高等數(shù)學(xué)上25函數(shù)的微分

1、上頁下頁結(jié)束返回首頁2.5 函數(shù)的微分函數(shù)的微分0 微分的概念與定義微分的概念與定義0 導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系0 微分的幾何意義微分的幾何意義0 微分形式的不變性微分形式的不變性0微分在近似計算中的應(yīng)用微分在近似計算中的應(yīng)用上頁下頁結(jié)束返回首頁導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)因變量相對于自變量變化導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)因變量相對于自變量變化的快慢程度，即：的快慢程度，即：函數(shù)的變化率函數(shù)的變化率。微分指明微分指明, 當(dāng)自變量有微小變化時，函數(shù)大當(dāng)自變量有微小變化時，函數(shù)大體上體上改變了多少改變了多少。y )(xfy 0 xmnt）xyo x xx0 )(xfy 0 xmntdyy )( xo ）xyo x x

2、x0 p 上頁下頁結(jié)束返回首頁一、問題的提出一、問題的提出實例實例: :正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.20 xa 0 x0 x,00 xxx 變到變到設(shè)邊長由設(shè)邊長由的的改改變變量量正正方方形形面面積積20 xa 2020)(xxxa .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且為且為的線性函數(shù)的線性函數(shù)ax .,很小時可忽略很小時可忽略當(dāng)當(dāng)?shù)母唠A無窮小的高階無窮小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0上頁下頁結(jié)束返回首頁再例如再例如, ,.,03yxxxy 求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量時時為為處的改變量處的改變量在點在

3、點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很小時很小時當(dāng)當(dāng) x .320 xxy ),()2(xox 的高階無窮小的高階無窮小是是既容易計算又是較好的近似值既容易計算又是較好的近似值問題問題: : 一般一般函數(shù)函數(shù)y=f(x)是否也有是否也有 y=f(x+ x) f(x)=a x+o( x)? a是什么是什么?如何求如何求?)(3030 xoxaxxxy 但是但是上頁下頁結(jié)束返回首頁0000( ),()()(),()yf xxxxf xyaxoaxxf xx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在某某區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)有有定定義義及及在在這這區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)如如果果成成立立 其其

4、中中 是是與與無無關(guān)關(guān)的的常常數(shù)數(shù)000(),.x xx xdydf xdyax 記記作作或或即即二、微分的定義二、微分的定義定義定義1.dyy 微微分分叫叫做做函函數(shù)數(shù)增增量量線線性性主主部部的的( (微分的實質(zhì)微分的實質(zhì)) )p112記作記作稱為函數(shù)的微分稱為函數(shù)的微分的微分的微分在任意點在任意點函數(shù)函數(shù),)(xxfy ,)(,)(00的微分的微分相應(yīng)于自變量增量相應(yīng)于自變量增量在點在點為函數(shù)為函數(shù)并且稱并且稱可微可微在點在點則稱函數(shù)則稱函數(shù)xxxfyxaxxfy .)(),(xxfdyxdfdy 即即或或2.3.上頁下頁結(jié)束返回首頁 y、 x 、 dy、f(x)、a、o( x)之間的關(guān)系

5、之間的關(guān)系: :;)1(的線性函數(shù)的線性函數(shù)是自變量的改變量是自變量的改變量xdy ;)()2(高階無窮小高階無窮小是比是比 xxodyy ;,0)3(是等價無窮小是等價無窮小與與時時當(dāng)當(dāng)ydya dyy xaxo )(1).0(1x;)(,)4(0有關(guān)有關(guān)和和但與但與無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)是與是與xxfxa ).(,)5(線性主部線性主部很小時很小時當(dāng)當(dāng)dyyx ),( xoxay . xady .)(| )(000 xxfxdfdyxxxx 上頁下頁結(jié)束返回首頁三、微分的幾何意義三、微分的幾何意義)(xfy 0 xmntdyy )( xo ）xyo x .,對應(yīng)的增量對應(yīng)的增量就是切線縱坐標(biāo)

