上海市長(zhǎng)寧區(qū)、嘉定區(qū)高三數(shù)學(xué)一模試卷含答案解析

1、2017年上海市長(zhǎng)寧區(qū)、嘉定區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷、填空題(共12小題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分)設(shè)集合 A=刈 x-2| <1 , x R,集合 B=Z, WJ AAB二2.函數(shù)y=sin (xH) ( 3> 0)的最小正周期是冗，貝U二3.設(shè)i為虛數(shù)單位，在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)3C2-i 產(chǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為4.5.若函數(shù)f (x) =log2 (x+1) +a的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4, 1),則實(shí)數(shù)a二已知(a+3b) n展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為 64,n=6.甲、乙兩人從5門不同的選修課中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法

2、有種.7. 若圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2cm,圓心角為270°的扇形，則這個(gè)圓錐的體積為cm3.8.若數(shù)列an的所有項(xiàng)都是正數(shù),且歷+/=n2+3n(n N*),貝9.如圖，在 ABC中，/B=45°D 是 BC邊上的一點(diǎn)，AD=5, AC=7, DC=3,則若函數(shù)f(x)若函數(shù)(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f (x)的值域?yàn)?;是偶函數(shù)，則f (| x| ) =f (x)；若函數(shù)(x)若函數(shù)(x)在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則 f (x)不存在反函數(shù)；存在反函數(shù)11 (x),且f 1 (x)與f (x)不完全相同，則f (x)與f1 (x)圖象的公共點(diǎn)必在直線y=x上;其中

3、真命題的序號(hào)是 .(寫出所有真命題的序號(hào))11 .設(shè)向量怎二(1, - 2), oS= (a, - 1), 0C= ( - b, 0),其中。為坐標(biāo)原點(diǎn),a>0, b>0,若A、B、C三點(diǎn)共線，則工序的最小值為電七12 .如圖，已知正三棱柱 ABC-A1BC1的底面邊長(zhǎng)為2cm,高為5cm, 一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá) A1點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)為cm.二、選擇題(共4小題，每小題5分，滿分20分)13 . &2"是 y 4”的()A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件14 .若無窮等差數(shù)列a的首項(xiàng)a1<0,公

4、差d>0, an的前n項(xiàng)和為S,則以 下結(jié)論中一定正確的是()a. sn單調(diào)遞增b. Sn單調(diào)遞減c. s有最小值d. sn有最大值15.給出下列命題:(1)存在實(shí)數(shù)a使式門十(2)直線x=一了是函數(shù)y=sinx圖象的一條對(duì)稱軸. tu(3) y=cos (cosX) (xCR)的值域是cos1, 1.(4)若a, B都是第一象限角，且a> B,則tan a>tan應(yīng)其中正確命題的題號(hào)為()A. (1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)v916 .如果對(duì)一切實(shí)數(shù)x、y,不等式汗-coSx>asinx-恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值 范圍是()A. (-8,方

5、 B. 3, +oo)C. -2熾 2/2 D. -3, 3三、解答題(共5小題，滿分76分)17 .如圖，已知 AB，平面BCR BC±CD, AD與平面BCD所成的角為30°,且 AB=BC=2(1)求三棱錐A-BCD的體積；(2)設(shè)M為BD的中點(diǎn)，求異面直線AD與CM所成角的大小(結(jié)果用反三角函 數(shù)值表示).運(yùn)18 .在 ABC中，a, b, c分別是角 A, B, C的對(duì)邊，且 8sin22Hgs2A二。 (I)求角A的大??；(II)若 a=/l, b+c=3,求 b 和 c 的值.19 .某地要建造一個(gè)邊長(zhǎng)為2 (單位：km)的正方形市民休閑公園 OABC將其 中

6、的區(qū)域ODC開挖成一個(gè)池塘，如圖建立平面直角坐標(biāo)系后，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1, 2),曲線OD是函數(shù)y=aX2圖象的一部分，對(duì)邊 OA上一點(diǎn)M在區(qū)域OABD內(nèi)作 一次函數(shù)y=kx+b (k>0)的圖象，與線段DB交于點(diǎn)N (點(diǎn)N不與點(diǎn)D重合)， 且線段MN與曲線OD有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,四邊形MABN為綠化風(fēng)景區(qū)： (1)求證：b=¥；(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,用t表示M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)；將四邊形MABN的面 積S表示成關(guān)于t的函數(shù)S=S (t),并求S的最大值.20 .已知函數(shù) f (x) =9x-2a?3x+3:(1)若 a=1, xC0, 1時(shí)，求 f (x)的值域；(2)當(dāng)xC

