2019奧數(shù)工程問題集錦

1、1修一條水渠，單獨修，甲隊需要20天完成，乙隊需要 30 天完成。如果兩隊合作，由于彼此施工有影響， 他們的工作效率就要降低， 甲隊的工作效率是原來的五分之四， 乙隊工 作效率只有原來的十分之九?，F(xiàn)在計劃 16 天修完這條水渠，且要求兩隊合作的天數(shù)盡可能 少，那么兩隊要合作幾天？解：由題意得， 甲的工效為 1/20，乙的工效為 1/30，甲乙的合作工效為 1/20*4/5+1/30*9/10 =7/100，可知甲乙合作工效 甲的工效 乙的工效。又因為，要求 “兩隊合作的天數(shù)盡可能少 ”，所以應(yīng)該讓做的快的甲多做， 16 天內(nèi)實在 來不及的才應(yīng)該讓甲乙合作完成。只有這樣才能 “兩隊合作的天數(shù)盡可

2、能少 ”。設(shè)合作時間為x天，則甲獨做時間為(16-x )天1/20* (16-x) +7100*x = 1x= 10答：甲乙最短合作 10天2甲乙兩個水管單獨開，注滿一池水，分別需要20小時， 16小時.丙水管單獨開，排一池水要 10 小時，若水池沒水，同時打開甲乙兩水管， 5 小時后，再打開排水管丙，問水 池注滿還是要多少小時？解：1/20+1/16 = 9/80表示甲乙的工作效率9/80X5= 45/80表示5小時后進(jìn)水量1-45/80= 35/80表示還要的進(jìn)水量35/80- (9/80-1/10)= 35表示還要 35小時注滿答：5小時后還要 35小時就能將水池注滿。3一件工作，甲、乙

3、合做需4 小時完成，乙、丙合做需 5 小時完成?，F(xiàn)在先請甲、丙合做 2小時后，余下的乙還需做 6小時完成。乙單獨做完這件工作要多少小時？解：由題意知， 1/4表示甲乙合作 1 小時的工作量， 1/5表示乙丙合作 1 小時的工作量1/4+1/5) X2= 9/10 表示甲做了 2 小時、乙做了 4 小時、丙做了 2 小時的工作量。根據(jù)“甲、丙合做 2 小時后，余下的乙還需做 6 小時完成 ”可知甲做 2小時、乙做 6小時、丙做 2 小時一共的工作量為1。所以1 9/10 = 1/10表示乙做6-4 = 2小時的工作量。1/10 1/20表示乙的工作效率。1 *10 = 20小時表示乙單獨完成需要

4、20小時。答：乙單獨完成需要 20 小時。4一項工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，這樣交替輪流做， 那么恰好用整數(shù)天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，這樣交 替輪流做，那么完工時間要比前一種多半天。已知乙單獨做這項工程需17 天完成，甲單獨做這項工程要多少天完成？解：由題意可知1/ 甲 +1/ 乙+1/ 甲 +1/ 乙 +/1甲=11/乙 +1/ 甲 +1/ 乙 +1/ 甲 +/1乙 +1/ 甲 X 0.= 1（1/甲表示甲的工作效率、 1/乙表示乙的工作效率，最后結(jié)束必須如上所示，否則第二 種做法就不比第一種多 0.5 天）1/甲=1/乙+1/甲X

5、 0.5（因為前面的工作量都相等）得到1/甲=1/乙X 2又因為 1/乙= 1/17所以 1/甲=2/17，甲等于 17*2=8.5天5師徒倆人加工同樣多的零件。當(dāng)師傅完成了1/2 時，徒弟完成了 120 個。當(dāng)師傅完成了任務(wù)時，徒弟完成了 4/5 這批零件共有多少個？答案為 300 個120*（ 4/5*2）= 300 個可以這樣想：師傅第一次完成了1/2，第二次也是 1/2，兩次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了 4/5，可以推算出第一次完成了4/5的一半是 2/5，剛好是 120個。6一批樹苗，如果分給男女生栽，平均每人栽 6 棵；如果單份給女生栽，平均每人栽10 棵。單份給男生栽，

