方面的因素 實(shí)驗(yàn)中操作及讀數(shù)的不準(zhǔn)確等。因此，在單擺實(shí)驗(yàn)中選材和實(shí)驗(yàn)環(huán)境是非常重要的。第2章 偶然誤差的統(tǒng)計(jì)分析2.1 偶然誤差及統(tǒng)計(jì)分析的概念2.1.1 偶然誤差對同一物理量進(jìn)行多次等精度的重復(fù)測量時(shí)，得到一系列不同的測量值，每個(gè)測量值都含有誤差，這些誤差的出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律，即前一個(gè)誤差出現(xiàn)后，不能預(yù)定下一個(gè)誤差的大小

8、和方向，這種誤差稱為為偶然誤差。2.1.2 統(tǒng)計(jì)分析統(tǒng)計(jì)分析是指運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法及與分析對象有關(guān)的知識，從定量與定性的結(jié)合上進(jìn)行的研究活動。它是繼統(tǒng)計(jì)設(shè)計(jì)、統(tǒng)計(jì)調(diào)查、統(tǒng)計(jì)整理之后的一項(xiàng)十分重要的工作，是在前幾個(gè)階段工作的基礎(chǔ)上通過分析從而達(dá)到對研究對象更為深刻的認(rèn)識。它又是在一定的選題下，集分析方案的設(shè)計(jì)、資料的搜集和整理而展開的研究活動。系統(tǒng)、完善的資料是統(tǒng)計(jì)分析的必要條件。運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法、定量與定性的結(jié)合是統(tǒng)計(jì)分析的重要特征。2.2 實(shí)驗(yàn)原理及內(nèi)容2.2.1 實(shí)驗(yàn)裝置19圖1實(shí)驗(yàn)主要裝置如圖1所示。單擺裝置的調(diào)節(jié)：立柱鉛直，以擺球?yàn)橹劐N調(diào)節(jié)底座的水平螺絲，使擺線與立柱平行。調(diào)節(jié)擺幅測量尺高度與鏡

9、面位置，擺幅標(biāo)尺高度應(yīng)使尺的上弧邊中點(diǎn)與頂端懸線夾下平面間的距離為50cm，標(biāo)尺面平面應(yīng)垂直于頂端懸線夾的前伸部分，因標(biāo)尺上平面應(yīng)與標(biāo)尺平行，鏡面上指標(biāo)線如不在儀器的對稱中心線上時(shí)，可在鏡框中稍微左右移動鏡片位置，以達(dá)到處于中心位置為止。 2.2.2 實(shí)驗(yàn)原理設(shè)秒表啟動和停止引起的計(jì)時(shí)誤差為，如果直接測量周期(來回?cái)[動一次的時(shí)間)，則周期的測量誤差為；如果根據(jù)擺動周期的等時(shí)性，測量來回?cái)[動次時(shí)間，=,秒表啟動和停止引起的計(jì)時(shí)誤差仍為，測量誤差變?yōu)?，?dāng)較大時(shí)，從而提高了測量周期的精確度，愈大，測量的精確度愈高。這種方法稱為積累放大法。把擺球拴在細(xì)線下端，如果細(xì)線的質(zhì)量比小球小很多，而球的直徑又比

10、細(xì)線的長度小很多，則可看做是一個(gè)不計(jì)質(zhì)量的細(xì)線系住一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。將懸掛的擺球自平衡位置拉至一邊（很小距離）然后釋放，擺球即在平衡位置左右往返作周期性擺動。擺球所受的力是重力P和繩子張力的合力，指向平衡位置。當(dāng)擺角很小時(shí)（<），圓弧可以近似看成直線，合力也可以近似地看做沿著這一直線沿?cái)[長為L，擺球位移為，質(zhì)量為，則 （2.2.1）由，可知： 單擺在擺角很小時(shí)的運(yùn)動，近似地為諧振動，式中負(fù)號表示與位移方向相反。比較諧振動公式： 可得于是單擺周期為 （2.2.2） （2.2.3）或 （2.2.4）一般做單擺實(shí)驗(yàn)時(shí)，采用某一固定擺長L（懸點(diǎn)到擺球球心的距離），盡可能精密地多次測量周期帶入式（2.2.

