函數(shù)的單調(diào)性與極值課件2(北師大版選修22)75831

1、函數(shù)的單調(diào)性和極值一、函數(shù)單調(diào)性的判別方法二、函數(shù)極值的判別法三、函數(shù)的最大值、最小值的求法一、函數(shù)單調(diào)性的判別方法 羅爾定理 拉格郎日定理 函數(shù)單調(diào)性的判別方法定理定理1 羅爾（羅爾（ rolle ）定理）定理)(xfy 滿足:(1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù)(2) 在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo)(3) f ( a ) = f ( b ),使. 0)(fxyoab)(xfy 在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)注意注意:1) 定理?xiàng)l件條件不全具備, 結(jié)論不一定成立. 例如,1,010,)(xxxxfx1yo 1 , 1)(xxxf 1 ,0)(xxxfx1yo1x1yo使2) 定理?xiàng)l件只是

2、充分的.本定理可推廣為)(xfy 在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且)(limxfax)(limxfbx在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn),. 0)(f定理定理2 拉格朗日中值定拉格朗日中值定理理 )( (1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù))(xfy 滿足:(2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn), ),(ba使.)()()(abafbffxyoab)(xfy 思路思路: 利用逆向思維逆向思維找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然 ,)(x在 a , b 上連續(xù) , 在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且證證: 問題轉(zhuǎn)化為證)(x)(xfxabafbf)()()(a由羅爾定

3、理知至少存在一點(diǎn), ),(ba,0)(使即定理結(jié)論成立 ., )(babbfaafb)()(0)()()(abafbff證畢推論推論1:若函數(shù)在區(qū)間 i 上滿足,0)( xf則)(xf在 i 上必為常數(shù).)(xf推論推論2：如果函數(shù) 在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且對于(a,b)中任意 有 則在(a,b)內(nèi) ， ， 其中c為常數(shù)。/( )( )fxgx( )( )f xg x和x( )( )f xg x與僅相差一個(gè)常數(shù)( )( )f xg xc即函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理定理 3. 設(shè)函數(shù))(xf0)( xf則 在 i 內(nèi)單調(diào)遞增)(xf, )0)( xf(遞減) .證證: 無妨設(shè),

4、0)(ixxf任取)(,2121xxixx由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf),(21xxi0故. )()(21xfxf這說明 在 i 內(nèi)單調(diào)遞增.)(xf在開區(qū)間 i 內(nèi)可導(dǎo),例1 求函數(shù) f(x)=x3-3x 的單調(diào)區(qū)間 解 （1）該函數(shù)的定義區(qū)間為（-, ） ； （2）f/(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令 f/(x)=0,得 x=-1,x=1 它們將定義區(qū)間分為三個(gè)子區(qū)間： (, 1),( 1,1),(1,) x (, 1) (-1,1) (1,+) f/(x) + - + f(x) 所以單調(diào)增加區(qū)間為(, 1)1 和（，） 單調(diào)減少區(qū)間為（-1，1）

5、例例2. 確定函數(shù)31292)(23xxxxf的單調(diào)區(qū)間.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的單調(diào)增單調(diào)增區(qū)間為, ) 1,();,2()(xf的單調(diào)減單調(diào)減區(qū)間為).2,1 (12xoy12yxo說明說明: 1) 單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)外, 也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn). 例如,),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2) 如果函數(shù)在某點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號, 則不改變函數(shù)的單調(diào)性 .例如,),(,3xxy23xy 00 xyyox3xy 確定函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：1、確定函