6、平均每人栽幾棵？答案是 15 棵算式：1+( 1/6-1/10 )= 15 棵7一個池上裝有 3 根水管。甲管為進(jìn)水管，乙管為出水管， 20 分鐘可將滿池水放完， 丙管也是出水管， 30 分鐘可將滿池水放完?，F(xiàn)在先打開甲管，當(dāng)水池水剛溢出時，打開乙 丙兩管用了 18 分鐘放完，當(dāng)打開甲管注滿水是，再打開乙管，而不開丙管，多少分鐘將水 放完？答案 45 分鐘。1 + ( 1/20+1/30 )= 12表示乙丙合作將滿池水放完需要的分鐘數(shù)。1/12*( 18-12 )= 1/12*6 = 1/2表示乙丙合作將漫池水放完后，還多放了6分鐘的水，也就是甲 18分鐘進(jìn)的水。1/2 + 18= 1/36表

7、示甲每分鐘進(jìn)水最后就是1 + (1/20-1/36)= 45分鐘。8某工程隊需要在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊去做，恰好如期完成，若乙隊去做，要 超過規(guī)定日期三天完成， 若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨做， 恰好如期完成， 問規(guī)定日 期為幾天？答案為 6 天解：由“若乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨做， 恰好如期完成， ”可知：乙做 3 天的工作量=甲 2 天的工作量即：甲乙的工作效率比是 3： 2甲、乙分別做全部的的工作時間比是 2： 3時間比的差是 1 份實際時間的差是 3 天所以3+(3-2) X26天，就是甲的時間，也就是規(guī)定日期方程方法：1/x+l/ (

8、x+2) X 2+1( x+2) X( x-2)= 1解得x= 69兩根同樣長的蠟燭，點完一根粗蠟燭要2 小時，而點完一根細(xì)蠟燭要 1 小時，一天晚上停電， 小芳同時點燃了這兩根蠟燭看書， 若干分鐘后來點了， 小芳將兩支蠟燭同時熄滅， 發(fā)現(xiàn)粗蠟燭的長是細(xì)蠟燭的 2 倍，問：停電多少分鐘？答案為 40 分鐘。解：設(shè)停電了 x分鐘根據(jù)題意列方程1-1/120*x =( 1-1/60*x) *2解得x= 40一件工作 ,甲、乙、丙三人合作 6 小時 ,乙、丙合作 2 小時 ,可以完成這件工作的 4/9。如果甲、 乙合作 3 小時，丙做 6 小時，可以完成這件工作的 3/4，甲、乙、丙單獨完成這件工作

9、各需 多少小時？解：設(shè)甲的工作效率為 X,乙的工作效率為 Y,丙的工作效率為 Z。則( X+Y+Z) *6=1 ；6X+2Y+2Z=2/3；3X+3Y+6Z=2/3解的： X=1/12, Y=1/36, Z=1/18故甲乙丙單獨完成這件工作分別需要 12, 36, 18 小時繼續(xù)追問： 我不會 3 元方程,能不能不用方程解答補充回答： 甲工效=2/3-1/6X 2)十4=2，甲需要12天 丙工效=(23-1/6 X 3)十3=8，丙需要18天乙工效=4/9-(8 X18)-(6 X1)/(2+6)=1/36,乙需要 36 天 補充回答： 糾正：甲乙丙工效之和為 1/6乙丙合作兩小時，完成了 4

10、/9如下三人合作 2 小時的話應(yīng)該完成了 3*1/6=1/2所以甲工效為 (1/2-4/9)/2=1/36, 甲需要 36 天甲乙合作三小時，丙做 6 小時，相當(dāng)甲乙丙合作 3 小時，然后丙再做 3 小時所以丙工效為 (3/4-1/2)/3=1/8,丙需要 8 天乙工效為 1/6-1/8-1/36=1/36,乙需要 36 天工程問題是研究工作效率、 工作時間和工作總量之間相互關(guān)系的一種應(yīng)用題。 我們通常所說 的： “工程問題 ”，一般是把工作總量作為單位 “1，”因此工作效率就是工作時間的倒數(shù)。它 們的基本關(guān)系式是：工作總量 T作效率=工作時間。工程問題是小學(xué)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中的一個重點， 也是一個

