上海市徐匯區(qū)-高三第一學期學習能力診斷-數(shù)學理試卷

1、三第一學期學習能力診斷-數(shù)學 理試卷上海市徐匯區(qū)2014-2015學年高三第一學期學習能力診斷數(shù)學理試卷一.填空題(本大題滿分56分)本大題共有14題，考生應在答題紙相應編號 的空格內直接填寫結果，每個空格填對得4分，否則一律得0分.1 sin 0 =, 貝!| cos 26 =2.若實數(shù)“滿足xy = 4 ,貝！| x2 + 4y2 的最小值 為.3.設,是虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足(2 + i) z = 5 ,則4 .函數(shù)f(x) = x2 - 2(x < 0)的反函數(shù)尸(A) =5.若拋物線產(chǎn)2川的焦點與雙曲線1白1的右焦 點重合，則該拋物線的準線方程為4,6若正四棱柱A8CQ A向GR

2、的底面邊長為2,高為則異面直線改與短所成角的大小是.(結果用反三角函數(shù)值表示)7 .設數(shù)列凡的前項和為s.,若 = 一則的通項公式Y+l 18 .若全集八H,不等式，心I的解集為力，則1 XQ/ -9.已知圓C:(-1)2+(j-1)2=2, 方向向量Z = (i,i)的直線/過點 尸4),C上的點到直線,的距離的最大10.如圖：在梯形ABCD 9 ADHBC 且值為AD=-BC， AC與 如相交于O,設 2AB = a , DC = b , 用£花表示的，則BO-11 已知函數(shù)/(x) =2sin(2 X+£ ，將y=fM 的圖像向左 6平移p(0力") 個單位

3、后得到函數(shù)y = g(x)的 圖像.若j，= g(x)的圖像上各最高點到點(Q3)的 距離的最小值為I,貝卜的值為.12 .已知函數(shù)工(X)= l + ： + (：)2+包+ 2 "：(X + 1),其中 222 if + 2015 e N，當 = 1, Z3,時,的零點依次記作Xif X2, 則limx =,Too13 .在平面直角坐標系中，對于函數(shù)”“X)的圖 像上不重合的兩點48,若48關于原點對稱，則 稱點對(48)是函數(shù)片,的一組“奇點對”(規(guī)定(A3)與(及A)是相同的“奇點對”),函數(shù) “力5(x>0)的“奇點對”的組數(shù)是.sin x (x< 0)14 .設

4、集合A = (xpx2,x3,-,x10)Lv,. e-l,0,l,z = l,2,3,-J0), 則集 合A中滿足條件-小|+|+|即+.+即|工9”的元素個 數(shù)為.二.選擇題(本大題滿分20分)本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案, 考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得0分.15 . “心廣是“實系數(shù)一元二次方程八二。有4虛數(shù)根”的()(A ) 充分非必要條件 (B)必要非充分條件(C ) 充分必要條件 (D)既非充分又非必要條件16 .已知，"和"是兩條不同的直線，a和夕是兩個不重合的平面，則下列給出的條 件中一定能推出，夕的

5、是 ()(A) a_L 4且,(B) a ±/3 S.)n/a(C)，”/"且，i_L/(D) m LnS.nl! p17 .某電商在“雙十一”期間用電子支付系統(tǒng)進 行商品買賣，全部商品共有”類(“一,),分別 編號為1,2,，買家共有加名(meN'mcw),分別 編號為若牖密XX器品,則同時購買第1類和第2類商品的人數(shù)是()(A)町 +%2+ %”+"21 +。22+ % (B)(D)町 + % + + ”向 + a2 + %2 + am2(C ) %+ 42M22 + + amam2Cta2 + a2Ct22 +- , + ama2m18 .對于方程為

6、占+占=1的曲線C給出以下三個Ixl I y I命題：(1)曲線C關于原點中心對稱；(2)曲線c既關于i軸對稱，也關于)，軸對稱，且軸和)軸是曲線c僅有的兩條對稱軸；(3)若分別在第一、第二、第三、第四象限的 點M,N£,Q都在曲線c上，則四邊形MNPQ每 一條邊的邊長都大于2.其中正確的命題是()(A) (1) (2)(B) (1) (3)(C) (2)(3)(D) (1) (2) (3)三.解答題(本大題滿分74分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙 相應編號的規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟.19.(本題滿分12分)本題共有2個小題，第1 小題滿分4分，第2小題滿分8分.已知函數(shù)

7、=且122(1)求A的值;(2)若/(。)+ f(-0) = 1 , e e (0, g), 求 fd 乃6)20 .（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1 小題滿分6分，第2小題滿分8分.已知函數(shù)fM = 2x+k-2-x（keR）.（1）若函數(shù)人）為奇函數(shù)，求k的值；（2）若函數(shù)/在（2上為減函數(shù)，求k的取2L （本題滿分14分）本題共有2個小題，第1 小題滿分8分，第2小題滿分6分.如圖所示，某傳動裝置由兩個陀螺4組成,陀螺之間沒有滑動.每個陀螺都由具有公共軸的錐和圓柱兩個部分構成,每個圓柱的底面半徑和高都是相應圓錐底面半徑的;，且工Z的軸相互垂直，它們相接觸的直線與乙的軸所成角&qu