6、數(shù)的定義域；2、求出使函數(shù) 并以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)，將定義域分成若干個(gè)子區(qū)間；3、確定 在各個(gè)子區(qū)間的符號，從而判斷出 的單調(diào)性。/( )0( )fxfx 和不存在的點(diǎn)，/( )fx( )f x例3 討論函數(shù)23( )(1)f xxx的單調(diào)性 解 （1）該函數(shù)的定義域?yàn)?,) （2） 12/3313/252( )(1)332( )0,( )520,522(,0),(0,),(,)55xfxxxxxfxxxf xxx令得顯然 =0為的不可導(dǎo)點(diǎn),于是分定義區(qū)間為三個(gè)子區(qū)間 （3）列表確定 f(x)的單調(diào)性 x (,0) 2( 0 ,)5 2(,)5 f/(x) + - + f(x) 即 f(x) 2(

7、,0)( ,),52(0, ).5在和上單調(diào)增加在上單調(diào)減少 例例4. 證明方程0155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xxf),1,0(, 0 x有且僅有一個(gè)小于1 的正實(shí)根 .證證: 1) 存在性 .則)(xf在 0 , 1 連續(xù) , 且由介值定理知存在, ) 1 ,0(0 x使即方程有小于 1 的正根.0 x2) 唯一性 .假設(shè)另有, 0)(1xf使在以)(xf10, xx為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件 ,之間在10, xx至少存在一點(diǎn),. 0)(f使但矛盾, 故假設(shè)不真!設(shè)例例5. 證明等式. 1,

8、 1,2arccosarcsinxxx證證: 設(shè),arccosarcsin)(xxxf上則在) 1, 1()(xf由推論可知cxxxfarccosarcsin)( (常數(shù)) 令 x = 0 , 得.2c又,2) 1(f故所證等式在定義域 上成立. 1, 1自證自證:),(x,2cotarcarctanxx211x211x0經(jīng)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn): 欲證ix時(shí),)(0cxf只需證在 i 上, 0)( xf,0ix 且.)(00cxf使例例6. 證明不等式證法證法1: 設(shè), )1ln()(ttf上滿足拉格朗日在則,0)(xtf中值定理?xiàng)l件,即因?yàn)楣? )0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx

9、0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0, )0)(因此應(yīng)有證法 2 證明不等式 ln(1)(0)1xxxx /22( )ln(1),1( )0,),0,11( )0,1(1)(1)( )0,),(0)0,0,( )(0),ln(1)1xf xxxf xxxxxfxxxxf xfxf xfxxx設(shè)函數(shù)因?yàn)樵谏线B續(xù) 當(dāng)時(shí)所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加 又因此 當(dāng)時(shí) 恒有即 二、函數(shù)的極值函數(shù)的極值定義定義:,),()(內(nèi)有定義在設(shè)函數(shù)baxf, ),(0bax ，的一個(gè)鄰域若存在0 x在其中當(dāng)0 xx 時(shí), )()(0 xfxf(1) 則稱 為 的極大點(diǎn)極大點(diǎn) ,0 x)(xf稱 為函數(shù)的

10、極大值極大值 ;)(0 xf, )()(0 xfxf(2) 則稱 為 的極小點(diǎn)極小點(diǎn) ,0 x)(xf稱 為函數(shù)的極小值極小值 .)(0 xf極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn) .注意注意:3x1x4x2x5xxaboy41,xx為極大點(diǎn)52,xx為極小點(diǎn)3x不是極值點(diǎn)2) 對常見函數(shù), 極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為 0 或 不存在的點(diǎn).1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).31292)(23xxxxf例如例如1x為極大點(diǎn) , 2) 1 (f是極大值 1)2(f是極小值 2x為極小點(diǎn) , 12xoy12定理 4 如果函數(shù) f(x)在點(diǎn) x 的一個(gè)鄰域內(nèi)有定義，f(x) 在 x 可導(dǎo)，那么 x 是 f(x)的