11、4），即可求得重力加速度。設(shè)一系列測得值為，平均值為（用平均值代替真值），則測量中的偶然誤差為 (2.2.5)根據(jù)貝塞爾公式： （2.2.6）可以計(jì)算出被測值的標(biāo)準(zhǔn)偏差。測量的很多數(shù)據(jù)圖二 在物理量的測量過程中，由于測量儀器、實(shí)驗(yàn)方法、環(huán)境狀態(tài)及觀測者等方面存在某些不理想的情況，這些都會給測量結(jié)果帶來誤差。這些誤差分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差。系統(tǒng)誤差可以盡量在測量過程中設(shè)法消除，或者在測量結(jié)果中予以修正；偶然誤差則必須給以估算。一個(gè)物理量的測量，必須包括誤差估算在內(nèi)的不確定數(shù)據(jù)才有參考價(jià)值。不確定度的大小直接反應(yīng)了該物理量的可信賴程度。因此，我們在進(jìn)行物理實(shí)驗(yàn)以前，弄清楚誤差和不確定度的意義并學(xué)會

12、其計(jì)算方法是非常必要的。本實(shí)驗(yàn)可了解偶然誤差的統(tǒng)計(jì)分析規(guī)律及偶然誤差的估算方法。由誤差的理論知識可以知道對一個(gè)物理量只進(jìn)行一次測量，偶然誤差的出現(xiàn)沒有任何規(guī)律性，其大小和正負(fù)都是不能預(yù)知的。但對一個(gè)物理量進(jìn)行足夠多次的測量則會發(fā)現(xiàn)他們的偶然誤差是按一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律分布的。即正方向和負(fù)方向誤差出現(xiàn)的次數(shù)大致相等，數(shù)值較小的誤差出現(xiàn)的次數(shù)較多，很大的誤差在沒有錯(cuò)誤的情況下通常不出現(xiàn)。這一規(guī)律在測量次數(shù)越多是表現(xiàn)的越明顯，這被稱為正態(tài)分布規(guī)律。2.2.2實(shí)驗(yàn)內(nèi)容在同一條件下，多次測量同一量值時(shí)，絕對值和符號保持不變，或在條件改變時(shí)，按一定規(guī)律變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差。此實(shí)驗(yàn)是研究偶然誤差的規(guī)律性，要求系

13、統(tǒng)誤差盡量小，因而對每次測量都要認(rèn)真，不要人為的有意選擇數(shù)據(jù)。時(shí)間測量誤差受兩個(gè)因素影響。一是表的分辨值。機(jī)械秒表的分辨值為01秒。電子秒表的分辨值為001秒。后者比前者可以多讀一位有效數(shù)字另一因素是人按表動作產(chǎn)生的誤差。統(tǒng)計(jì)表明因?yàn)橐淮斡?jì)時(shí)兩個(gè)按表動作將產(chǎn)生02秒的誤差，這個(gè)誤差遠(yuǎn)比兩種秒表由于自身分辨值不同所產(chǎn)生的誤差大許多，所以選擇電子秒表時(shí)減少時(shí)間測量的相對誤差不起作用。欲提高時(shí)間測量精度應(yīng)排除由于個(gè)人按表動作產(chǎn)生的誤差，選用光電門控制的數(shù)字計(jì)時(shí)器，并對顯示位數(shù)加以選擇。可以減少計(jì)時(shí)誤差。本實(shí)驗(yàn)用電子秒表測量單擺的周期，當(dāng)擺長不變，擺角保持一定時(shí)，擺角的周期是一個(gè)恒量，實(shí)驗(yàn)中以擺角經(jīng)過

14、平衡位置是作為計(jì)時(shí)的起停點(diǎn)，按動秒表來記錄擺動的周期，重復(fù)測量多次。根據(jù)測量結(jié)果，計(jì)算平均值,標(biāo)準(zhǔn)偏差和極限誤差3，并將統(tǒng)計(jì)測量值落在+和+3范圍內(nèi)的概率，做偶然誤差分布的統(tǒng)計(jì)直方圖。步驟：（1）安裝和調(diào)整單擺裝置，了解各個(gè)裝置的使用方法和功能。（2） 測量擺長。擺長為擺線支點(diǎn)與擺球質(zhì)心之間的距離,用鋼卷尺測量的長度，用游標(biāo)卡尺測擺球的直徑。（3）讓單擺作小角度（）擺動，用電子秒表測擺動30次所需要的時(shí)間，重復(fù)測量50次，記錄數(shù)據(jù)，求出平均值,。（4）為了更好的顯示出偶然誤差的規(guī)律將實(shí)驗(yàn)做進(jìn)一步改進(jìn)，擺長不變，讓單擺作小角度（）擺動，用周期測定儀測擺動30次所需的時(shí)間，重復(fù)測量80次，記錄數(shù)據(jù)

15、。(5) 擺長不變，讓單擺作大角度（）擺動，擺動30次所需要的時(shí)間，重復(fù)測量10次，記錄數(shù)據(jù)，求出平均值,。2.3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄實(shí)驗(yàn)中擺線116.50cm，小球直徑，則擺長=124.80cm。時(shí)，用電子秒表測得的50組數(shù)據(jù)如表1：表1t(s)T(s)165.292.17633-0.00437265.232.17433-0.00237365.122.170670.001293465.212.17367-0.00171565.102.170000.00196665.022.167330.004627765.172.17233-0.00037865.202.17333-0.00137965.082.

