實數典型例題(培優(yōu))18頁

1、實數典型問題精析（培優(yōu)）例1（2009年烏魯木齊市中考題）的相反數是（ ）A BC D分析：本題考查實數的概念相反數，要注意相反數與倒數的區(qū)別，實數a的相反數是-a，選A.要謹防將相反數誤認為倒數，錯選D.例2（2009年江蘇省中考題）下面是按一定規(guī)律排列的一列數：第1個數：；第2個數：；第3個數：；第個數：那么，在第10個數、第11個數、第12個數、第13個數中，最大的數是（A ）A第10個數B第11個數C第12個數D第13個數解析：許多考生對本題不選或亂選，究其原因是被復雜的運算式子嚇住了，不善于從復雜的式子中尋找出規(guī)律，應用規(guī)律來作出正確的判斷.也有一些考生盡管做對了，但是通過寫出第10

2、個數、第11個數、第12個數、第13個數的結果后比較而得出答案的，費時費力，影響了后面試題的解答，造成了隱性失分.本題貌似復雜，其實只要認真觀察，就會發(fā)現，從第二個數開始，減數中的因數是成對增加的，且增加的每一對數都是互為倒數，所以這些數的減數都是，只要比較被減數即可，即比較的大小，答案一目了然.例3（荊門市）定義aba2b，則(12)3.解因為aba2b，所以(12)3(122)3(1)3(1)232.故應填上2. 說明：求解新定義的運算時一定要弄清楚定義的含義，注意新定義的運算符號與有理數運算符號之間的關系，及時地將新定義的運算符號轉化成有理數的運算符號.例4（河北?。┕畔ＥD著名的畢達哥拉

3、斯學派把1、3、6、10、，這樣的數稱為“三角形數”，而把1、4、9、16、，這樣的數稱為“正方形數”.從如圖所示中可以發(fā)現，任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之和.下列等式中，符合這一規(guī)律的是（ ）A.133+10B.259+16C.3615+21D.4918+314=1+3 9=3+6 16=6+10解因為15和21是相鄰的兩個“三角形數”，且和又是36，剛好符合“正方形數”，所以3615+21符合題意，故應選C.（說明本題容易錯選B，事實上，25雖然是“正方形數”，而9和16也是“正方形數”，并不是兩個相鄰“三角形數”）.例5（2009年荊門市中考題）若，則xy的

4、值為（ ）A1 B1 C2 D3分析：因為x-10，1-x 0，所以x1，x 1，即x1.而由，有1+y0，所以y-1，xy1-（1）2.例6（2009年宜賓市中考題）已知數據：，2其中無理數出現的頻率為( )A20 B40 C60 D80分析：，和開方開不盡的數，所以和都是無理數；是無限不循環(huán)小數，也是無理數；而，-2都是有理數，所以無理數出現的頻率為0.660，選C例7為了求的值，可令S，則2S ，因此2S-S，所以仿照以上推理計算出的值是（ ）A B. C. D.解析：本題通過閱讀理解的形式介紹了解決一類有理數運算問題的方法，利用例題介紹的方法，有：設S，則5S，因此5S-S-1，所以S

5、，選D.說明：你能從中得到解決這類問題的一般性規(guī)律嗎？試一試.例8 （2009年棗莊市中考題）a是不為1的有理數，我們把稱為a的差倒數如：2的差倒數是，的差倒數是已知，是的差倒數，是的差倒數，是的差倒數，依此類推，則 解析：首先要理解差倒數的概念，再按照要求寫出一列數，從中找出規(guī)律，再應用規(guī)律來解決問題.根據題意可得到：，4，可見這是一個無限循環(huán)的數列，其循環(huán)周期為3，而2009669×3+2，所以a2009與a2相同，即典型例題的探索（利用概念）例3. 已知：是的算術數平方根，是立方根，求的平方根。分析：由算術平方根及立方根的意義可知聯立<1><2>解方程組