11、極值點(diǎn)的必要條件是 f/(x)=0 該定理的幾何意義是說，可微函數(shù)的圖形在極值點(diǎn)處的切線與 x 軸平行。 定義 使導(dǎo)數(shù) f/(x)為零的點(diǎn) x,稱為函數(shù) f(x)駐點(diǎn)。 注意：函數(shù)的極值可能在其導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，或者在連續(xù)但不可導(dǎo)的點(diǎn)處取得。在可導(dǎo)情況下，極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。 定理定理 5 (極值第一判別法極值第一判別法),)(0的某鄰域內(nèi)連續(xù)在設(shè)函數(shù)xxf且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),0時(shí)由小到大通過當(dāng)xx(1) )(xf “左左正正右右負(fù)負(fù)” ,;)(0取極小值在則xxf(2) )(xf “左左負(fù)負(fù)右右正正” ,.)(0取極大值在則xxf例例7. 求函數(shù)求函數(shù)32) 1()(xxx

12、f的極值 .解解:1) 求導(dǎo)數(shù)32)(xxf3132) 1(xx35235xx2) 求極值可疑點(diǎn)令,0)( xf得;521x令,)( xf得02x3) 列表判別x)(xf )(xf0520033. 0)0,(),0(52),(520 x是極大點(diǎn)， 其極大值為0)0(f是極小點(diǎn)， 其極小值為52x33. 0)(52f定理定理6 (極值第二判別法極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù) , 且處具有在點(diǎn)設(shè)函數(shù)0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若則 在點(diǎn) 取極大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若則 在點(diǎn) 取極小值 .)(xf0 x求函數(shù)極值的一般步驟： 確定定義域，并求出

13、所給函數(shù)的全部駐點(diǎn) 考察函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在駐點(diǎn)處的符號，確定極值點(diǎn) 求出極值點(diǎn)處的函數(shù)值，得到極值求函數(shù)極值的一般步驟：若函數(shù)定理6失效，應(yīng)運(yùn)用定理5，其步驟為：1、確定定義域并找出所給函數(shù)的駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；2、考察上述點(diǎn)兩側(cè)一階導(dǎo)數(shù)的符號，確定極值點(diǎn)；3、求出極值點(diǎn)處函數(shù)值，得到極值。/0000()0()0()0()fxfxfxfx且或但不存在例例8. 求函數(shù)1) 1()(32 xxf的極值 . 解解: 1) 求導(dǎo)數(shù),) 1(6)(22xxxf) 15)(1(6)(22 xxxf2) 求駐點(diǎn)令,0)( xf得駐點(diǎn)1,0, 1321xxx3) 判別因,06)0( f故 為極小值 ;0)0(

14、f又,0) 1 () 1( ff故需用第一判別法判別.,1)(左右鄰域內(nèi)不變號在由于xxf.1)(沒有極值在xxf1xy1定理定理7 (判別法的推廣判別法的推廣)階導(dǎo)點(diǎn)有直到在若函數(shù)nxxf0)(,0)()()(0)1(00 xfxfxfn,0)(0)(xfn則:數(shù) , 且1) 當(dāng) 為偶數(shù)時(shí),n,0)(0)(時(shí)xfn0 x是極小點(diǎn) ;,0)(0)(時(shí)xfn0 x是極大點(diǎn) .2) 當(dāng) 為奇數(shù)時(shí),n0 x為極值點(diǎn) , 且0 x不是極值點(diǎn) .)()()(000 xxxfxfxfnnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo例如例如 , 例2中1) 1()(32 xxf, )35(24)(2 xxxf

15、0) 1( f所以1x不是極值點(diǎn) .極值的判別法( 定理5 定理7 ) 都是充分的. 說明說明:當(dāng)這些充分條件不滿足時(shí), 不等于極值不存在 .例如例如:)(xf, )sin2(212xx,20 x0 x2)0(f為極大值 , 但不滿足定理1 定理3 的條件.xy11例 9 求函數(shù) 23( )(67)f xxx的單調(diào)區(qū)間和極值 解 f(x)的一階導(dǎo)數(shù)為 /2333/1224107( )(67)67677( )0,.1077( )66xxfxxxxfxxxf xx 令得駐點(diǎn)又時(shí)，不可導(dǎo)，即是不可導(dǎo)點(diǎn)。 x 76 （， -） 76 77610（，） 710 710（，） f/(x) + 不可導(dǎo) -

