實數(shù)典型例題(培優(yōu))18頁

1、實數(shù)典型問題精析（培優(yōu)）例1（2009年烏魯木齊市中考題）的相反數(shù)是（ ）A BC D分析：本題考查實數(shù)的概念相反數(shù)，要注意相反數(shù)與倒數(shù)的區(qū)別，實數(shù)a的相反數(shù)是-a，選A.要謹防將相反數(shù)誤認為倒數(shù)，錯選D.例2（2009年江蘇省中考題）下面是按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：第1個數(shù)：；第2個數(shù)：；第3個數(shù)：；第個數(shù)：那么，在第10個數(shù)、第11個數(shù)、第12個數(shù)、第13個數(shù)中，最大的數(shù)是（A ）A第10個數(shù)B第11個數(shù)C第12個數(shù)D第13個數(shù)解析：許多考生對本題不選或亂選，究其原因是被復雜的運算式子嚇住了，不善于從復雜的式子中尋找出規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律來作出正確的判斷.也有一些考生盡管做對了，但是通過寫出第10

2、個數(shù)、第11個數(shù)、第12個數(shù)、第13個數(shù)的結(jié)果后比較而得出答案的，費時費力，影響了后面試題的解答，造成了隱性失分.本題貌似復雜，其實只要認真觀察，就會發(fā)現(xiàn)，從第二個數(shù)開始，減數(shù)中的因數(shù)是成對增加的，且增加的每一對數(shù)都是互為倒數(shù)，所以這些數(shù)的減數(shù)都是，只要比較被減數(shù)即可，即比較的大小，答案一目了然.例3（荊門市）定義aba2b，則(12)3.解因為aba2b，所以(12)3(122)3(1)3(1)232.故應(yīng)填上2. 說明：求解新定義的運算時一定要弄清楚定義的含義，注意新定義的運算符號與有理數(shù)運算符號之間的關(guān)系，及時地將新定義的運算符號轉(zhuǎn)化成有理數(shù)的運算符號.例4（河北省）古希臘著名的畢達哥拉

3、斯學派把1、3、6、10、，這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1、4、9、16、，這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”.從如圖所示中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰“三角形數(shù)”之和.下列等式中，符合這一規(guī)律的是（ ）A.133+10B.259+16C.3615+21D.4918+314=1+3 9=3+6 16=6+10解因為15和21是相鄰的兩個“三角形數(shù)”，且和又是36，剛好符合“正方形數(shù)”，所以3615+21符合題意，故應(yīng)選C.（說明本題容易錯選B，事實上，25雖然是“正方形數(shù)”，而9和16也是“正方形數(shù)”，并不是兩個相鄰“三角形數(shù)”）.例5（2009年荊門市中考題）若，則xy的

4、值為（ ）A1 B1 C2 D3分析：因為x-10，1-x 0，所以x1，x 1，即x1.而由，有1+y0，所以y-1，xy1-（1）2.例6（2009年宜賓市中考題）已知數(shù)據(jù)：，2其中無理數(shù)出現(xiàn)的頻率為( )A20 B40 C60 D80分析：，和開方開不盡的數(shù)，所以和都是無理數(shù)；是無限不循環(huán)小數(shù)，也是無理數(shù)；而，-2都是有理數(shù)，所以無理數(shù)出現(xiàn)的頻率為0.660，選C例7為了求的值，可令S，則2S ，因此2S-S，所以仿照以上推理計算出的值是（ ）A B. C. D.解析：本題通過閱讀理解的形式介紹了解決一類有理數(shù)運算問題的方法，利用例題介紹的方法，有：設(shè)S，則5S，因此5S-S-1，所以S