7、- 1, 1時(shí)，求f (x)的最小值h (a)；(3)是否存在實(shí)數(shù) m、n,同時(shí)滿足下列條件：n>m>3;當(dāng)h (a)的定義域?yàn)?m， n 時(shí)，其值域?yàn)?m2， n2 ，若存在，求出m 、 n 的值，若不存在，請(qǐng)說明理由21 已知無窮數(shù)列 an 的各項(xiàng)都是正數(shù)，其前 n 項(xiàng)和為Sn ， 且滿足：a1=a， rSn=anan+1-1,其中awl,常數(shù)rCN；(1)求證：an+2- an是一個(gè)定值；(2)若數(shù)列an是一個(gè)周期數(shù)列(存在正整數(shù)T,使得對(duì)任意n C N*,都有an+T=an成立，則稱 an 為周期數(shù)列，T 為它的一個(gè)周期，求該數(shù)列的最小周期；(3)若數(shù)列an是各項(xiàng)均為有理數(shù)

8、的等差數(shù)列，cn=2?3n 1 (nN*),問：數(shù)列 cn 中的所有項(xiàng)是否都是數(shù)列 an 中的項(xiàng)？若是，請(qǐng)說明理由，若不是，請(qǐng)舉出反例2017年上海市長(zhǎng)寧區(qū)、嘉定區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、填空題（共12小題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1 .設(shè)集合 A式刈 x-2| <1 , xC R,集合 B=Z,則 AAB= 2.【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算.【分析】利用交集定義求解.【解答】解：|x- 2| <1,即-1<x-2<1,解得 1<x< 3,即 A= （1, 3）,集合B=Z,則 AH B=2,故答案為：22 .函數(shù)y=sin （x-

9、2）（0）的最小正周期是 陽則二2 .【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象.【分析】根據(jù)三角函數(shù)的周期性及其求法即可求值.【解答】解：= y=sin （x一生）（>0）,T=- -陽 =2故答案是：2.3.設(shè)i為虛數(shù)單位，在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)E對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為 二 （2-1 ）【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出.席萬/ 席萬 一局，333（3+4i）9+l£i 一,.,912.【斛m 斛：旻數(shù) Qi產(chǎn)=3-4i =C-&Dl3+4i） = 25 對(duì)應(yīng)的八'、'而'遠(yuǎn)"）至原點(diǎn)的距離臉尸+

10、碟）三.故答案為：4 .若函數(shù)f (x) =log2 (x+1) +a的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,1),則實(shí)數(shù)a= 3【考點(diǎn)】反函數(shù).【分析】由題意可得函數(shù)f (x) =log2 (x+1) +a過(1, 4),代入求得a的值.【解答】解：函數(shù)f (x) =log2 (x+1) +a的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4, 1),即函數(shù)f (x) =log2 (x+1) +a的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,4),4=log2 (1+1) +a4=1+a,a=3.故答案為：3.5 .已知(a+3b) n展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為64,貝U n= 6 .【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).【分析】令二項(xiàng)式中的a=b

11、=1得到展開式中的各項(xiàng)系數(shù)的和，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和 公式得到各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和2n,據(jù)已知列出方程求出n的值.【解答】解：令二項(xiàng)式中的a=b=1得到展開式中的各項(xiàng)系數(shù)的和 4n又各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n據(jù)題意得一解得n=6.*故答案：66 .甲、乙兩人從5門不同的選修課中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有 60種.【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題.【分析】間接法：先求所有兩人各選修2門的種數(shù)，冉求兩人所選兩門都相 同與都不同的種數(shù)，作差可得答案.【解答】解：根據(jù)題意，采用間接法：由題意可得，所有兩人各選修 2門的種數(shù)C52C52=100,兩人所選兩門都相同的有為 C52=10種