16、169330.0026271065.242.17467-0.002711165.302.17667-0.004711265.272.17567-0.003711365.112.170330.0016271465.152.171670.0002931565.102.170000.001961665.202.17333-0.001371765.202.17333-0.001371865.372.17900-0.007041965.192.17300-0.001042065.112.170330.0016272165.092.169670.0022932265.302.17667-0.0047123

17、65.142.171330.0006272465.272.17567-0.003712565.152.171670.0002932665.152.171670.0002932765.112.170330.0016272865.082.169330.0026272965.172.17233-0.000373065.132.171000.000963165.072.169000.002963265.122.170670.0012933365.142.171330.0006273465.112.170330.0016273565.042.168000.003963665.092.169670.002

18、2933765.132.171000.000963865.172.17233-0.000373965.112.170330.0016274065.162.17200-4E-054165.152.171670.0002934265.042.168000.003964365.212.17367-0.001714465.112.170330.0016274565.152.171670.0002934665.102.170000.001964765.202.17333-0.001374865.192.17300-0.001044965.222.17400-0.002045065.182.17267-0

19、.00071時(shí)間的算術(shù)平均值即平均周期=2.17196。時(shí)，用周期測定儀測得的50組數(shù)據(jù)如表2：表2t(s)T(s)165.052.1683330.000563265.072.169-0.0001365.072.169-0.0001465.062.1686670.000229565.062.1686670.000229665.062.1686670.000229765.072.169-0.0001865.062.1686670.000229965.072.169-0.00011065.052.1683330.0005631165.082.169333-0.000441265.062.16866

20、70.0002291365.062.1686670.0002291465.072.169-0.00011565.082.169333-0.000441665.082.169333-0.000441765.072.169-0.00011865.062.1686670.0002291965.062.1686670.0002292065.052.1683330.0005632165.092.169667-0.000772265.072.169-0.00012365.072.169-0.00012465.062.1686670.0002292565.052.1683330.0005632665.082

21、.169333-0.000442765.072.169-0.00012865.072.169-0.00012965.062.1686670.0002293065.072.169-0.00013165.072.169-0.00013265.082.169333-0.000443365.082.169333-0.000443465.072.169-0.00013565.072.169-0.00013665.082.169333-0.000443765.082.169333-0.000443865.062.1686670.0002293965.062.1686670.0002294065.072.1

22、69-0.00014165.082.169333-0.000444265.082.169333-0.000444365.072.169-0.00014465.052.1683330.0005634565.082.169333-0.000444665.072.169-0.00014765.062.1686670.0002294865.072.169-0.00014965.062.1686670.0002295065.072.169-0.00015165.072.169-0.00015265.062.1686670.0002295365.072.169-0.00015465.062.1686670

23、.0002295565.072.169-0.00015665.082.169333-0.000445765.052.1683330.0005635865.082.169333-0.000445965.072.169-0.00016065.082.169333-0.000446165.062.1686670.0002296265.072.169-0.00016365.082.169333-0.000446465.082.169333-0.000446565.072.169-0.00016665.072.169-0.00016765.062.1686670.0002296865.062.16866

24、70.0002296965.052.1683330.0005637065.052.1683330.0005637165.082.169333-0.000447265.052.1683330.0005637365.072.169-0.00017465.062.1686670.0002297565.072.169-0.00017665.062.1686670.0002297765.072.169-0.00017865.052.1683330.0005637965.062.1686670.0002298065.052.1683330.000563時(shí)間的算術(shù)平均值即平均周期=2.168896s。時(shí)，用

25、周期測定儀測得的10組數(shù)據(jù)如表3：表3t(s)T(s)165.132.1710000.0002265.152.171667-0.00047365.132.1710000.0002465.142.171333-0.00013565.132.1710000.0002665.152.171667-0.00047765.132.1710000.0002865.142.171333-0.00013965.132.1710000.00021065.152.171667-0.00047時(shí)間的算術(shù)平均值即平均周期=2.17120s。2.4實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析2.4.1 偶然誤差的分析（1）求表1中時(shí)間的算術(shù)平均值即平

26、均周期=2.17196。根據(jù)式（2.2.5）計(jì)算得出的值，填入表1。并根據(jù)的值畫出折線圖。（2）為了便于與表1 中的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，取表2 中的前50組數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。表4t(s)T(s)165.052.1683330.000639265.072.169-2.8E-05365.072.169-2.8E-05465.062.1686670.000305565.062.1686670.000305665.062.1686670.000305765.072.169-2.8E-05865.062.1686670.000305965.072.169-2.8E-051065.052.1683330.00063