11、難點。 下面列舉有關(guān)練習(xí)中常見的 幾種題型，分別進(jìn)行思路分析，并加以簡要的評點，旨在使同學(xué)們掌握“工程問題 ”的解題規(guī)律和解題技巧。例 1 一項工程，由甲工程隊修建，需要 12 天，由乙工程隊修建，需要 20 天，兩隊共同 修建需要多少天？思路說明 把這項工程的工作總量看作 “1?！奔钻犘藿ㄐ枰?12天，修建 1 天完成 這項工程的 112；乙隊修建需要 20天，修建 1 天完成這項工程的 120。甲、乙兩隊共 同修建1天，完成這項工程的1 /12+ 1/20= 2/15,工作總量“ 1中包含了多少個2/15, 就是兩隊共同修建完成這項工程所需要的天數(shù)。1 + ( 1/12+ 1 /20)=

12、1-2/15= 15/2 (天) 設(shè)這項工程的全部工作量為 60( 12和20的最小公倍數(shù))，甲隊一天的工作量為 60+ 12 =5,乙隊一天的工作量為 60-20=3,甲、乙兩隊合建一天的工作量為5+3=8。用工作總量除以兩隊合建一天的工作量,就是兩隊合建的天數(shù)。60-( 60- 12+ 60- 20)= 60-( 5+ 3)= 60-8= 15/ 2(天)評點這是一道工程問題的基本題, 也是工程問題中常見的題型。 上面列舉的兩種解題方 法,前者比較簡便。這種解法把工作量看作“1,”用完成工作總量所需的時間的倒數(shù)作為工作效率, 用工作總量除以工作效率和, 就可以求出完成這項工程所需的時間。

13、工程問題一般 采用這種方法求解。練習(xí)：一段公路,甲隊單獨修要 10天完成,乙隊單獨修要 12 天完成,丙隊單獨修要15 天完成,甲、乙、丙三隊合修,需要幾天完成？例 2 一項工程，甲隊獨做 8 天完成，乙隊獨做 10 天完成，兩隊合做，多少天完成全部 工程的 3 4？思路說明 把這項工程的工作總量看作 “1，”甲隊獨做 8 天完成，一天完成這項工 程的 1 8；乙隊獨做 10 天完成，一天完成這項工程的 1 10。甲、乙兩隊合做一天，完成 這項工程的1 /8 + 1/10 = 9/40,工作總量“ 1中包含多少個甲乙效率之和，就是甲乙合做 所需要的天數(shù)。 甲乙合做所需時間的 34 ，就是甲乙合

14、做完成全部工程的 34所需的時間。1 + （ 1/8+ 1 /10） X/4=1+/40X/4 = 10/3 （天）把甲、乙兩隊合做的工作量 3/4,除以甲、乙兩隊的效率之和 1/8 + 1 /10= 9/40, 就是甲乙合做完成全部工程的 3/ 4所需要的時間。3/4+（1/81/10）=3/4+9/40=10/3（天）評點思路 是先求出兩隊合做一項工程所需的時間,再用乘法求出完成全部工程的3/4所需的時間。 思路 是把“3/4”看作工作總量, 工作總量除以兩隊效率之和, 就可以求 出完成全部工程的 3/4 所需的時間。兩種思路簡捷、清晰,都是很好的解法。練習(xí)：一項工程,單獨完成,甲隊需 8

15、 天,乙隊需 12 天。兩隊合干了一段時間后,還 剩這項工程的 1/6 沒完成。問甲、乙兩隊合干了幾天？例 3 東西兩鎮(zhèn),甲從東鎮(zhèn)出發(fā), 2小時行全程的 1/3,乙隊從西鎮(zhèn)出發(fā), 2 小時行了全 程的 1 / 2。兩人同時出發(fā),相向而行,幾小時才能相遇？思路說明 由甲 2小時行全程的 1 / 3?？芍仔型耆桃?2+1/3=6（小時）；由 乙 2小時行全程的 1/2,可知乙行完全程要 2+1/2=4（小時）。求出了甲、乙行完全程各 需要的時間, 時間的倒數(shù)便是各自的速度, 進(jìn)而可求出兩人速度之和, 把東西兩鎮(zhèn)的路程看 作“1,”除以速度之和,就可求出兩人同時出發(fā)相向而行的相遇時間。綜合算式：

