廈門大學(xué)應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析第02章多元正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)

1、第二章第二章 多元正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)多元正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)第一節(jié)第一節(jié) 引言引言 第二節(jié)第二節(jié) 基本概念基本概念第三節(jié)第三節(jié) 多元正態(tài)分布多元正態(tài)分布第四節(jié)第四節(jié) 多元正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)多元正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)第五節(jié)第五節(jié) 多元正態(tài)分布參數(shù)估計(jì)的多元正態(tài)分布參數(shù)估計(jì)的 實(shí)例與計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)實(shí)例與計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)第一節(jié)第一節(jié) 引言引言 n多元統(tǒng)計(jì)分析涉及到的都是隨機(jī)向量或多個(gè)隨機(jī)向量放在一多元統(tǒng)計(jì)分析涉及到的都是隨機(jī)向量或多個(gè)隨機(jī)向量放在一起組成的隨機(jī)矩陣。例如在研究公司的運(yùn)營(yíng)情況時(shí)，要考慮起組成的隨機(jī)矩陣。例如在研究公司的運(yùn)營(yíng)情況時(shí)，要考慮公司的獲利能力、資金周轉(zhuǎn)能力、競(jìng)爭(zhēng)能力以及償債能力等公司的獲利能力

2、、資金周轉(zhuǎn)能力、競(jìng)爭(zhēng)能力以及償債能力等財(cái)務(wù)指標(biāo)；又如在研究國(guó)家財(cái)政收入時(shí)，稅收收入、企業(yè)收財(cái)務(wù)指標(biāo)；又如在研究國(guó)家財(cái)政收入時(shí)，稅收收入、企業(yè)收入、債務(wù)收入、國(guó)家能源交通重點(diǎn)建設(shè)基金收入、基本建設(shè)入、債務(wù)收入、國(guó)家能源交通重點(diǎn)建設(shè)基金收入、基本建設(shè)貸款歸還收入、國(guó)家預(yù)算調(diào)節(jié)基金收入、其他收入等都是需貸款歸還收入、國(guó)家預(yù)算調(diào)節(jié)基金收入、其他收入等都是需要同時(shí)考察的指標(biāo)。顯然，如果我們只研究一個(gè)指標(biāo)或是將要同時(shí)考察的指標(biāo)。顯然，如果我們只研究一個(gè)指標(biāo)或是將這些指標(biāo)割裂開分別研究，是不能從整體上把握研究問題的這些指標(biāo)割裂開分別研究，是不能從整體上把握研究問題的實(shí)質(zhì)的，解決這些問題就需要多元統(tǒng)計(jì)分析方法

3、。為了更好實(shí)質(zhì)的，解決這些問題就需要多元統(tǒng)計(jì)分析方法。為了更好的探討這些問題，本章我們首先論述有關(guān)隨機(jī)向量的基本概的探討這些問題，本章我們首先論述有關(guān)隨機(jī)向量的基本概念和性質(zhì)。念和性質(zhì)。n在實(shí)用中遇到的隨機(jī)向量常常是服從正態(tài)分布或近似正態(tài)分在實(shí)用中遇到的隨機(jī)向量常常是服從正態(tài)分布或近似正態(tài)分布，或雖本身不是正態(tài)分布，但它的樣本均值近似于正態(tài)分布，或雖本身不是正態(tài)分布，但它的樣本均值近似于正態(tài)分布。因此現(xiàn)實(shí)世界中許多實(shí)際問題的解決辦法都是以總體服布。因此現(xiàn)實(shí)世界中許多實(shí)際問題的解決辦法都是以總體服從正態(tài)分布或近似正態(tài)分布為前提的。在多元統(tǒng)計(jì)分析中，從正態(tài)分布或近似正態(tài)分布為前提的。在多元統(tǒng)計(jì)分析

4、中， 多元正態(tài)分布占有很重要地位，本書所介紹的方法大都假定多元正態(tài)分布占有很重要地位，本書所介紹的方法大都假定數(shù)據(jù)來之多元正態(tài)分布。為此，本章將要介紹多元正態(tài)分布數(shù)據(jù)來之多元正態(tài)分布。為此，本章將要介紹多元正態(tài)分布的定義和有關(guān)性質(zhì)。的定義和有關(guān)性質(zhì)。n 然而在實(shí)際問題中，多元正態(tài)分布中均值向量和協(xié)差陣通然而在實(shí)際問題中，多元正態(tài)分布中均值向量和協(xié)差陣通常是未知的，一般的做法是由樣本來估計(jì)。這是本章討論的常是未知的，一般的做法是由樣本來估計(jì)。這是本章討論的重要內(nèi)容之一，在此我們介紹最常見的最大似然估計(jì)法對(duì)參重要內(nèi)容之一，在此我們介紹最常見的最大似然估計(jì)法對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并討論其有關(guān)的性質(zhì)。數(shù)進(jìn)行