6、，得：代入已知條件得：，所以故MN的平方根是±。練習：1. 已知，求的算術平方根與立方根。2. 若一個正數a的兩個平方根分別為和，求的值。（大小比較）例4. 比較的大小。分析：要比較的大小，必須搞清a的取值范圍，由知，由知，綜合得，此時仍無法比較，為此可將a的取值分別為；三種情況進行討論，各個擊破。當時，取，則，顯然有當時，當時，仿取特殊值可得例5. 已知有理數a滿足，求的值。分析：觀察表達式中的隱含條件，被開方數應為非負數即，亦即，故原已知式可化為：練習： 若x、y、m適合關系式，試求m的值。（思路：x-2005+y與2005-x-y互為相反數，且均有算術平方根，故二者分別為0）（

7、規(guī)律探索）例6. 借助計算器計算下列各題：（1）（2）（3）（4）仔細觀察上面幾道題及其計算結果，你能發(fā)現什么規(guī)律？你能解釋這一規(guī)律嗎？分析：利用計算器計算得：（1），（2）（3），（4）觀察上述各式的結果，容易猜想其中的規(guī)律為：個1與n個2組成的數的差的算術平方根等于n個3組成的數。即實數思想方法小結實數是整個數學學科的基礎，對于初學者來講，有些概念比較抽象、難懂，但是，如果我們運用數學的思想方法來指導本章的學習，卻會收到良好的效果那么，在本章中有哪些重要思想方法呢？一、估算思想估算能力是一種重要的數學思維方法，估算思想就是在處理問題時，采用估算的方法達到問題解決的目的，在遇到無理數的大小比

8、較或確定無理數的范圍等問題時，常用到估算的方法進行解決。例1估計1的值是（ ）（A）在2和3之間（B）在3和4之間（C）在4和5之間（D）在5和6之間分析：此題主要考查學生的估算能力，首先要確定的取值范圍，在估算1的取值范圍。因為91016，所以，即34，4+15，從而可確定1的取值范圍。解：選C.二、數形結合思想所謂數形結合就是抓住數與形之間本質上的聯系，將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來的一種方法。通過“以形助數”或“以數解形”，使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而達到優(yōu)化解題的目的。在數軸上表示實數，根據數軸上的數進行有關的計算等都能體現數形結合思想的重要作用。例2如圖1，數軸上點表

9、示，點關于原點的對稱點為，設點所表示的數為，求的值分析：此題是與數軸有關的數形結合的問題，要求的值，需要先根據數軸確定x的值，由數軸易得 從而可求出代數式的值。解：點表示的數是，且點與點關于原點對稱，點表示的數是，即三、分類思想所謂分類討論思想就是按照一定的標準，把研究對象分成為數不多的幾個部分或幾種情況，然后逐個加以解決，最后予以總結做出結論的思想方法。按照不同的標準，實數會有一些不同的分類方法。例3在所給的數據:0.585885888588885(相鄰兩個5之間8的個數逐次增加1個)其中無理數個數( ).(A)2個 (B)3 (C)4個 (D)5個解析：作此類題需要掌握實數的分類.判斷一個

10、數是哪類數，可以化簡后再判斷，但是對于代數式分類判斷，則不能化簡后再判斷，如是分式，對于數、式分類時，常用策略是：“數看結果，式看形式”.；顯然、0.57都是有理數;所以無理數的個數為3.選B.解釋理由如下：平方根典例分析平方根是學習實數的準備知識，是以后學習一元二次方程等知識的必備基礎，也是中考的必考內容之一.現以幾道典型題目為例談談平方根問題的解法，供同學們學習時參考.一、基本題型例1 求下列各數的算術平方根（1）；（2）；（3）.分析：根據算術平方根的定義，求一個數的算術平方根可轉化為求一個數的平方等于的運算，更具體地說，就是找出平方后等于的正數.解：（1）因為，所以的算術平方根是，即；

11、（2）因為，所以的算術平方根是，即；（3）因為，又，所以的算術平方根是，即.點評：這類問題應按算術平方根的定義去求.要注意的算術平方根是3，而不是3.另外，當這個數是帶分數時，應先化為假分數，然后再求其算術平方根，不要出現類似的錯誤.想一想：如果把例1改為：求下列各數的平方根.你會解嗎？請試一試.例2 求下列各式的值（1）； （2）； （3）； （4）.分析：±表示的平方根，故其結果是一對互為相反數；表示的負平方根，故其結果是負數；表示的算術平方根，故其結果是正數；表示的算術平方根，故其結果必為正數.解：（1）因為，所以±=±9.（2）因為，所以.（3）因為=，所