16、0 + f(x) 極大值 極小值 從表中可知： 13277()066777()9801010507761077610 xfxf 是極大值點(diǎn)，極大值是極小值點(diǎn)，極小值單調(diào)增加區(qū)間（- ，），（，）單調(diào)減少區(qū)間（，）。 三、最大值與最小值問題最大值與最小值問題 ,)(上連續(xù)在閉區(qū)間若函數(shù)baxf則其最值只能在極值點(diǎn)極值點(diǎn)或端點(diǎn)端點(diǎn)處達(dá)到 .求函數(shù)最值的方法求函數(shù)最值的方法: :(1) 求 在 內(nèi)的極值可疑點(diǎn))(xf),(bamxxx,21(2) 最大值 maxm, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf最小值 minm, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)

17、(bf特別特別: 當(dāng) 在 內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),)(xf,ba 當(dāng) 在 上單調(diào)單調(diào)時(shí),)(xf,ba最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大 值 , 則也是最大 值 . (小) 對應(yīng)用問題 , 有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大 值點(diǎn)或最小值點(diǎn) .(小) 例 10 321( )(1) 12f xxx求在， 上的最大值和最小值 312312352( ),( )32(0(5234( )( )0.32575525()(0)011)0.315024(0)0,xxf xxxxf xff xff /解 因?yàn)閒所以的可能極值點(diǎn)為駐點(diǎn)）和不可導(dǎo)點(diǎn)），相應(yīng)的函數(shù)值1區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(-1)=-2,f(2

18、1比較這四個(gè)數(shù)的大小得知f(x)在-1， 上2最大值為最小值為f(-1)=-2 )1292(2 xx1224)9(209681012922xx )(xxf041x250 x041x250 x例例11. 求函數(shù)xxxxf1292)(23在閉區(qū)間,2541上的最大值和最小值 .解解: 顯然, ,)(2541cxf且)(xf, )1292(23xxx,129223xxx)(xf121862xx121862xx內(nèi)有極值可疑點(diǎn)在,)(2541xf2, 1,0321xxx,3)(321941f,0)0(f,5) 1 (f,4)2(f5)(25f故函數(shù)在0 x取最小值 0 ;在1x及25取最大值 5., )

19、2)(1(6xx, )2)(1(6xx251 241例12 函數(shù) f(x)=2x3-6x2-18x-7 在區(qū)間1， 4上的最小值 解 f/(x)=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1) 令 f/(x)=0 得駐點(diǎn)1223,11xxx 。不在給定區(qū)間1，4內(nèi)，故不必討論21x 的極值情況。 f(3)=2*33-6*32-18*3-7=-61 f(1)=-29 f(4)=2*43-6*42-18*4-7=128-96-72-7=- 47 比較這三個(gè)數(shù)的大小得知， f(x)在1， 4上的最小值為 f(3)=-61 ( k 為某一常數(shù) )例例13. 鐵路上 ab 段的距離為100 km , 工廠

20、c 距 a 處20ac ab , 要在 ab 線上選定一點(diǎn) d 向工廠修一條 已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)價(jià)之比為 3:5 , 為使貨d 點(diǎn)應(yīng)如何選取? 20ab100c解解: 設(shè),(km)xad x則,2022xcd)100(320522xkxky)1000( x, ) 34005(2xxky23)400(40052xky 令,0 y得 ,15x又,015 xy所以 為唯一的15x極小點(diǎn) ,故 ad =15 km 時(shí)運(yùn)費(fèi)最省 .總運(yùn)費(fèi)物從b 運(yùn)到工廠c 的運(yùn)費(fèi)最省,從而為最小點(diǎn) ,問dkm ,公路, 例例14. 把一根直徑為 d 的圓木鋸成矩形梁 ,問矩形截面的高 h 和 b 應(yīng)如何選擇才能使梁