5、估計(jì)，并討論其有關(guān)的性質(zhì)。第二節(jié)第二節(jié) 基本概念基本概念一一 隨機(jī)向量隨機(jī)向量二二 多元分布多元分布三三 隨機(jī)向量的數(shù)字特征隨機(jī)向量的數(shù)字特征 一、隨機(jī)向量一、隨機(jī)向量n我們所討論的是多個(gè)變量的總體，所研究的數(shù)據(jù)是同時(shí)我們所討論的是多個(gè)變量的總體，所研究的數(shù)據(jù)是同時(shí)p個(gè)個(gè)指標(biāo)（變量），又進(jìn)行了指標(biāo)（變量），又進(jìn)行了n次觀測(cè)得到的，我們把這個(gè)次觀測(cè)得到的，我們把這個(gè)p指標(biāo)指標(biāo)表示為表示為x1 ，x2，xp，常用向量，常用向量x = (x1 ， x2 ， ， xp)n表示對(duì)同一個(gè)體觀測(cè)的表示對(duì)同一個(gè)體觀測(cè)的p個(gè)變量。這里我們應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，在多個(gè)變量。這里我們應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，在多元統(tǒng)計(jì)分析中，仍然將所研究對(duì)象

6、的全體稱為總體，它是由元統(tǒng)計(jì)分析中，仍然將所研究對(duì)象的全體稱為總體，它是由許多（有限和無限）的個(gè)體構(gòu)成的集合，如果構(gòu)成總體的個(gè)許多（有限和無限）的個(gè)體構(gòu)成的集合，如果構(gòu)成總體的個(gè)體是具有體是具有p個(gè)需要觀測(cè)指標(biāo)的個(gè)體，我們稱這樣的總體為個(gè)需要觀測(cè)指標(biāo)的個(gè)體，我們稱這樣的總體為p維維總體（或總體（或p元總體）。上面的表示便于人們用數(shù)學(xué)方法去研元總體）。上面的表示便于人們用數(shù)學(xué)方法去研究究p維總體的特性。這里維總體的特性。這里“維維”（或（或“元元”）的概念，表示）的概念，表示共有幾個(gè)分量。若觀測(cè)了共有幾個(gè)分量。若觀測(cè)了n個(gè)個(gè)體，則可得到如表個(gè)個(gè)體，則可得到如表2.1的數(shù)據(jù)，的數(shù)據(jù)，稱每一個(gè)個(gè)體的

7、稱每一個(gè)個(gè)體的p個(gè)變量為一個(gè)樣品，而全體個(gè)變量為一個(gè)樣品，而全體n個(gè)樣品組成一個(gè)樣品組成一個(gè)樣本。個(gè)樣本。 n n 二、多元分布二、多元分布n n n n n n n n n n n n 三、隨機(jī)向量的數(shù)字特征三、隨機(jī)向量的數(shù)字特征 n n n n n n n n 第三節(jié)第三節(jié) 多元正態(tài)分布多元正態(tài)分布一一 多元正態(tài)分布的定義多元正態(tài)分布的定義 二二 多元正態(tài)分布的性質(zhì)多元正態(tài)分布的性質(zhì) 一、多元正態(tài)分布的定義一、多元正態(tài)分布的定義n n n n n 二、多元正態(tài)分布的性質(zhì)二、多元正態(tài)分布的性質(zhì) n n n n 第四節(jié)第四節(jié) 多元正態(tài)分布的參數(shù)估多元正態(tài)分布的參數(shù)估 計(jì)計(jì) 一一 多元樣本的數(shù)字

8、特征多元樣本的數(shù)字特征 二二 均值向量與協(xié)差陣的最大似然估計(jì)均值向量與協(xié)差陣的最大似然估計(jì) 三三 wishart分布分布 一、多元樣本的數(shù)字特征一、多元樣本的數(shù)字特征 n n n 二、均值向量與協(xié)差陣的最大似然二、均值向量與協(xié)差陣的最大似然 估計(jì)估計(jì) n n n n n n n 三、三、wishart分布分布n n n n n 第五節(jié)第五節(jié) 多元正態(tài)分布參數(shù)估計(jì)多元正態(tài)分布參數(shù)估計(jì) 的實(shí)例與計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的實(shí)例與計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn) 一一 均值向量的估計(jì)均值向量的估計(jì)二二 協(xié)差陣的估計(jì)協(xié)差陣的估計(jì) n通過上面的理論分析知道，多元正態(tài)總體均值向量和協(xié)差陣通過上面的理論分析知道，多元正態(tài)總體均值向量和協(xié)差陣的最