16、1+（1/（ 2+1/3）1/（ 2+1/2）=1+（1/61/4）=1+5/12=12/5（小時） 由甲 2小時行了全程的 1 / 3 ,可知甲每小時行全程的 1/3+2=1/6；由乙 2小時行 全程的 1 / 2 ,可知乙每小時行全程的 1/2+2=1/4。把東西兩鎮(zhèn)的路程 “1,”除以甲、乙的 速度之和,就可得到兩人同時出發(fā)相向而行的相遇時間。綜合算式：1+(1/3+21/2+2)=1 + ( 1 / 6+ 1/4)= 1512= 12/ 5 (小時)評點本題沒有直接告訴甲、 乙行完全程各需的時間， 所以求出甲、 乙行完全程各需的時 間或各自的速度，是解題的關(guān)鍵所在。練習(xí)：打印一份稿件，

17、小張 5 小時可以打完份稿件的 1/3，小李 3 小時可以打完這份 稿件的 1 / 4，如果兩人合打多少小時完成？例 4 一項工程，甲、乙合做 6 天可以完成。甲獨做 18 天可以完成，乙獨做多少天可以 完成？思路說明把一項工程的工作總量看作 “1，”甲、乙合做 6天可以完成，甲、乙合做 一天，完成這項工程的 1 / 6，甲獨做 18 天可以完成，甲做一天完成這項工程的 1/18。把 甲、乙工作效率之和，減去甲的工作效率 1 / 1 8，就可得到乙的工作效率： 1/61/18=1 /9。工作總量 “1中”包含了多少個乙的工作效率，就是乙獨做這項工程的需要的時間。1+(1/61/18)=1+1/

18、9=9(天)評點這是一道較復(fù)雜的工程問題， 是工程問題的主要題型之一。 主要考查同學(xué)們運用分 數(shù)的基本知識及工程問題的數(shù)量關(guān)系，解決實際問題的能力。解答這類工程問題的關(guān)鍵是： 先求出獨做的隊或個人的工作效率，然后用工作總量“ 1除”以一個隊或個人的工作效率，就可以求出一個隊或個人獨做的工作時間。有的同學(xué)在解這道題時， 由于審題馬虎， 而且受基本工程問題解法的影響， 錯誤地列成： 1 + ( 1 / 6 1 / 1 8) ，這是同學(xué)們應(yīng)引起注意的地方。練習(xí)：一批貨物，用大小兩輛卡車同時運送， 5 小時可以運完。如果用小卡車單獨運， 15小時可以運完。問大卡車單獨運幾小時可以運完？例 5 加工一批

19、零件，單獨 1 人做，甲要 10 天完成，乙要 15 天完成，丙要 12 天完成。 如果先由甲、乙兩人合做 5 天后，剩下的由丙 1 人做，還要幾天完成？思路說明題目要求剩下的工作量由丙 1 人做，還要幾天完成， 必須知道剩下的工作 量和丙的工作效率。加工一批零件，單獨 1 人做，甲要 10 天完成，甲一天加工一批零件的 1/10；乙要 15 天完成，乙一天加工一批零件的 1/15；丙要 1 2天完成，丙一天加工一批零件的 1/12。 甲、乙合做一天，完成這批零件的 1/10 + 1/ 15= 1 /6,合做5天完成這批零件的1/6X5 =5/6，工作總量 “1減”去甲、乙合做 5天的工作量，