8、ot;arctan9若陀螺7；中圓錐的底面半徑為r（r>0）<（1）求陀螺7；的體積;（2）當陀螺4轉動一圈時，陀螺中圓錐底面周上一點P轉動到點小求P與匕之間的距離.22 .（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1 小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿 分6分.已知橢圓/：£+）=（常數(shù)的左頂點為點 。一4。,1）,8（一。/）, 。為坐標原點.nr + n（1）若p是橢圓/上任意一點，OP = mOA + nOB， 求 的值;（2）設。是橢圓7上任意一點， S（3a,0）, 求5次的取值范圍;（3）設M（再,凹）,'*2，%）是橢圓/上的兩個動點，滿足試探

9、究'OMN 的面積是否為定值，說明理由.23 .（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1 小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿 分8分.已知有窮數(shù)列%各項均不相等，將4的項 從大到小重新排序后相應的項數(shù)構成新數(shù)列,稱p,J為的“序數(shù)列”.例如數(shù)列： y 滿 足2,則其序數(shù)列“為1，3,2.（1）寫出公差為，。）的等差數(shù)列的序數(shù) 列“;（2）若項數(shù)不少于5項的有窮數(shù)列出人k的通項公式分別是=".（ "N/ ）,q = f 2 +加（”N-），且血的序數(shù)列與七的序數(shù) 列相同，求實數(shù)，的取值范圍;（3）若有窮數(shù)列滿足4=1，14川-4"= （；）"

10、;（小）,且仆）%的序數(shù)列單調遞增,求數(shù)列&的通項公式.理科參考答案一、填空題：(每題4分)1. L 2. 163.卡 4.255. x = 26 arctan"7# 凡=< ").23"-,N2”Ny/x + 2(x > -2)8.(-to9. 3點10. 士占3314.5802411-12.-313.3二、選擇題：（每題5分）15. B 16. C 17. C 18.B三、解答題19、解:（1） /第）= Asin第十=梟24810/. A = >/3 ；(2) /(夕)+ 0=有 sin(8 + ,) + 0sin(Y +a)=方/

11、.(sin 0 + cos 0) +(sin 04-cos 0) = , «65娓COS e = 3 , COS 0 =9 24又ee(0§，sin0 = Vlcos2 0 =,y(| - 0)= 73 sin( - <9) = 73 sin <9 =125 20、解：（1）公）+ /（-刈=伏 + 1）（2、+27） = 0對一切的xwR成立，4，所以R=T6，若k<0 9 則函數(shù)?。┰冢?2單調遞增（舍）8，當Q0時，令/ = 2、40,4,9,則函數(shù)：在（。川上單調遞減所以41,即攵之161013,14，21、解：(1)設陀螺心圓錐的高為力，則即h

12、3,3 h = r2得陀螺心r3vn丫 r1V. =7t - - = nr卜3) 3 272柱的底面半徑和高為 35229nr548(2)設陀螺刀圓錐底面圓心為。,則 PR = 2H得10OP在APOR中922、解：pP=6op = W(1 ) OP = mOA + nOB = (manajn+n) f14P (ma-na, m + n)2'("?一+(? + =1 , 即 m2 +n =-24(2)設Q(x,y)，則QS QR = (3a-x,-y)(-a-x,-y)= (x-3a)(x + a) + y2 =(x-3t/)(x + «) + l -=；x* 2a

13、x +1 - 3。 cr、 A (3、2 A 4 A 7cr - a 4。-46/ + 1/, , 、= x；-a<x<a) 才I6由。> 1 ,> acr - 1A當時,o ； 8當時，-Acr ； 即 QSQR 的 取5，。(3 )(解法一 生=，Xj%2cr平方得評=心,)gp x12 +x22 =a25刈加=：卜跖一士乃|乙= 1VA12>22+V>12-2V2)V,21 / >> acr -1TQSQR最大值為QSQR 最小值為 9值范圍為 ,10)由條件得， .“II522 =(tZ2-V)(6/2-X22), 12 13工"

14、;一與)+/2(1一%)+幺乎_2 Vcracr15,故 OMN 的面積為定值162（解法二）當直線MN的斜率不存在時，易得OMN 的面積為一IV2當直線MN的斜率存在時，設直線的方程為y = kx + t廠 2 -一 =（1 + 2卜2+2k/a2x + cJ（產(chǎn)-1） = 0 y = kx + t12可得百十七=二米邛2 =1 + C"（J） + a2k2t2-a2k2 + a2k2yy2 =（點1 +，）（公: +。= A。%/? +內（工+x2）x + /2 =又k0M -v = = -T，可得xAx2 a2產(chǎn)=n2k2+l13因犬J MN = Jl + 二也一引， 14&#

15、39;點。到直線 MN的距離H 15Ji+GS“w=' 一石|=?."（再+均）2_4$&=?. J4"，+"，:，2 '）=9綜上：AOMN的面積為定值a223、解：當.165">0時，序數(shù)列出）4 Vo 時1,2,，”一1,（2）因為%a=（.三也 當 =1時，易得打>仇，數(shù) 0出45當 2 2 時，% < bn 92又因b3 =3-(1)3 f bA =4-(1)4 f b4 <bx<b3 92即 Z?2 > Z?3 > Z?! > Z?4 > > b ,8'10故數(shù)列僅的序數(shù)列2,3，1，4，7? f 所以對于數(shù)列%有2</白 解得： 4<r <5（3）由于mq的序數(shù)列單調遞減，因此mq是遞增數(shù)列，故”2fH4 > °， 丁