9、大似然估計(jì)分別是樣本均值向量和樣本協(xié)差陣。利用的最大似然估計(jì)分別是樣本均值向量和樣本協(xié)差陣。利用spss軟件可以迅速地計(jì)算出多元分布的樣本均值向量、樣軟件可以迅速地計(jì)算出多元分布的樣本均值向量、樣本離差陣和樣本協(xié)差陣。下面通過一個(gè)實(shí)例來說明多元正態(tài)本離差陣和樣本協(xié)差陣。下面通過一個(gè)實(shí)例來說明多元正態(tài)分布參數(shù)估計(jì)的分布參數(shù)估計(jì)的spss實(shí)現(xiàn)過程。實(shí)現(xiàn)過程。n從滬深兩市上市公司中隨機(jī)抽取從滬深兩市上市公司中隨機(jī)抽取300家公司，取其三個(gè)反映家公司，取其三個(gè)反映收益情況的三個(gè)財(cái)務(wù)指標(biāo)：每股收益率（收益情況的三個(gè)財(cái)務(wù)指標(biāo)：每股收益率（eps）、凈資產(chǎn)收）、凈資產(chǎn)收益率（益率（roe）和總資產(chǎn)收益率（）

10、和總資產(chǎn)收益率（roa）?，F(xiàn)要求對(duì)這三個(gè)指標(biāo)）。現(xiàn)要求對(duì)這三個(gè)指標(biāo)的均值和協(xié)差陣進(jìn)行估計(jì)。的均值和協(xié)差陣進(jìn)行估計(jì)。一、均值向量的估計(jì)一、均值向量的估計(jì)n在在spss中計(jì)算樣本均值向量的步驟如下：中計(jì)算樣本均值向量的步驟如下：1. 選擇菜單項(xiàng)選擇菜單項(xiàng)analyzedescriptive statisticsdescriptives，打開打開descriptives對(duì)話框，如圖對(duì)話框，如圖2.1。將待估計(jì)的三個(gè)變量移。將待估計(jì)的三個(gè)變量移入右邊的入右邊的variables列表框中。列表框中。圖圖2.1 descriptives對(duì)話框?qū)υ捒?. 單擊單擊options按鈕，打開按鈕，打開optio

11、ns子對(duì)話框，如圖子對(duì)話框，如圖2.2所示。所示。在對(duì)話框中選擇在對(duì)話框中選擇mean復(fù)選框，即計(jì)算樣本均值向量。單擊復(fù)選框，即計(jì)算樣本均值向量。單擊continue按鈕返回主對(duì)話框。按鈕返回主對(duì)話框。圖圖2.2 options子對(duì)話框子對(duì)話框3. 單擊單擊ok按鈕，執(zhí)行操作。則在結(jié)果輸出窗口中給出樣本按鈕，執(zhí)行操作。則在結(jié)果輸出窗口中給出樣本均值向量，如表均值向量，如表2.2。即樣本均值向量為（。即樣本均值向量為（0.175，0.044，0.026）。）。descriptive statistics300.175287300.044093300.025695300每 股 收 益 率凈 資 產(chǎn)

12、 收 益 率資 產(chǎn) 收 益 率valid n (listwise)nmean表表2.2 樣本均值向量樣本均值向量二、協(xié)差陣的估計(jì)二、協(xié)差陣的估計(jì)n在在spss中計(jì)算樣本協(xié)差陣的步驟如下：中計(jì)算樣本協(xié)差陣的步驟如下：1. 選擇菜單項(xiàng)選擇菜單項(xiàng)analyzecorrelatebivariate，打開，打開bivariate correlations對(duì)話框，如圖對(duì)話框，如圖2.3。將三個(gè)變量移入右。將三個(gè)變量移入右邊的邊的variables列表框中。列表框中。 圖圖2.3 bivariate correlations對(duì)話框?qū)υ捒?. 單擊單擊options按鈕，打開按鈕，打開options子對(duì)話框，

13、如圖子對(duì)話框，如圖2.4。選擇。選擇cross-product deviations and covariances復(fù)選框，即計(jì)算樣復(fù)選框，即計(jì)算樣本離差陣和樣本協(xié)差陣。單擊本離差陣和樣本協(xié)差陣。單擊continue按鈕，返回主對(duì)話框。按鈕，返回主對(duì)話框。圖圖2.4 options子對(duì)話框子對(duì)話框3. 單擊單擊ok按鈕，執(zhí)行操作。則在結(jié)果輸出窗口中給出相關(guān)按鈕，執(zhí)行操作。則在結(jié)果輸出窗口中給出相關(guān)分析表。表中分析表。表中pearson correlation給出皮爾遜相關(guān)系數(shù)矩陣，給出皮爾遜相關(guān)系數(shù)矩陣，sum of squares and cross-products給出樣本離差陣，給出樣本

14、離差陣，covariance給出樣本協(xié)差陣。給出樣本協(xié)差陣。n值得注意的是，這里給出的樣本協(xié)差陣是值得注意的是，這里給出的樣本協(xié)差陣是s/(n-1) ，而不是，而不是s/n 。correlations1.877*.824*.000.00030.94110.5943.743.103.035.013300300300.877*1.798*.000.00010.5944.7141.415.035.016.005300300300.824*.798*1.000.000.3.7431.415.667.013.005.002300300300pearson correlationsig. (2-tailed)sum of squares andcross-productscovariancenpearson correlationsig. (2-tailed)sum of squares andcross-productscovariancenpearson corr