12、，都不同的種數(shù)為C52C32=30, 故只恰好有1門相同的選法有100- 10- 30=60種.故答案為60.7 .若圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為 2cm,圓心角為270。的扇形，則這個(gè)圓錐的體積為cm3 .?【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺(tái)).【分析】利用圓錐的側(cè)面展開圖中扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)可得底面半徑，進(jìn)而求出圓錐的高，代入圓錐體積公式，可得答案.【解答】解：設(shè)此圓錐的底面半徑為r,由題意，得：C 3 c2 兀 ry ttX 2,解得r二.故圓錐的高h(yuǎn)=«3|亭，圓錐的體積丫卷九2h金，Tlcm3.故答案為：元8.若數(shù)列an的所有項(xiàng)都是正數(shù)，且百+r"Qn2+3n

13、(n N*),叫 lyi【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；極限及其運(yùn)算.【分析】利用數(shù)列遞推關(guān)系可得an,再利用等差數(shù)列的求和公式、極限的運(yùn)算性 質(zhì)即可得出.【解答】解：- 77+2+, , +/n=n2+3n(n N*), /. n=1 時(shí),F7 =4,解得 ai=16. n2 時(shí)，且 J & i+七+ , +j 1 = (n 1) 2+3 (n - 1),可得：= =2n+2, an=4 (n+1) 2.2 yl=4 (n+1).n+1n(2+n+l).母=母_J=2. lim工(力一2故答案為：2.9 .如圖，在 ABC中，/B=45°, D 是 BC邊上的一點(diǎn)，AD=5, AC=7

14、, DC=3,則【分析】先根據(jù)余弦定理求出/ ADC的值，即可得到/ADB的值，最后根據(jù)正弦 定理可得答案.【解答】解：在4ADC中，AD=5, AC=7, DC=3, 由余弦定理得cos/ ADC典與需滑！二-二， ./ADC=120, /ADB=60在 ABD中，AD=5, /B=45, / ADB=60 ,由正弦定理得忌匕端，AB=故答案為：平.10 .有以下命題：若函數(shù)f (x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f (x)的值域?yàn)?;若函數(shù)f (x)是偶函數(shù)，則f (|x|) =f (x)；若函數(shù)f (x)在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則 f (x)不存在反函數(shù)；若函數(shù)f (x)存在反函數(shù)f1 (x

15、),且f1 (x)與f (x)不完全相同，則f (x) 與f1 (x)圖象的公共點(diǎn)必在直線y=x上；其中真命題的序號(hào)是 .(寫出所有真命題的序號(hào))【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【分析】函數(shù)f (x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f (x) =0.利用偶函數(shù)的定 義和性質(zhì)判斷.利用單調(diào)函數(shù)的定義進(jìn)行判斷.利用反函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.【解答】解：若函數(shù)f (x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f (x) =0,為常數(shù)函數(shù)， 所以f (x)的值域是0,所以正確.若函數(shù)為偶函數(shù)，則f (- x) =f (x),所以f (|x|) =f (x)成立，所以正確.因?yàn)楹瘮?shù)f (x)二在定義域上不單調(diào)，但函數(shù)f

16、 (x)存在反函數(shù)，所以錯(cuò) 誤.原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于直線 y=x對(duì)稱，但不一定在直線y=x上, 比如函數(shù)y= -Wx+l與其反函數(shù)y=x2- 1 (x<0)的交點(diǎn)坐標(biāo)有(-1,0), (0, 1), 顯然交點(diǎn)不在直線y=x上，所以錯(cuò)誤.故答案為：.11 .設(shè)向量怎二(1, -2)，在二(a, - 1), 0C= ( - b, 0),其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，1 2a>0, b>0,若A、B、C三點(diǎn)共線，則三年的最小值為 8 .【考點(diǎn)】基本不等式.【分析】A、B、C三點(diǎn)共線，則又5=嬴，化簡(jiǎn)可得2a+b=1.根據(jù)一十二(3十一) (2a+b),利用基本不等式求得它的最小值

17、【解答】解：向量！51= (1, - 2), oE= (a, - 1), 0C= ( - b, 0),其中。為坐 標(biāo)原點(diǎn)，a>0, b>0,|S=ciE- 0A= (a-1, 1),正=52-位=(-b- 1, 2),A、B、C三點(diǎn)共線，.,屈=標(biāo)，(a-l-入(-卜-1)解得 2a+b=1,；+=(+T-) (2a+b) =2+2+>4+2,"忑=8,當(dāng)且僅當(dāng) a=r , b=j-,a b aba o , a b42取等號(hào)，故ge的最小值為8, 故答案為：812 .如圖，已知正三棱柱 ABC-A1BC1的底面邊長(zhǎng)為2cm,高為5cm, 一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱

18、的側(cè)面繞行兩周到達(dá) A1點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)為 13 cm.【考點(diǎn)】多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題.【分析】將三棱柱展開兩次如圖，不難發(fā)現(xiàn)最短距離是六個(gè)矩形對(duì)角線的連線, 正好相當(dāng)于繞三棱柱轉(zhuǎn)兩次的最短路徑.【解答】解：將正三棱柱ABC- A1B1G沿側(cè)棱展開，再拼接一次，其側(cè)面展開圖也即為三棱柱的側(cè)面上由已知求得矩形的長(zhǎng)等于6X2=12,寬等于5,由勾股定理d岳%9=13 故答案為：13.、選擇題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13 .&2”是 “2<4”的（）A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷

19、.【分析】先求出x2<4的充要條件，結(jié)合集合的包含關(guān)系判斷即可.【解答】解：由x2<4,解得：-2Vx<2,故x< 2是x2< 4的必要不充分條件，故選：B.14 .若無窮等差數(shù)列a的首項(xiàng)ai<0,公差d>0, an的前n項(xiàng)和為S,則以 下結(jié)論中一定正確的是()a. sn單調(diào)遞增b. Sn單調(diào)遞減c s有最小值d. sn有最大值【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.【分析】Sn=nai+ ' dWn2+Q|-1)n,利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié) Z Z 1 Z論.【解答】 解：Sn=nai+n d=-Ln2+(1 ny'') n, -

20、4>0,，Sn有最小值.故選：C.15.給出下列命題:(1)存在實(shí)數(shù)a使口本.(2)直線是函數(shù)y=sinx圖象的一條對(duì)稱軸.(3) y=cos (cos% (xCR)的值域是cosi, 1.(4)若a, B都是第一象限角，且 a> B,則tan a>tan自其中正確命題的題號(hào)為()A. (1) (2)B. (2) (3)C. (3) (4)D. (1) (4)【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的定義域和值域；兩角和與差的正弦函數(shù)；正弦函數(shù)的對(duì)稱性； 余弦函數(shù)的定義域和值域.【分析】(1)利用輔助角公式將sinU+gm口二&sin(Q+q-)可判斷(1);(2)根據(jù)函數(shù)y=sinx圖象的

21、對(duì)稱軸方程可判斷(2)；(3)根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可求出y=cos (cosx) (x R)的最大值與最小值，從而可判斷(3)的正誤；(4)用特值法令a, B都是第一象限角，且a> 就可判斷(4).【解答】解：(1) ; sinU口0，' (1)錯(cuò)誤；JT a兀(2) : y=sinx圖象的對(duì)稱軸方程為工二k4+k=1,后,(2)正確；(3)根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可得 y=cos (cosx)的最大值為ymax=COS0=1, ymin=cos (cos1),其值域是cos1, 1, (3)正確；q - JT(4)不妨令CL=：兀，B二Rr,滿足a, B都是第一象限角，且 a>

22、0, 1 tan a TTJ<tan 3 (4)錯(cuò)誤；故選B. .v c916.如果對(duì)一切頭數(shù)x、y,不等式工-cos2xasinx-恒成立，則頭數(shù)a的取值范圍是()A.(-%看 B. 3, +oo)c - 2/2, 2/2 D. -3, 3【考點(diǎn)】函數(shù)包成立問題.【分析】 將不等式看-cosx>asinx-?恒成立轉(zhuǎn)化為：母asinx+1 - sin2x包成 v 9立，構(gòu)造函數(shù)f (y)號(hào)q,利用基本不等式可求得f (y) min=3,于是問題轉(zhuǎn)化為 asinx- sin2x< 2 包成立.通過對(duì) sinx> 0、sinx< 0、sinx=0三類討論,可求得對(duì)應(yīng)