5、，選D.說明：你能從中得到解決這類問題的一般性規(guī)律嗎？試一試.例8 （2009年棗莊市中考題）a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)如：2的差倒數(shù)是，的差倒數(shù)是已知，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，依此類推，則 解析：首先要理解差倒數(shù)的概念，再按照要求寫出一列數(shù)，從中找出規(guī)律，再應(yīng)用規(guī)律來解決問題.根據(jù)題意可得到：，4，可見這是一個無限循環(huán)的數(shù)列，其循環(huán)周期為3，而2009669×3+2，所以a2009與a2相同，即典型例題的探索（利用概念）例3. 已知：是的算術(shù)數(shù)平方根，是立方根，求的平方根。分析：由算術(shù)平方根及立方根的意義可知聯(lián)立<1><2>解方程組

6、，得：代入已知條件得：，所以故MN的平方根是±。練習：1. 已知，求的算術(shù)平方根與立方根。2. 若一個正數(shù)a的兩個平方根分別為和，求的值。（大小比較）例4. 比較的大小。分析：要比較的大小，必須搞清a的取值范圍，由知，由知，綜合得，此時仍無法比較，為此可將a的取值分別為；三種情況進行討論，各個擊破。當時，取，則，顯然有當時，當時，仿取特殊值可得例5. 已知有理數(shù)a滿足，求的值。分析：觀察表達式中的隱含條件，被開方數(shù)應(yīng)為非負數(shù)即，亦即，故原已知式可化為：練習： 若x、y、m適合關(guān)系式，試求m的值。（思路：x-2005+y與2005-x-y互為相反數(shù)，且均有算術(shù)平方根，故二者分別為0）（

7、規(guī)律探索）例6. 借助計算器計算下列各題：（1）（2）（3）（4）仔細觀察上面幾道題及其計算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你能解釋這一規(guī)律嗎？分析：利用計算器計算得：（1），（2）（3），（4）觀察上述各式的結(jié)果，容易猜想其中的規(guī)律為：個1與n個2組成的數(shù)的差的算術(shù)平方根等于n個3組成的數(shù)。即實數(shù)思想方法小結(jié)實數(shù)是整個數(shù)學學科的基礎(chǔ)，對于初學者來講，有些概念比較抽象、難懂，但是，如果我們運用數(shù)學的思想方法來指導本章的學習，卻會收到良好的效果那么，在本章中有哪些重要思想方法呢？一、估算思想估算能力是一種重要的數(shù)學思維方法，估算思想就是在處理問題時，采用估算的方法達到問題解決的目的，在遇到無理數(shù)的大小比

8、較或確定無理數(shù)的范圍等問題時，常用到估算的方法進行解決。例1估計1的值是（ ）（A）在2和3之間（B）在3和4之間（C）在4和5之間（D）在5和6之間分析：此題主要考查學生的估算能力，首先要確定的取值范圍，在估算1的取值范圍。因為91016，所以，即34，4+15，從而可確定1的取值范圍。解：選C.二、數(shù)形結(jié)合思想所謂數(shù)形結(jié)合就是抓住數(shù)與形之間本質(zhì)上的聯(lián)系，將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來的一種方法。通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而達到優(yōu)化解題的目的。在數(shù)軸上表示實數(shù)，根據(jù)數(shù)軸上的數(shù)進行有關(guān)的計算等都能體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的重要作用。例2如圖1，數(shù)軸上點表

9、示，點關(guān)于原點的對稱點為，設(shè)點所表示的數(shù)為，求的值分析：此題是與數(shù)軸有關(guān)的數(shù)形結(jié)合的問題，要求的值，需要先根據(jù)數(shù)軸確定x的值，由數(shù)軸易得 從而可求出代數(shù)式的值。解：點表示的數(shù)是，且點與點關(guān)于原點對稱，點表示的數(shù)是，即三、分類思想所謂分類討論思想就是按照一定的標準，把研究對象分成為數(shù)不多的幾個部分或幾種情況，然后逐個加以解決，最后予以總結(jié)做出結(jié)論的思想方法。按照不同的標準，實數(shù)會有一些不同的分類方法。例3在所給的數(shù)據(jù):0.585885888588885(相鄰兩個5之間8的個數(shù)逐次增加1個)其中無理數(shù)個數(shù)( ).(A)2個 (B)3 (C)4個 (D)5個解析：作此類題需要掌握實數(shù)的分類.判斷一個