20、就得到剩下的工作量。把剩下的工作 量除以丙的工作效率,就可以求出剩下的工作量由丙 1 人做還要幾天完成。綜合算式：1(1/101/15)X5+1/12=11/6X5+1/12=1/6+/12 = 2 （天）評點這是一道較復(fù)雜的工程問題， 是工程問題中的主要題型之一， 也是升學(xué)或畢業(yè)考試 中最常見的試題之一。 它的特點是求剩余部分的工作量完成的時間。 關(guān)鍵是正確求出剩余部 分的工作量。從工作總量 “ 1中”減去已完成的工作量，就是剩余部分的工作量。有的同學(xué)由 于審題不細(xì)， 又受前面幾例工程問題的解法的影響，容易錯誤地列成： 1+(1/101/15)X5 +/12.練習(xí)：加工一批零件，甲獨做要 8

21、 天完成，乙獨做要 7天完成，丙獨做要 14 天完成， 三人合作 2 天后，甲因病休息，乙、丙兩人繼續(xù)合做還要幾天完成？例 6 一件工程，甲、乙合作 6 天可以完成?，F(xiàn)在甲、乙合作 2 天后，余下的工程由乙獨 做又用 8 天正好做完。這件工程如果由甲單獨做，需要幾天完成？思路說明一件工程，甲、乙合作 6 天可以完成，可知甲、乙合作 1 天完成這件工程 的1/6，甲、乙合作2天，完成這件工程的1 /6X2 1 /3。用工作總量“ 1減去甲、乙合作 2天的工作量1/3，所得的差1 - 1 /3= 2/3，就是余下的工作量。又知余下的工程由乙獨 做用了 8 天正好做完， 用余下的工作量除以 8，就可

22、以求出 1 天的工作量， 即乙的工作效率。 把甲、乙工作效率之和減去乙的工作效率，就可得到甲的工作效率。求出了甲的工作效率， 只要把工作總量 “1除減以甲的工作效率，就可得到甲獨做這件工程所需要的天數(shù)了。綜合算式：1+1/6-( 1-1/6X2) +8=1+1/6-( 1-1/3) +8=1+1/6-2/3+8=1+1/6-1/12= 1+1/12=12(天)評點這也是一道復(fù)雜的工程問題。 解題的關(guān)鍵是正確求出甲的工作效率。 要求出甲的工 作效率， 解題的步驟較多， 只有熟悉和掌握工程問題的結(jié)構(gòu)特點和解題思路，熟練掌握前面5 道例題的解題方法及解題的技能、技巧，才能正確順利地解答本題。練習(xí)：一

23、項工程，甲、乙兩隊合做 9 天完成，乙、丙兩隊合做 12天完成，現(xiàn)在甲、乙 兩隊合做了 3天，接著乙、丙兩隊又合做了 6天，最后由丙隊單獨 12天完成了整個工程。 如果整個工程由甲、丙兩隊合做需要幾天完成？工程問題是研究工作效率、 工作時間和工作總量之間關(guān)系的應(yīng)用題。 工程問題是小升初 奧數(shù)一個重要的分類，下面小編就為大家整理工程問題的基本思路工程問題的基本數(shù)量關(guān)系是：工作效率X工作時間=工作總量工作總量+工作時間 =工作效率工作總量十工作效率=工作時間上面這些數(shù)量關(guān)系式是在題目中給出 （或間接給出） 工作總量和工作效率的具體數(shù) 量情況下進(jìn)行解題用的。如果題目中沒有給出工作總量的具體數(shù)量， 也

24、沒有給出工作效率的具體數(shù)量， 那么 我們通常把工作總量看作整體“1”，工作效率表示單位時間內(nèi)完成工作量的幾分之幾。例 1：完成一件工作，需要甲干5 天，乙干 6天；或者甲干 7天，乙干 2 天。問：甲、乙單獨干這件工作各需多少天？分析與解答：分析：先對比如下一項工作甲干 5天、乙干 6天，或甲干 7天、乙干 2 天，顯而易見甲干 2天的工作 量，若換成乙干，則需要 4 天。因此，甲干 1 天的工作量，若換成乙來干，則需要 2 天。解答：甲完成這件工作需要的天數(shù)：5 + 6-2=8 （天）乙完成這件工作需要的天數(shù)：5 X 2+ 6=16 （天）評注：我們在解難題無從下手時， 不妨把題目所交代的條