12、以=.（4）因為，所以.點評：弄清與平方根有關的三種符號±、的意義是解決這類問題的關鍵.±表示非負數的平方根.表示非負數的算術平方根，表示非負數的負平方根.注意±.在具體解題時，符與“”的前面是什么符號，其計算結果也就是什么符號，既不能漏掉，也不能多添.例3 若數的平方根是和，求的值.分析：因負數沒有平方根，故必為非負數，故本題應分兩種情況來解.解： 因為負數沒有平方根，故必為非負數.（1）當為正數時，其平方根互為相反數，故（）+（）=，解得，故=，從而.（2）當為時，其平方根仍是，故且，此時兩方程聯立無解.綜上所述，的值是.二、創(chuàng)新題型例4 先閱讀所給材料，再解

13、答下列問題：若與同時成立，則的值應是多少？有下面的解題過程：和都是算術平方根，故兩者的被開方數都是非負數,而和是互為相反數. 兩個非負數互為相反數，只有一種情形成立，那就是它們都等于0，即=0，=0，故.問題：已知求的值.解：由閱讀材料提供的信息，可得故. 進而可得.故=.點評：這是一道閱讀理解題.解這類問題首先要認真閱讀題目所給的材料，總結出正確的結論，然后用所得的結論解決問題.（穿墻術）例5 請你認真觀察下面各個式子，然后根據你發(fā)現的規(guī)律寫出第、個式子.；.分析：要寫出第、個式子，就要知道它們的被開方數分別是什么，為此應認真觀察所給式子的特點.通過觀察，發(fā)現前面三個式子的被開方數分別是序數

14、乘以16得到的，故第、個式子的被開方數應該分別是64和80.解：；.點評：這是一個探究性問題，也是一道發(fā)展數感的好題，它主要考查觀察、歸納、概括的能力解這類題需注意分析題目所給的每個式子的特點，然后從特殊的例子，推廣到一般的結論，這是數學中常用的方法，同學們應多多體會，好好掌握！平方根概念解題的幾個技巧平方根在解題中有著重要的應用.同學們想必已經知到.但是,今天要告訴同學們的是它的幾個巧妙的應用.希望對大家的學習有所幫助. 一、巧用被開方數的非負性求值. 大家知道，當a0時，a的平方根是±，即a是非負數. 例1、若求yx的立方根. 分析 認真觀察此題可以發(fā)現被開方數為非負數,即2x0

15、,得x2;x20,得x2;進一步可得x=2.從而可求出y=6. 解 , x=2; 當x=2時,y=6.yx=(6)2=36. 所以yx的立方根為. 二、巧用正數的兩平方根是互為相反數求值. 我們知道，當a0時，a的平方根是±，而例2、已知：一個正數的平方根是2a1與2a，求a的平方的相反數的立方根.分析 由正數的兩平方根互為相反得:(2a1)+(2a)=0,從而可求出a=1,問題就解決了.解 2a1與2a是一正數的平方根,(2a1)+(2a)=0, a=1. a的平方的相反數的立方根是三、巧用算術平方根的最小值求值.我們已經知道,即a=0時其值最小,換句話說的最小值是零.例3、已知：

16、y=,當a、b取不同的值時，y也有不同的值.當y最小時,求ba的非算術平方根.（即負的平方根）分析 y=,要y最小，就是要和最小，而0，0，顯然是=0和=0，可得a=2,b=1.解 0，0，y=，=0和=0時，y最小.由=0和=0，可得a=2,b=1. 所以ba的非算術平方根是四、巧用平方根定義解方程.我們已經定義:如果x2=a （a0）那么x就叫a的平方根.若從方程的角度觀察,這里的x實際是方程x2=a （a0）的根.例4、解方程（x+1）2=36.分析 把x+1看著是36的平方根即可.解 （x+1）2=36 x+1看著是36的平方根. x+1=±6. x1=5 , x2=7.例4