10、數(shù)是哪類數(shù)，可以化簡后再判斷，但是對于代數(shù)式分類判斷，則不能化簡后再判斷，如是分式，對于數(shù)、式分類時，常用策略是：“數(shù)看結(jié)果，式看形式”.；顯然、0.57都是有理數(shù);所以無理數(shù)的個數(shù)為3.選B.解釋理由如下：平方根典例分析平方根是學習實數(shù)的準備知識，是以后學習一元二次方程等知識的必備基礎(chǔ)，也是中考的必考內(nèi)容之一.現(xiàn)以幾道典型題目為例談?wù)勂椒礁鶈栴}的解法，供同學們學習時參考.一、基本題型例1 求下列各數(shù)的算術(shù)平方根（1）；（2）；（3）.分析：根據(jù)算術(shù)平方根的定義，求一個數(shù)的算術(shù)平方根可轉(zhuǎn)化為求一個數(shù)的平方等于的運算，更具體地說，就是找出平方后等于的正數(shù).解：（1）因為，所以的算術(shù)平方根是，即；

11、（2）因為，所以的算術(shù)平方根是，即；（3）因為，又，所以的算術(shù)平方根是，即.點評：這類問題應(yīng)按算術(shù)平方根的定義去求.要注意的算術(shù)平方根是3，而不是3.另外，當這個數(shù)是帶分數(shù)時，應(yīng)先化為假分數(shù)，然后再求其算術(shù)平方根，不要出現(xiàn)類似的錯誤.想一想：如果把例1改為：求下列各數(shù)的平方根.你會解嗎？請試一試.例2 求下列各式的值（1）； （2）； （3）； （4）.分析：±表示的平方根，故其結(jié)果是一對互為相反數(shù)；表示的負平方根，故其結(jié)果是負數(shù)；表示的算術(shù)平方根，故其結(jié)果是正數(shù)；表示的算術(shù)平方根，故其結(jié)果必為正數(shù).解：（1）因為，所以±=±9.（2）因為，所以.（3）因為=，所

12、以=.（4）因為，所以.點評：弄清與平方根有關(guān)的三種符號±、的意義是解決這類問題的關(guān)鍵.±表示非負數(shù)的平方根.表示非負數(shù)的算術(shù)平方根，表示非負數(shù)的負平方根.注意±.在具體解題時，符與“”的前面是什么符號，其計算結(jié)果也就是什么符號，既不能漏掉，也不能多添.例3 若數(shù)的平方根是和，求的值.分析：因負數(shù)沒有平方根，故必為非負數(shù)，故本題應(yīng)分兩種情況來解.解： 因為負數(shù)沒有平方根，故必為非負數(shù).（1）當為正數(shù)時，其平方根互為相反數(shù)，故（）+（）=，解得，故=，從而.（2）當為時，其平方根仍是，故且，此時兩方程聯(lián)立無解.綜上所述，的值是.二、創(chuàng)新題型例4 先閱讀所給材料，再解

13、答下列問題：若與同時成立，則的值應(yīng)是多少？有下面的解題過程：和都是算術(shù)平方根，故兩者的被開方數(shù)都是非負數(shù),而和是互為相反數(shù). 兩個非負數(shù)互為相反數(shù)，只有一種情形成立，那就是它們都等于0，即=0，=0，故.問題：已知求的值.解：由閱讀材料提供的信息，可得故. 進而可得.故=.點評：這是一道閱讀理解題.解這類問題首先要認真閱讀題目所給的材料，總結(jié)出正確的結(jié)論，然后用所得的結(jié)論解決問題.（穿墻術(shù)）例5 請你認真觀察下面各個式子，然后根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第、個式子.；.分析：要寫出第、個式子，就要知道它們的被開方數(shù)分別是什么，為此應(yīng)認真觀察所給式子的特點.通過觀察，發(fā)現(xiàn)前面三個式子的被開方數(shù)分別是序數(shù)