23、情況下的實(shí)數(shù)a的取值范圍，最后取其交集即可得到答案.T/9v 9【解答】解：？實(shí)數(shù)x、y,不等式彳-cosx>asinx-g恒成立？彳號(hào)asinx+1-sin2x恒成立，令f (y) =f+p貝ij asinx+1 - sin2x< f (y) min 當(dāng) y>0 時(shí)，f (y) =-+>2 =3 (當(dāng)且僅當(dāng) y=6 時(shí)取 "=,f (y) min=3;4 y V 4 y當(dāng)y<0時(shí)，f (y)節(jié)號(hào)0 一 2；(十""?)二 3 (當(dāng)且僅當(dāng)y= -6時(shí)取"=',f(y) max=一 3, f ( y) min 不存在；

24、綜上所述，f (y) min=3.所以，asinx+1 - sin2x<3,即 asinx- sin2x< 2 包成立.I 2 I|9若 sinx>0, a<sinx+-恒成立，令 sinx=t,貝0<t< 1,再令 g (t) =t* (0<t01),則 a& g (t) min.2由于 g' (t) =1 -f<0,2I所以，g (t) =t、在區(qū)間(0, 1上單調(diào)遞減，因此，g (t) min=g (1) =3,所以a<3；2若sinx<0,則a>sinx+，.恒成立,同理可得a> 3；若sinx=0

25、, 002恒成立，故aC R；綜合，-3<a<3,故選：D.三、解答題(共5小題，滿分76分)17.如圖，已知 ABL平面BCR BC±CD, AD與平面BCD所成的角為30°,且 AB=BC=2(1)求三棱錐A-BCD的體積；(2)設(shè)M為BD的中點(diǎn)，求異面直線AD與CM所成角的大小(結(jié)果用反三角函 數(shù)值表示).【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；異面直線及其所成的角.【分析】(1)由AB，平面BCD),彳3CD±¥面ABG由此能求出三棱錐 A-BCD 的體積.(2)以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，過C作平面BCD的垂線為z軸，建 立空間直角

26、坐標(biāo)系，由此能求出異面直線 AD與CM所成角的大小.【解答】解：(1)如圖，因?yàn)锳BL平面BCD,所以AB± CD,又BC± CD,所以CD,平面ABC,因?yàn)锳B,平面BCR AD與平面BCD所成的角為30°,故/ ADB=30,由 AB=BC=2 彳3 AD=4, AC=2/2,BD=/15-4=2/3, CD=J (2V3)2"2=2/2,則 Va BCD=y X SABCD = A3=X5CXCD=M'=-X2X2V2X2=3(2)以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，過C作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則 A (0, 2, 2

27、), D (裾 0, 0), C (0, 0, 0), B (0, 2, 0), M (蛆,1, 0),15= (2日-2, - 2),而=(點(diǎn)，L °),設(shè)異面直線AD與CM所成角為9, 則 cos 00 =arccos異面直線AD與CM所成角的大小為arccogL bC18.在 ABC中，a, b, c分別是角 A, B, C的對(duì)邊，且 8sin2T852A二T . (I)求角A的大??；(II)若 a=& b+c=3,求 b 和 c 的值.【考點(diǎn)】余弦定理；解三角形.【分析】(I)在4ABC中有 B+C=tt- A,由條件可得：41 cos(B+C) 4coS2A+2=7

28、, 解方程求得cosA的值，即可得到A的值.222(II)由余弦定理二白砧二旦及a=/j, b+c=3,解方程組求得b和c的 2 be2化【解答】解：(I)在4ABC中有B+C=l A,由條件可得：4 1 - cos (B+C)- 4cos2A+2=7,又. . cos (B+C) = - cosA, 4cos2A - 4cosA+1=0.解得又(O, 五)，222(II)由3知即(BJ)2f 2二. A Zbc c又&=倔b+c=3,代入得be力.上化H二3 一 %二1 一0二2由2 =匕或19.某地要建造一個(gè)邊長(zhǎng)為2 (單位：km)的正方形市民休閑公園 OABC將其 中的區(qū)域ODC