6、就是切線縱坐標(biāo)坐標(biāo)增量時坐標(biāo)增量時是曲線的縱是曲線的縱當(dāng)當(dāng)dyy xx0 p .,mnmpmx可近似代替曲線段可近似代替曲線段切線段切線段的附近的附近在點在點很小時很小時當(dāng)當(dāng) p114例例: 已知曲線已知曲線y=f(x)在在x=1處的切線方程為處的切線方程為2x-y+1=0,求求x=1處的微分處的微分.dy=f(x) x= 2 x習(xí)題p123-2上頁下頁結(jié)束返回首頁四、可微的條件四、可微的條件可微與可導(dǎo)的關(guān)系可微與可導(dǎo)的關(guān)系p114000( )( ),().f xxf xxafx 函函數(shù)數(shù)在在點點的的充充要要條條件件是是函函數(shù)數(shù)在在且且可可導(dǎo)導(dǎo)點點處處可可微微定理定理證證(1) 必要性必要性,

7、)(0可可微微在在點點xxf),( xoxay ,)(xxoaxy xxoaxyxx )(limlim00則則.a ).(,)(00 xfaxxf 且且可導(dǎo)可導(dǎo)在點在點即函數(shù)即函數(shù)上頁下頁結(jié)束返回首頁(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy 從而從而,)(0 xfxy即即,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點函函數(shù)數(shù)xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00axfxxf 且且可微可微在點在點函數(shù)函數(shù)).(.0 xfa 可微可微可導(dǎo)可導(dǎo)上頁下頁結(jié)束返回首頁例例1 1解解.02. 0, 23時的微分時的微分當(dāng)當(dāng)求函數(shù)求函數(shù) xxxyxxdy )(3.32xx

8、 02. 02202. 023 xxxxxxdy.24. 0 ,.xxdxdxx 自自變變量量通通常常把把自自變變量量 的的增增量量稱稱為為記記作作即即的的微微分分.)(dxxfdy ).(xfdxdy .dydx即即函函數(shù)數(shù)的的微微分分與與自自變變量量的的微微分分之之商商等等于于該該函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)也也微微商商叫叫定義定義4.定義定義5.上頁下頁結(jié)束返回首頁五、微分的求法五、微分的求法dxxfdy)( 求法求法: : 計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.1. 基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式xctgxdxxdxtgxdxxdxdxctg

9、xdxdxtgxdxdxxdxdxxddxxxdcdcsc)(cscsec)(seccsc)(sec)(sin)(coscos)(sin)(0)(221 上頁下頁結(jié)束返回首頁dxxarcctgxddxxarctgxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)(11)(11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則2)()()()(vudvvduvududvvduuvdcducuddvduvud 上頁下頁結(jié)束返回首頁例例2 2解解.),ln(2dyexyx

10、求求設(shè)設(shè) ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 例例3 3解解.,cos31dyxeyx求求設(shè)設(shè) )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 上頁下頁結(jié)束返回首頁六、微分形式的不變性六、微分形式的不變性;)(,)1(dxxfdyx 是自變量時是自變量時若若則則微函數(shù)微函數(shù)的可的可即另一變量即另一變量是中間變量時是中間變量時若若),(,)2(txtx ),()(xfxfy 有導(dǎo)數(shù)有導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)dttxfdy)()( ,)(dx

11、dtt .)(dxxfdy 結(jié)論結(jié)論：的微分形式總是的微分形式總是函數(shù)函數(shù)是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無論無論)(,xfyx 微分形式的不變性微分形式的不變性dxxfdy)( 上頁下頁結(jié)束返回首頁例例4 4解解.,sindybxeyax求求設(shè)設(shè) )(sin)(cosaxdebxbxbxdedyaxax dxaebxbdxbxeaxax)(sincos .)sincos(dxbxabxbeax 例例3 3解解.),12sin(dyxy求求設(shè)設(shè) . 12,sin xuuyududycos )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx 上頁下頁結(jié)束返回首

12、頁例例5 5解解在下列等式左端的括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)在下列等式左端的括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使使等式成立等式成立.).()()(sin)2(;cos)()1(2xdxdtdtd ,cos)(sin)1(tdttd )(sin1costdtdt 1(sin)cos.cdttdt );sin1(td dxxdxxxxdxd21cos2)()(sin)2(22 ,cos42xxx ).()cos4()(sin22xdxxxxd 上頁下頁結(jié)束返回首頁2222)(11)(arctanyxydxxdyxydxxdyxyxyd 2222222221)(lnyxydyxdxyxydyxdxyxd 于是于是 xd