14、乘以16得到的，故第、個式子的被開方數(shù)應(yīng)該分別是64和80.解：；.點評：這是一個探究性問題，也是一道發(fā)展數(shù)感的好題，它主要考查觀察、歸納、概括的能力解這類題需注意分析題目所給的每個式子的特點，然后從特殊的例子，推廣到一般的結(jié)論，這是數(shù)學中常用的方法，同學們應(yīng)多多體會，好好掌握！平方根概念解題的幾個技巧平方根在解題中有著重要的應(yīng)用.同學們想必已經(jīng)知到.但是,今天要告訴同學們的是它的幾個巧妙的應(yīng)用.希望對大家的學習有所幫助. 一、巧用被開方數(shù)的非負性求值. 大家知道，當a0時，a的平方根是±，即a是非負數(shù). 例1、若求yx的立方根. 分析 認真觀察此題可以發(fā)現(xiàn)被開方數(shù)為非負數(shù),即2x0

15、,得x2;x20,得x2;進一步可得x=2.從而可求出y=6. 解 , x=2; 當x=2時,y=6.yx=(6)2=36. 所以yx的立方根為. 二、巧用正數(shù)的兩平方根是互為相反數(shù)求值. 我們知道，當a0時，a的平方根是±，而例2、已知：一個正數(shù)的平方根是2a1與2a，求a的平方的相反數(shù)的立方根.分析 由正數(shù)的兩平方根互為相反得:(2a1)+(2a)=0,從而可求出a=1,問題就解決了.解 2a1與2a是一正數(shù)的平方根,(2a1)+(2a)=0, a=1. a的平方的相反數(shù)的立方根是三、巧用算術(shù)平方根的最小值求值.我們已經(jīng)知道,即a=0時其值最小,換句話說的最小值是零.例3、已知：

16、y=,當a、b取不同的值時，y也有不同的值.當y最小時,求ba的非算術(shù)平方根.（即負的平方根）分析 y=,要y最小，就是要和最小，而0，0，顯然是=0和=0，可得a=2,b=1.解 0，0，y=，=0和=0時，y最小.由=0和=0，可得a=2,b=1. 所以ba的非算術(shù)平方根是四、巧用平方根定義解方程.我們已經(jīng)定義:如果x2=a （a0）那么x就叫a的平方根.若從方程的角度觀察,這里的x實際是方程x2=a （a0）的根.例4、解方程（x+1）2=36.分析 把x+1看著是36的平方根即可.解 （x+1）2=36 x+1看著是36的平方根. x+1=±6. x1=5 , x2=7.例4

17、實際上用平方根的定義解了一元二次方程(后來要學的方程).你能否解27(x+1)3=64這個方程呢?不妨試一試.利用平方根的定義及性質(zhì)解題如果一個數(shù)的平方等于a（a0），那么這個數(shù)是a的平方根根據(jù)這個概念，我們可以解決一些和平方根有關(guān)的問題（例1與例2區(qū)別）例1 已知一個數(shù)的平方根是2a1和a11，求這個數(shù)分析：根據(jù)平方根的性質(zhì)知：一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為零解：由2a1+a11=0，得a=4，所以2a1=2×41=7所以這個數(shù)為72=49例2 已知2a1和a11是一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)分析：根據(jù)平方根的定義，可知2a1和a11相等或互為相反數(shù)當2

18、a1=a11時，a=10，所以2a1=21，這時所求得數(shù)為(21)2=441;當2a1+a11=0時,a=4,所以2a1=7,這時所求得數(shù)為72=49.綜上可知所求的數(shù)為49或441.（區(qū)別：類似3是9的平方根，但9的平方根不是3，是+3、-3.）例3 已知2x1的平方根是±6,2x+y1的平方根是±5,求2x3y+11的平方根.分析:因為2x1的平方根是±6,所以2x1=36,所以2x=37;因為2x+y1的平方根是±5,所以2x+y1=25,所以y=262x=11,所以2x3y+11=373×(11)+11=81,因為81的平方根為