17、實際上用平方根的定義解了一元二次方程(后來要學的方程).你能否解27(x+1)3=64這個方程呢?不妨試一試.利用平方根的定義及性質解題如果一個數的平方等于a（a0），那么這個數是a的平方根根據這個概念，我們可以解決一些和平方根有關的問題（例1與例2區(qū)別）例1 已知一個數的平方根是2a1和a11，求這個數分析：根據平方根的性質知：一個正數的平方根有兩個，它們互為相反數互為相反數的兩個數的和為零解：由2a1+a11=0，得a=4，所以2a1=2×41=7所以這個數為72=49例2 已知2a1和a11是一個數的平方根，求這個數分析：根據平方根的定義，可知2a1和a11相等或互為相反數當2

18、a1=a11時，a=10，所以2a1=21，這時所求得數為(21)2=441;當2a1+a11=0時,a=4,所以2a1=7,這時所求得數為72=49.綜上可知所求的數為49或441.（區(qū)別：類似3是9的平方根，但9的平方根不是3，是+3、-3.）例3 已知2x1的平方根是±6,2x+y1的平方根是±5,求2x3y+11的平方根.分析:因為2x1的平方根是±6,所以2x1=36,所以2x=37;因為2x+y1的平方根是±5,所以2x+y1=25,所以y=262x=11,所以2x3y+11=373×(11)+11=81,因為81的平方根為

19、7;9,所以2x3y+11的平方根為±9.例4 若2m4與3m1是同一個數的平方根，則m為（ ）（A）3 （B）1 （C）3或1 （D）1分析：本題分為兩種情況：（1）可能這個平方相等，即2m4=3m1，此時，m=3；（2）一個數的平方根有兩個，它們互為相反數，所以（2m4）+（3m1）=0，解得m=1所以選（C） 練一練:1. 已知x的平方根是2a13和3a 2,求x的值.2. 已知2a13和3a2是x的平方根,求x的值3.已知x+2y=10,4x+3y=15,求x+y的平方根.答案:1.49;2. 49或1225; 3.從被開方數入手二次根式中被開方數的非負性，時常是求解二次根式

20、問題的重要隱含條件。從被開方數入手，將會使很多問題迎刃而解。一、確定二次根式有意義例1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）A. B. C. D.分析：二次根式的兩個基本特征是帶二次根號“”，被開方數必為非負數。A中被開方數為負數；B中不帶“”，而是“”；D中被開方數的正負無法確定；所以A、B、D都不是或不一定是二次根式。只有C中的被開方數恒大于0，且?guī)А啊?，故選（C）。例2.x取何值時，下列各式在實數范圍內有意義。 分析：使二次根式在實數范圍內有意義，必有被開方數大于等于0。如果式子中含有分母，分母不能為0。解：由2，當時，式有意義；由2x10（分母2x10）x ， 當x時，式有意義；由x10

21、，x20，x1且x2 ，當x1且x2時，式有意義；由于( x3)0，x取任何實數時，式都有意義。二、含有相反數的被開方數根式的化簡與求值例3.已知y=，求（xy64）的算術平方根。分析：由被開方數x7，7x互為相反數，且均需滿足被開方數大于等于0。故x7=7x=0，由此求出x、y。解：由  x77x0，得x=7，y91例4.設等式在實數范圍內成立。其中，m、x、y是互不相等的三個實數，求代數式的值。解：由mxy，xm0，  ym0又被開方數    xm0 ， my0即ym0即有xm0，ym0而被開方數 m0將m=0代入等式，得 xy0下面兩道練

22、習題，同學們不妨試試。1.x取何值時，下列各式在實數范圍內有意義。 2.若y=，試求（4x2y）2010的值。實數大小進行比較的常用方法實數的大小比較是中考及數學競賽中的常見題型，不少同學感到困難?！皩崝怠笔浅踔袛祵W的重要內容之一，也是學好其他知識的基礎。為幫助同學們掌握好這部分知識，本文介紹幾種比較實數大小的常用方法，供同學們參考。方法一：差值比較法 差值比較法的基本思路是設a，b為任意兩個實數，先求出a與b的差，再根據當ab0時，得到ab。當ab0時，得到ab。當ab0，得到a=b。例1：（1）比較與的大小。 （2）比較1與1的大小。解 0 ， 。解 （1）（1）=0 ， 11。方法二：商