25、件羅列下來， 認(rèn)真地觀察、 比較，有時會柳暗花明的。本題運用了整體代換的數(shù)學(xué)思想，使題目的解答巧妙、簡練，更 具創(chuàng)造性。例2：一件工程，甲隊單獨做12天可以完成，甲隊做 3天后乙隊做 2天半可完成一半?，F(xiàn)在甲、 乙兩隊合做若干天后， 由乙隊單獨完成， 做完后發(fā)現(xiàn)兩段所用時間相等。 問： 共用多少天？分析與解答：分析：甲隊的工作效率的 1/12，乙隊的工作效率是 1/8，甲、乙兩隊的工作效率和 是 1/81/12=5/24。由于甲、乙兩隊合做的時間與乙隊單獨做的時間相同，所以甲、乙兩隊 合做的工作量與乙隊獨做的工作量之比是：（1/81/12）：1/8=5：3。解答：乙隊的工作效率：（1/2- 1

26、/12 X 3）十2=1/8甲、乙兩隊合做工作量是這件工程的5/8，乙隊單獨做的工作量是這件工程的3/8。完成這件工程的總天數(shù)： 38 - 1/8 X 2=6 (天)說明：適時、恰當(dāng)?shù)剡\用正、反比例概念，會使問題簡單化。例 3：師徒兩人共同加工一批零件，師傅每小時加工9 個，徒弟每小時加工 5 個。完成任務(wù)時，徒弟比師傅少加工 120 個。這批零件共有多少個？分析與解答：分析：徒弟每小時比師傅少加工十4=30小時，那么這批零件的總個數(shù)是(例 4：一件工程，甲、乙合做需4 個零件，徒弟比師傅少加工 120 個零件需要 120 9 5)X 30=420 個。6 天完成，乙、丙合做需 9 天完成，甲

27、、丙合做需15 天完成?，F(xiàn)在甲、乙、丙三人合做，需多少天完成？分析：由已知條件可知，甲、乙的工作效率和是 1/6，乙、丙的工作效率和是 1/9， 甲、丙的工作效率和是 1/15， 1/61/91/15=31/90，這是甲、乙、丙三人工作效率和的 2倍， 甲、乙、丙三人的工作效率和是 31/90- 2=31/180，那么甲、乙、丙三人合做需要的天數(shù)是1-31/180=180/31 天。例 5：一件工程，甲單獨做要 12小時完成，乙單獨做要 1 8小時完成。如果先由甲 工作1小時，然后由乙接替甲工作1小時，再由甲接替乙工作1小時兩人如此交替工作， 那么完成任務(wù)用了多少小時？分析：由已知條件可知甲的

28、工作效率是 1/12，乙的工作效率是 1/18。先由甲工作 1 小時，然后由乙接替甲工作 1 小時，看作是甲、乙合做 1 小時?？傻眉?、乙合作完成任務(wù)需 要的時間是1 -( 1/12 + 1/18) =36/5小時，實際上可以理解為甲工作了7小時，乙工作了 7小時，剩下的 1/36 的工作由甲再單獨完成。例6 :甲、乙、丙三隊要完成A、B兩項工程，B工程的工作量比 A工程的工作量多1/4，甲、乙、丙三隊單獨完成A工程所需的時間分別是20天、24天、30天。為了同時完成這兩項工程，先派甲做A工程，乙、丙兩隊共同做B工程；經(jīng)過幾天后，又調(diào)丙隊與甲隊共同完成 A,結(jié)果A、B兩項工程同時完成。問：丙隊與乙隊合作了多少天？分析：令A(yù)工作總量為1,則B工程的工作總量是 5/4, A、B兩項工程的工作總量 是9/4,則甲、乙、丙三隊完成 A、B兩項工程的時間就可以求出，是9/4十(1/20+ 1/24 + 1/30)=18天。乙隊干18天的工作量為1/24 X 18=3/4，剩下的5/4- 34=1/2就是丙做的：1/2 - 1/30=15