19、7;9,所以2x3y+11的平方根為±9.例4 若2m4與3m1是同一個數(shù)的平方根，則m為（ ）（A）3 （B）1 （C）3或1 （D）1分析：本題分為兩種情況：（1）可能這個平方相等，即2m4=3m1，此時，m=3；（2）一個數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，所以（2m4）+（3m1）=0，解得m=1所以選（C） 練一練:1. 已知x的平方根是2a13和3a 2,求x的值.2. 已知2a13和3a2是x的平方根,求x的值3.已知x+2y=10,4x+3y=15,求x+y的平方根.答案:1.49;2. 49或1225; 3.從被開方數(shù)入手二次根式中被開方數(shù)的非負性，時常是求解二次根式

20、問題的重要隱含條件。從被開方數(shù)入手，將會使很多問題迎刃而解。一、確定二次根式有意義例1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）A. B. C. D.分析：二次根式的兩個基本特征是帶二次根號“”，被開方數(shù)必為非負數(shù)。A中被開方數(shù)為負數(shù)；B中不帶“”，而是“”；D中被開方數(shù)的正負無法確定；所以A、B、D都不是或不一定是二次根式。只有C中的被開方數(shù)恒大于0，且?guī)А啊?，故選（C）。例2.x取何值時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義。 分析：使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必有被開方數(shù)大于等于0。如果式子中含有分母，分母不能為0。解：由2，當時，式有意義；由2x10（分母2x10）x ， 當x時，式有意義；由x10

21、，x20，x1且x2 ，當x1且x2時，式有意義；由于( x3)0，x取任何實數(shù)時，式都有意義。二、含有相反數(shù)的被開方數(shù)根式的化簡與求值例3.已知y=，求（xy64）的算術(shù)平方根。分析：由被開方數(shù)x7，7x互為相反數(shù)，且均需滿足被開方數(shù)大于等于0。故x7=7x=0，由此求出x、y。解：由  x77x0，得x=7，y91例4.設(shè)等式在實數(shù)范圍內(nèi)成立。其中，m、x、y是互不相等的三個實數(shù)，求代數(shù)式的值。解：由mxy，xm0，  ym0又被開方數(shù)    xm0 ， my0即ym0即有xm0，ym0而被開方數(shù) m0將m=0代入等式，得 xy0下面兩道練

22、習題，同學們不妨試試。1.x取何值時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義。 2.若y=，試求（4x2y）2010的值。實數(shù)大小進行比較的常用方法實數(shù)的大小比較是中考及數(shù)學競賽中的常見題型，不少同學感到困難。“實數(shù)”是初中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，也是學好其他知識的基礎(chǔ)。為幫助同學們掌握好這部分知識，本文介紹幾種比較實數(shù)大小的常用方法，供同學們參考。方法一：差值比較法 差值比較法的基本思路是設(shè)a，b為任意兩個實數(shù)，先求出a與b的差，再根據(jù)當ab0時，得到ab。當ab0時，得到ab。當ab0，得到a=b。例1：（1）比較與的大小。 （2）比較1與1的大小。解 0 ， 。解 （1）（1）=0 ， 11。方法二：商

23、值比較法 商值比較法的基本思路是設(shè)a，b為任意兩個正實數(shù)，先求出a與b得商。當1時，ab；當1時，ab；當=1時，a=b。來比較a與b的大小。例2：比較與的大小。解：÷=1 方法三：倒數(shù)法 倒數(shù)法的基本思路是設(shè)a，b為任意兩個正實數(shù)，先分別求出a與b的倒數(shù)，再根據(jù)當時，ab。來比較a與b的大小。例3：比較與的大小。解=+ ， =+又+（超綱，不作要求）方法四：平方法 平方法的基本是思路是先將要比較的兩個數(shù)分別平方，再根據(jù)a0，b0時，可由得到ab來比較大小，這種方法常用于比較無理數(shù)的大小。例5：比較與的大小解：， =8+2。又8+28+2 。方法五：估算法估算法的基本是思路是設(shè)a，b