23、值比較法 商值比較法的基本思路是設a，b為任意兩個正實數，先求出a與b得商。當1時，ab；當1時，ab；當=1時，a=b。來比較a與b的大小。例2：比較與的大小。解：÷=1 方法三：倒數法 倒數法的基本思路是設a，b為任意兩個正實數，先分別求出a與b的倒數，再根據當時，ab。來比較a與b的大小。例3：比較與的大小。解=+ ， =+又+（超綱，不作要求）方法四：平方法 平方法的基本是思路是先將要比較的兩個數分別平方，再根據a0，b0時，可由得到ab來比較大小，這種方法常用于比較無理數的大小。例5：比較與的大小解：， =8+2。又8+28+2 。方法五：估算法估算法的基本是思路是設a，b

24、為任意兩個正實數，先估算出a，b兩數或兩數中某部分的取值范圍，再進行比較。例4：比較與的大小解：34 31 方法六：移動因式法（穿墻術）移動因式法的基本是思路是，當a0，b0，若要比較形如a的大小，可先把根號外的因數a與c平方后移入根號內，再根據被開方數的大小進行比較。例6：比較2與3的大小解：2=，3=。又2827， 23。方法七：取特值驗證法比較兩個實數的大小，有時取特殊值會更簡單。例7：當時，的大小順序是_。解：（特殊值法）取=，則：=，=2。2，。例（常德市）設a20，b(3)2，c，d，則a、b、c、d按由小到大的順序排列正確的是（）A.cadb B.bdac C.acdb D.bc

25、ad分析可以分別求出a、b、c、d的具體值，從而可以比較大小.解因為a201，b(3)29，c，d2，而129，所以cadb.故應選A.除以上七種方法外，還有利用數軸上的點，右邊的數總比左邊的數大；以及絕對值比較法等比較實數大小的方法。對于不同的問題要靈活用簡便合理的方法來解題。能快速地取得令人滿意的結果。無限循環(huán)小數可以化成分數我們知道小數分為兩大類：一類是有限小數，一類是無限小數而無限小數又分為兩類：無限循環(huán)小數和無限不循環(huán)小數有限小數都可以表示成十分之幾、百分之幾、千分之幾，很容易化為分數無限不循環(huán)小數即無理數，它是不能轉化成分數的但無限循環(huán)小數卻可以化成分數，下面請看：探索（1）：把0

26、.323232（即0.）化成分數分析：設x=0.32+0.0032+0.000032+ 上面的方程兩邊都乘以100得100x=32+0.32+0.0032+0.000032+ 得100xx=32 99x=32 x= 所以0323232= 用同樣方法，我們再探索把0.，0.0化為分數可知0.= ，0.0=我們把循環(huán)節(jié)從小數點后第一位開始循環(huán)的小數叫做純循環(huán)小數，通過上面的探索可以發(fā)現，純循環(huán)小數的循環(huán)節(jié)最少位數是幾，化成分數的分母就有幾個9組成，分子恰好是一個循環(huán)節(jié)的數字探索（2）：把0.4777和0.325656化成分數分析：把小數乘以10得0.4777×10=4.777 再把小數乘

27、以100得0.4777×100=47.77 得0.4777×1000.4777×10=47 40.4777×90=43 0.4777= 所以 0.4777= 再分析第二個數0.325656化成分數把小數乘以100得0.325656×100=32.5656 把小數×10000得0.325656×10000=3256.56 得0.325656×（10000100）=3256320.325656×9900=3224 0.325656=同樣的方法，我們可化0.17=，0. 3=我們把循環(huán)節(jié)不從小數點后第一位開始循環(huán)的小數叫做混循環(huán)小數混循環(huán)小數化分數的規(guī)律是：循環(huán)節(jié)的最少位數是n，分母中就有n個9，第一個循環(huán)節(jié)前有幾位小數，分母中的9后面就有幾個0，分子是從小數點后第一位直到第一個循環(huán)節(jié)末尾的數字組成的數，減去一個循環(huán)節(jié)數字的差，例如0.17化成分數的分子是172517=1708，0. 3化成分數的分子是3293=326用數形結合思想解實數中問題數形結合思想是一種重要的解題思想方法，它可以使較繁雜或難解的題目由繁變簡，化難為易，出奇制勝，下面舉例說明用數形結合思想解實數中的