27、91165.082.169333-0.000361265.062.1686670.0003051365.062.1686670.0003051465.072.169-2.8E-051565.082.169333-0.000361665.082.169333-0.000361765.072.169-2.8E-051865.062.1686670.0003051965.062.1686670.0003052065.052.1683330.0006392165.092.169667-0.000692265.072.169-2.8E-052365.072.169-2.8E-052465.062.168

28、6670.0003052565.052.1683330.0006392665.082.169333-0.000362765.072.169-2.8E-052865.072.169-2.8E-052965.062.1686670.0003053065.072.169-2.8E-053165.072.169-2.8E-053265.082.169333-0.000363365.082.169333-0.000363465.072.169-2.8E-053565.072.169-2.8E-053665.082.169333-0.000363765.082.169333-0.000363865.062

29、.1686670.0003053965.062.1686670.0003054065.072.169-2.8E-054165.082.169333-0.000364265.082.169333-0.000364365.072.169-2.8E-054465.052.1683330.0006394565.082.169333-0.000364665.072.169-2.8E-054765.062.1686670.0003054865.072.169-2.8E-054965.062.1686670.0003055065.072.169-2.8E-05時(shí)間的算術(shù)平均值即平均周期=2.168927s。

30、根據(jù)式（2.2.5）計(jì)算得出的值，填入表2。并根據(jù)的值畫出折線取=3.14159。周期T=2.06420s時(shí)，根據(jù)（4）式得：=9.794984根據(jù)表一中的時(shí)間t求得周期T，然后將T帶入（4）式，計(jì)算出各個(gè)g值填入表一。由表一得：重力加速度的算術(shù)平均值=9.794982。用算術(shù)平均值代替真值，求出重力加速度的偶然誤差.如下表（2）。 表（2）g()19.794614-0.0005729.794994-0.0001939.794045-0.0011449.7959430.00076159.793096-0.0020969.7961330.00095179.794804-0.0003889.819

31、9060.02472499.793855-0.00133109.794045-0.00114119.794235-0.00095129.7961330.000951139.7957530.000571149.794614-0.00057159.7953730.000191169.7955630.000381179.794235-0.00095189.7953730.000191199.7957530.000571209.793476-0.00171219.7968920.00171229.7951841.65E-06239.794994-0.00019249.7961330.000951259

32、.793855-0.00133269.7957530.000571279.7955630.000381289.7955630.000381299.794994-0.00019309.794804-0.00038319.794614-0.00057329.7951840.00000165339.7953730.000191349.7955630.000381359.7993610.004179369.780016-0.01517379.794994-0.00019389.7974620.00228399.790639-0.00455409.792717-0.00247419.7974620.00

33、228429.793476-0.00171439.7997410.004559449.7976520.00247459.789492-0.00569469.790250-0.00493479.8010700.005888489.789302-0.00588499.791009-0.00417509.7980310.002849根據(jù)貝塞爾公式： （5）可以計(jì)算出時(shí)間t的標(biāo)準(zhǔn)誤差。=0.000663817由此可得： =(9.7949840.000663817) 2.4.2 偶然誤差的分析時(shí)間的算術(shù)平均值T=2.06420s。用算術(shù)平均值代替真值，求出時(shí)間t的偶然誤差.如下表（3）。 表（3）t(s

34、)T1103.2132.064260.000062103.2112.064220.000023103.2162.064320.000124103.2062.06412-0.000085103.2212.064420.000226103.2052.0641-0.00017103.2122.064240.000048103.082.0616-0.00269103.2172.064340.0001410103.2162.064320.0001211103.2152.06430.000112103.2052.0641-0.000113103.2072.06414-0.0000614103.2132.0

35、64260.0000615103.2092.06418-0.0000216103.2082.06416-0.0000417103.2152.06430.000118103.2092.06418-0.0000219103.2072.06414-0.0000620103.2192.064380.0001821103.2012.06402-0.0001822103.2102.0642023103.2112.064220.0000224103.2052.0641-0.000125103.2172.064340.0001426103.2072.06414-0.0000627103.2082.06416-

36、0.0000428103.2082.06416-0.0000429103.2112.064220.0000230103.2122.064240.0000431103.2132.064260.0000632103.2102.0642033103.2092.06418-0.0000234103.2082.06416-0.0000435103.1882.06376-0.0004436103.2902.06580.001637103.2112.064220.0000238103.1982.06396-0.0002439103.2342.064680.0004840103.2232.064460.0002641103.1982.06396-0.0002442103.2192