24、為任意兩個正實數(shù)，先估算出a，b兩數(shù)或兩數(shù)中某部分的取值范圍，再進行比較。例4：比較與的大小解：34 31 方法六：移動因式法（穿墻術(shù)）移動因式法的基本是思路是，當a0，b0，若要比較形如a的大小，可先把根號外的因數(shù)a與c平方后移入根號內(nèi)，再根據(jù)被開方數(shù)的大小進行比較。例6：比較2與3的大小解：2=，3=。又2827， 23。方法七：取特值驗證法比較兩個實數(shù)的大小，有時取特殊值會更簡單。例7：當時，的大小順序是_。解：（特殊值法）取=，則：=，=2。2，。例（常德市）設(shè)a20，b(3)2，c，d，則a、b、c、d按由小到大的順序排列正確的是（）A.cadb B.bdac C.acdb D.bc

25、ad分析可以分別求出a、b、c、d的具體值，從而可以比較大小.解因為a201，b(3)29，c，d2，而129，所以cadb.故應(yīng)選A.除以上七種方法外，還有利用數(shù)軸上的點，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；以及絕對值比較法等比較實數(shù)大小的方法。對于不同的問題要靈活用簡便合理的方法來解題。能快速地取得令人滿意的結(jié)果。無限循環(huán)小數(shù)可以化成分數(shù)我們知道小數(shù)分為兩大類：一類是有限小數(shù)，一類是無限小數(shù)而無限小數(shù)又分為兩類：無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)有限小數(shù)都可以表示成十分之幾、百分之幾、千分之幾，很容易化為分數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)即無理數(shù)，它是不能轉(zhuǎn)化成分數(shù)的但無限循環(huán)小數(shù)卻可以化成分數(shù)，下面請看：探索（1）：把0

26、.323232（即0.）化成分數(shù)分析：設(shè)x=0.32+0.0032+0.000032+ 上面的方程兩邊都乘以100得100x=32+0.32+0.0032+0.000032+ 得100xx=32 99x=32 x= 所以0323232= 用同樣方法，我們再探索把0.，0.0化為分數(shù)可知0.= ，0.0=我們把循環(huán)節(jié)從小數(shù)點后第一位開始循環(huán)的小數(shù)叫做純循環(huán)小數(shù)，通過上面的探索可以發(fā)現(xiàn)，純循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)最少位數(shù)是幾，化成分數(shù)的分母就有幾個9組成，分子恰好是一個循環(huán)節(jié)的數(shù)字探索（2）：把0.4777和0.325656化成分數(shù)分析：把小數(shù)乘以10得0.4777×10=4.777 再把小數(shù)乘

27、以100得0.4777×100=47.77 得0.4777×1000.4777×10=47 40.4777×90=43 0.4777= 所以 0.4777= 再分析第二個數(shù)0.325656化成分數(shù)把小數(shù)乘以100得0.325656×100=32.5656 把小數(shù)×10000得0.325656×10000=3256.56 得0.325656×（10000100）=3256320.325656×9900=3224 0.325656=同樣的方法，我們可化0.17=，0. 3=我們把循環(huán)節(jié)不從小數(shù)點后第一位開始循環(huán)的小數(shù)叫做混循環(huán)小數(shù)混循環(huán)小數(shù)化分數(shù)的規(guī)律是：循環(huán)節(jié)的最少位數(shù)是n，分母中就有n個9，第一個循環(huán)節(jié)前有幾位小數(shù)，分母中的9后面就有幾個0，分子是從小數(shù)點后第一位直到第一個循環(huán)節(jié)末尾的數(shù)字組成的數(shù)，減去一個循環(huán)節(jié)數(shù)字的差，例如0.17化成分數(shù)的分子是172517=1708，0. 3化成分數(shù)的分子是3293=326用數(shù)形結(jié)合思想解實數(shù)中問題數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的解題思想方法，它可以使較繁雜或難解的題目由繁變簡，化難為易，出奇制勝，下面舉例說明用數(shù)形結(jié)合思想解實數(shù)中的