29、開挖成一個(gè)池塘，如圖建立平面直角坐標(biāo)系后，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1, 2),曲線OD是函數(shù)y=ax2圖象的一部分，對(duì)邊 OA上一點(diǎn)M在區(qū)域OABD內(nèi)作 一次函數(shù)y=kx+b (k>0)的圖象，與線段DB交于點(diǎn)N (點(diǎn)N不與點(diǎn)D重合)， 且線段MN與曲線OD有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,四邊形MABN為綠化風(fēng)景區(qū)： (1)求證：b"號(hào);(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,用t表示M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)；將四邊形MABN的面 積S表示成關(guān)于t的函數(shù)S=S (t),并求S的最大值.DN BXf【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用.【分析】(1)根據(jù)函數(shù)y=ax2過點(diǎn)D,求出解析式y(tǒng)=2x2；由1 2 =0即可證明b=-i;8

30、(2)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(t, 2t2),代入直線MN的方程，用t表示出直線方程為y=4tx-2t2,令y=0,求出M的坐標(biāo)；令y=2求出N的坐標(biāo)；將四邊形MABN的面積S表示成關(guān)于t的函數(shù)S (t),利用基本不等式求出S的最大值.【解答】(1)證明：函數(shù)y=ax2過點(diǎn)D (1, 2),代入計(jì)算得a=2,y=2X2；,消去 y 得 2x2 - kx - b=0,由線段MN與曲線OD有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P, 得 二 ( k) 2 4x2xb=0,解得b二-(2)解：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,則P (t, 2t2)；占P八'、1 J直線MN的方程為y=kx+b, 即 y=kx-i2 kt-=2t2,

31、Q解得k=4t;令y=0,解得x=L-aM (丁，0)；y=4tx 2t2令y=2,解得x1武，小虐殺,2)；將四邊形MABN的面積S表示成關(guān)于t的函數(shù)為S=S(t) =2X2-X2X+ e+-) =4-。仔)；由t+2?jr=/2,當(dāng)且僅當(dāng)t=*,即tW時(shí)“我立，所以S04-2叵即S的最大值是4-退.20.已知函數(shù) f (x) =9x 2a?3x+3:(1)若 a=1, xC0, 1時(shí)，求 f (x)的值域；(2)當(dāng)xC - 1, 1時(shí)，求f (x)的最小值h (a);(3)是否存在實(shí)數(shù) m、n,同時(shí)滿足下列條件：n>m>3;當(dāng)h (a)的定 義域?yàn)閙, n時(shí)，其值域?yàn)閙2, n

32、2,若存在，求出m、n的值，若不存在， 請(qǐng)說明理由.【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義；函數(shù)的值域.【分析】(1)設(shè)t=3x,則小(t) =t2-2at+3= (t-a) 2+3-a2,小(t)的對(duì)稱軸為 t=a,當(dāng)a=1時(shí)，即可求出f (x)的值域；(2)由函數(shù)小(t)的對(duì)稱軸為t=a,分類討論當(dāng)a<二時(shí)，當(dāng)上0203時(shí)，當(dāng)a J>3時(shí)，求出最小值，則h (a)的表達(dá)式可求；(3)假設(shè)滿足題意的m, n存在，函數(shù)h (a)在(3, +oo)上是減函數(shù)，求出 h (a)的定義域，值域，然后列出不等式組，求解與已知矛盾，即可得到結(jié)論.【解答】解：(1)二.函數(shù) f(x) =9x- 2a?

33、3x+3,設(shè) t=3x, te 1, 3,貝 小(t) =t2 - 2at+3= (t-a) 2+3 - a2,對(duì)稱軸為 t=a.當(dāng) a=1 時(shí)，小(t) = (t-1) 2+2 在1, 3遞增,日(t) e 小(1),小(3),函數(shù)f (x)的值域是：2, 6;(H ) ;函數(shù)小(t)的對(duì)稱軸為t=a,當(dāng) xe 1, 1時(shí)，te 等 3,當(dāng) a<：時(shí),ymin=h (a) =(|)JA, 28 2a (3)=g當(dāng)弓&a&3 時(shí)，ymin=h (a) =()(a) =3- a2;當(dāng) a>3 時(shí)，ymin=h (a) =(J) (3) =12 6a.28 2a/19 33宜<312-6aj 己>3(m)假設(shè)滿足題意的m函數(shù) h (a)在(3, +8又h (a)的定義域?yàn)閙,n,值域?yàn)閙2, n2,n 存在，. n>m>3, . . h (a) =12 6a, 上是減函數(shù).f712-6ith n -則2,12-6n=iBZ兩式相減得 6(n-m) = (n-m) ? (m+n),又. n>m>3,.m nw0,