21、的抗彎截面模量最大? 解解: 由力學(xué)分析知矩形梁的抗彎截面模量為hbd261hbw , )(2261bdb),0(db令)3(2261bdw0得db31從而有1:2:3:bhd22bdhd32即由實(shí)際意義可知 , 所求最值存在 , 駐點(diǎn)只一個(gè),故所求結(jié)果就是最好的選擇 .例15 某產(chǎn)品的次品率 y 與日產(chǎn)量 x 之間的關(guān)系為 1,01001011,100 xyxx 若每件產(chǎn)品的贏利為 a 元， 每件次品造成的損失為a/3 元，試求贏利最多的日產(chǎn)量。 解 按題意，x 應(yīng)為正整數(shù)，設(shè) x0,100,日產(chǎn)量為x 時(shí)贏利為 t(x),這時(shí)次品數(shù)為 xy,正品為 x-xy,因此 ( )()3(),(01

22、00)1013 101( )at xa xxyxyxaxa xxxxt x于是問題就歸結(jié)為求的最大值。 /2( )1 () ()1013 101410113 (101)xaxtxaxxax 令 t/(x)=0 可得 t(x)的唯一駐點(diǎn) x=89.4。 因此 x=89.4 是使 t(x)取得最大值的點(diǎn)，因?yàn)?x 實(shí)際 上 是 正 整 數(shù) ， 所 以 將t(89)=79.11a與t(90)=79.09a 相比較，即知每天生產(chǎn) 89 件產(chǎn)品贏利最多。 用開始移動(dòng),f例例16. 設(shè)有質(zhì)量為 5 kg 的物體置于水平面上 , 受力 作p解解: 克服摩擦的水平分力cosffx正壓力sin5ffpygcos

23、f)sin5(fg即,sincos5gf, 02令sincos)(則問題轉(zhuǎn)化為求)(的最大值問題 .f 為多少時(shí)才可使力f,25. 0設(shè)摩擦系數(shù)f問力與水平面夾角的大小最小?cossin)(sincos)( 令,0)(解得arctan25. 0arctan214,0)( 而,)(214取最大值時(shí)因而 f 取最小值 .解解:fp即令則問題轉(zhuǎn)化為求的最大值問題 .,sincos5gf, 02sincos)()(清楚(視角 最大) ? 觀察者的眼睛1.8 m ,例例17. 一張 1.4 m 高的圖片掛在墻上 , 它的底邊高于x4 . 18 . 1解解: 設(shè)觀察者與墻的距離為 x m , 則x8 .

24、14 . 1arctan,8 . 1arctanx),0(x222 . 32 . 3x228 . 18 . 1x)8 . 1)(2 . 3()76. 5(4 . 122222xxx令,0得駐點(diǎn)),0(4 . 2x根據(jù)問題的實(shí)際意義, 觀察者最佳站位存在 ,唯一,駐點(diǎn)又因此觀察者站在距離墻 2.4 m 處看圖最清楚 .問觀察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 連續(xù)函數(shù)的極值(1) 極值可疑點(diǎn) : 使導(dǎo)數(shù)為0 或不存在的點(diǎn)(2) 第一充分條件)(xf 過0 x由正正變負(fù)負(fù))(0 xf為極大值)(xf 過0 x由負(fù)負(fù)變正正)(0 xf為極小值(3) 第二充分條件0)(,0)(00 xfxf)(0 xf為極大值)(0 xf為極小值0)(,0)(00 xfxf(4) 判別法的推廣最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找 ;應(yīng)用題可根據(jù)問題的實(shí)際意義判別 .思考與練習(xí)思考與練習(xí)(l. p500 題4)2. 連續(xù)函數(shù)的最值1. 設(shè), 1)()()(lim2axafxfax則在點(diǎn)