13、y-ydx=xdx+ydy, .dxyxyxdy 例例6 設(shè)由設(shè)由 確定確定y為為x的函數(shù)的函數(shù),求求dy.22lnarctanyxxy 解解 應(yīng)用微分的運算法則及一階微分形式的不變性應(yīng)用微分的運算法則及一階微分形式的不變性, ,有有)(ln)(arctan22yxdxyd 上頁下頁結(jié)束返回首頁1、計算函數(shù)增量的近似值、計算函數(shù)增量的近似值, 0)()(00很小時很小時且且處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)在點在點若若xxfxxfy 例例1 1?,05. 0,10問問面面積積增增大大了了多多少少厘厘米米半半徑徑伸伸長長了了厘厘米米的的金金屬屬圓圓片片加加熱熱后后半半徑徑解解,2ra 設(shè)設(shè).05. 0,10厘米厘

14、米厘米厘米 rrrrdaa205. 0102 ).(2厘米厘米 .)(0 xxf 00 xxxxdyy 七、微分在近似計算中的應(yīng)用七、微分在近似計算中的應(yīng)用精確值=?,見3章1節(jié)上頁下頁結(jié)束返回首頁2、計算函數(shù)的近似值、計算函數(shù)的近似值;)(. 10附近的近似值附近的近似值在點在點求求xxxf )()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小時很小時x 例例7 7.0360coso的的近近似似值值計計算算 解解,cos)(xxf 設(shè)設(shè))( ,sin)(為弧度為弧度xxxf ,360,30 xx.23)3(,21)3( ff)3603cos(0360

15、coso sin3cos3360 3602321 .4924. 0 精確值=?,見3章3節(jié)上頁下頁結(jié)束返回首頁;0)(. 2附近的近似值附近的近似值在點在點求求 xxf.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf ., 00 xxx 令令常用近似公式常用近似公式)(很小時很小時x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 為弧度為弧度為弧度為弧度證明證明,1)()1(nxxf 設(shè)設(shè),)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx 上頁下頁結(jié)束返回首頁例例8

16、8.計計算算下下列列各各數(shù)數(shù)的的近近似似值值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e335 . 110005 .998)1( 3)10005 . 11(1000 30015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 01)2(03. 0 e.97. 0 上頁下頁結(jié)束返回首頁某量的精確值為 a , 其近似值為 a ,aa稱為a 的絕對誤差絕對誤差aaa稱為a 的相對誤差相對誤差若aaaa稱為測量 a 的絕對誤差限絕對誤差限aa稱為測量 a 的相對誤差限相對誤差限3、誤差估計、誤差估計上頁下頁結(jié)束返回首頁誤差傳遞公式誤差傳遞公式 :已知測量誤差限為,x按公式)(xf

17、y 計算 y 值時的誤差yydxxf)(xxf)(故 y 的絕對誤差限約為xyxf)(相對誤差限約為xyxfxfy)()(若直接測量某量得 x ,上頁下頁結(jié)束返回首頁例例7. 設(shè)測得圓鋼截面的直徑 mm,0 .60d測量d 的 絕對誤差限,mm05. 0d欲利用公式24da圓鋼截面積 ,解解: 計算 a 的絕對誤差限約為daadd205. 00 .602715. 4 a 的相對誤差限約為242ddadadd20 .6005. 02%17. 0試估計面積的誤差 . 計算(mm)上頁下頁結(jié)束返回首頁小結(jié)小結(jié)微分學(xué)所要解決的兩類問題微分學(xué)所要解決的兩類問題:函數(shù)的變化率問題函數(shù)的變化率問題函數(shù)的增量

18、問題函數(shù)的增量問題微分的概念微分的概念導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)數(shù)與微分的方法求導(dǎo)數(shù)與微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué)研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué),叫做叫做微分學(xué)微分學(xué).導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系:.可微可微可導(dǎo)可導(dǎo) 上頁下頁結(jié)束返回首頁導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別:且且的的線線性性函函數(shù)數(shù)是是而而微微分分處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是一一個個定定數(shù)數(shù)在在點點函函數(shù)數(shù),)(),()(. 1000 xxxfdyxfxxf xxfdyxx )(limlim000. 0 .)(,()()(,)(,()()(,. 20000000的縱坐標(biāo)增量的縱坐標(biāo)增量處的切線方程在點處的切線方程在點在點在點是曲線是曲線而微分而微分處切線的斜率處切線的斜率點點在在是曲線是曲線從幾何意義上來看從幾何意義上來看xxfxxfyxxfdyxfxxfyxf 上頁下頁結(jié)束返回首頁z 思考思考 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點點0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)，當(dāng)當(dāng)自自變變量