大學(xué)數(shù)學(xué)：ch3-1(1) 定積分的可積條件(證明）

1、2012年12月23日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系1第第3章章 一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第第1節(jié)節(jié) 定積分的概念，存在條件與性質(zhì)定積分的概念，存在條件與性質(zhì)第第2節(jié)節(jié) 微積分基本公式與基本定理微積分基本公式與基本定理第第3節(jié)節(jié) 兩種基本積分法兩種基本積分法第第4節(jié)節(jié) 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用第第5節(jié)節(jié) 反常積分反常積分第第6節(jié)節(jié) 幾類簡(jiǎn)單的微分方程幾類簡(jiǎn)單的微分方程2第第1 1節(jié)節(jié) 定積分的概念，存在條件與性質(zhì)定積分的概念，存在條件與性質(zhì)1.1 1.1 定積分問(wèn)題舉例定積分問(wèn)題舉例1.2 1.2 定積分定義定積分定義1.3 1.3 定積分存在條件定積分存在條件1.4 1

2、.4 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)2012年12月19日南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系31.3 1.3 定積分存在條件定積分存在條件1.1 , a b（可積的必要條件）（可積的必要條件） 區(qū)間上的可積函數(shù)一區(qū)間上的可積函數(shù)一定理定理定有界.定有界.注意注意 有界函數(shù)未必一定可積。有界函數(shù)未必一定可積。例如：例如：Dirichlet函數(shù)函數(shù)401:.,naxxxb稱為稱為 f 關(guān)于分割關(guān)于分割 的的DarbouxDarboux大和大和, ,1( )niiiSMx 稱為稱為 f 關(guān)于分割關(guān)于分割 的的Darboux小和小和,1( )niiismx 1inf( )|, ,1, 2,;iiimf xxx

3、xin , ,fa b設(shè)在上有界設(shè)在上有界對(duì)任意分割對(duì)任意分割定義定義1(1, 2,),iiiiiMminfxx 稱稱為為在在上上的的.振幅振幅其中其中1sup( )|, ,1, 2,;iiiMf xxxxin 1( , ):nkkkSfx 積分和積分和5大和的幾何意義大和的幾何意義:曲邊梯形曲邊梯形“外接外接”矩矩形形小和的幾何意義小和的幾何意義:曲邊梯形曲邊梯形“內(nèi)接內(nèi)接”矩矩形形面積之和面積之和.面積之和面積之和.xyOab( )yf xxyO( )yf xab6( )( , )( )sSS (1)(1)相應(yīng)相應(yīng)于于 的所有的積分和與達(dá)布和滿足的所有的積分和與達(dá)布和滿足不等式不等式下，達(dá)

4、布和下，達(dá)布和 ( )s( )Sk( , )S(2)(2)在固定的分法在固定的分法 是常數(shù)，是常數(shù)，此時(shí)由于此時(shí)由于 的選取的任意性，的選取的任意性， 積分和積分和 卻是變化的，卻是變化的，注意:7觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系8觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系9觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系1

5、0觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系11觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系121nkkkx 0, 0, ( ),d 01lim0nkkdkx 在區(qū)間在區(qū)間 ( )f x, a b定理定理1.2 函數(shù)函數(shù) 上可積的充上可積的充分必要條件為分必要條件為 01lim0nkkdkx 定理定理1.2（可積的充要條件）（可積的充要條件）( )f x, a b 0lim 0 dSs有界函數(shù)有界函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上

6、可積上可積11( )( )()nnkkkkkkkSsMmxx 13由大和與小和的幾何意義知道,定由大和與小和的幾何意義知道,定幾何意義 幾何意義 理1.2理1.2的一系列小矩形面積之和可以達(dá)到任意小, 只要的一系列小矩形面積之和可以達(dá)到任意小, 只要 , a b 對(duì)的分割足夠地細(xì).對(duì)的分割足夠地細(xì).( )yf x的幾何意義為: 下圖中包圍曲線的幾何意義為: 下圖中包圍曲線Oxabyiix ( )yf x1411.nniiiiixxba 每個(gè)每個(gè)abi ，從而，從而第一種方法第一種方法: :.1 niiix 證明可積性問(wèn)題時(shí)證明可積性問(wèn)題時(shí), ,通常有三種方法可使通常有三種方法可使1,niiM

7、若若有有界界 即即對(duì)對(duì)任任意意分分割割第二種方法第二種方法: :11.nniiiiixdMM ,dM 則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)1,niiM 第三種方法：前兩種的綜合！第三種方法：前兩種的綜合！= 取取15,iix 在在中中iix 而而在在中中，,)(2abi ,)(2mMxi ,iiiiiixxx若若第三種方法第三種方法: : , ,Mmfa b其中是在上的振幅 從而其中是在上的振幅 從而,1,2, .iMm in 于是于是 iiiiiixxx )()(2)()(2mMmMabab . 16( ),f xC a b( ),f xa b定理定理1.3 如果函數(shù)如果函數(shù) 則則 證證 根據(jù)在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)

8、，根據(jù)在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)， ( )f x, a b0 必在必在上一致連續(xù)，即上一致連續(xù)，即 0 , , x xa b xx ，只要，只要 ，有，有()()f xf xba 的任意分法的任意分法 , a b( )d 1( ),kkf xC xx1,kkxx ()kkmf()kkMf對(duì)于對(duì)于，只要，只要 ，注意，注意使得使得，從而有，從而有 kkkkkbMmaff 1,2,kn11nnkkkkkxxba 所以所以17單調(diào)，則單調(diào)，則 ( )f x, a b( ),f xa b定理定理1.5 如果函數(shù)如果函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 f af b ,f xf af bC a b證證 不妨設(shè)不妨設(shè) 單調(diào)增加

9、。若單調(diào)增加。若 ，則，則從而由定理從而由定理1.3， ( ),;f xa b( )f x18單調(diào)，則單調(diào)，則 ( )f x, a b( ),f xa b定理定理1.5 如果函數(shù)如果函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 0 ( )( )f bf a 取取 f af b 若若 ( )d 有有111 ()() ( )( )nnkkkkkkxf xf xf bf a證證則對(duì)任意分割則對(duì)任意分割1()(),1,2, ,iiif xf xin 于是于是 111()()( )( ).nniiiiif xf xf bf a 19定理定理1.4 如果函數(shù)如果函數(shù) f x在區(qū)間在區(qū)間 , a b上有界上有界 并且除去有限個(gè)間斷點(diǎn)外處處連續(xù)并且除去有限個(gè)間斷點(diǎn)外處處連續(xù) ( ),f xa b則則200, 取滿足取滿足0().2()baMm 只有一個(gè)間斷點(diǎn)只有一個(gè)間斷點(diǎn), ,且為且為 b. .證證 不妨設(shè)不妨設(shè) , fa b在上在上., ,fbb界 設(shè)在上的