大學物理上電學講座

1、靜電學靜電學理學院：姜海麗理學院：姜海麗3、電通量：在靜電場中，通過某一曲面的電力線總條數。、電通量：在靜電場中，通過某一曲面的電力線總條數。定義式為：定義式為：0qFE一、基本概念一、基本概念1.靜電場：相對于觀察者靜止的電荷激發(fā)的電場稱為靜電靜電場：相對于觀察者靜止的電荷激發(fā)的電場稱為靜電 場場.2、電場強度：電場強度是描述電場的性質的物理量，其、電場強度：電場強度是描述電場的性質的物理量，其定義式為：定義式為：電場強度電場強度SeSdErrrqqF20214二、基本定律、定理和公式二、基本定律、定理和公式1真空中的庫侖定律：在真空中，兩個靜止的點電荷真空中的庫侖定律：在真空中，兩個靜止的

2、點電荷、之間的相互作用力的大小，正比于它們電荷的乘積，之間的相互作用力的大小，正比于它們電荷的乘積，反比于它們之間的距離反比于它們之間的距離r的平方，作用力的方向沿著的平方，作用力的方向沿著它們的連線。其數學表達式為：它們的連線。其數學表達式為：只適用于兩個點電荷的情形。只適用于兩個點電荷的情形。2靜電場的高斯定理：通過靜電場中任一閉合曲面的電靜電場的高斯定理：通過靜電場中任一閉合曲面的電通量等于該曲面所包圍的所有電荷的代數和除以通量等于該曲面所包圍的所有電荷的代數和除以iiSqSdE010三、典型題形：三、典型題形：1、求解電場強度；、求解電場強度；2、求電場力、求電場力四、場強的求解方法四

3、、場強的求解方法1、迭加法：、迭加法：2、高斯定理、高斯定理無限長均勻帶電細棒的場強方向垂直于無限長均勻帶電細棒的場強方向垂直于細棒細棒aEy02均勻帶電圓環(huán)均勻帶電圓環(huán)23220)(4xRqxE點電荷：點電荷：rrqE4120 1、一環(huán)形薄片由細繩懸吊著，環(huán)的內、外半徑分別為、一環(huán)形薄片由細繩懸吊著，環(huán)的內、外半徑分別為R/2、R，并有電量均勻分布在環(huán)面上，細繩長，并有電量均勻分布在環(huán)面上，細繩長3R，并有電量，并有電量均勻分布在繩上，試求圓環(huán)中心均勻分布在繩上，試求圓環(huán)中心O處的電場強度。（圓處的電場強度。（圓環(huán)中心在細繩的延長線上）環(huán)中心在細繩的延長線上）迭加法求解電場強度迭加法求解電場

4、強度1、線分布、線分布20144ddxRqE20412dxRRxQ E1 x R 3R x dx O 解：先計算細繩上的電荷在解：先計算細繩上的電荷在O點產生的場強選細繩頂點產生的場強選細繩頂端作坐標原點端作坐標原點O，x軸向下為正在軸向下為正在x處取一電荷元處取一電荷元 dq = dx = Qdx/(3R) 它在環(huán)心處的場強為它在環(huán)心處的場強為 整個細繩上的電荷在環(huán)心處的場強整個細繩上的電荷在環(huán)心處的場強 4R122R00QdxQE12R16R4Rx iRQiEE20116圓環(huán)上的電荷分布對環(huán)心對稱，它在環(huán)心處的場強圓環(huán)上的電荷分布對環(huán)心對稱，它在環(huán)心處的場強E2=0 由此，合場強由此，合場

5、強 方向豎直向下方向豎直向下 Oxy2. 求：均勻帶電半圓環(huán)圓心的場強。求：均勻帶電半圓環(huán)圓心的場強。 設圓設圓 環(huán)帶電密度為環(huán)帶電密度為 ，半徑為，半徑為R.Oxydl dER解：取微分元解：取微分元dl ,則則2041RdldE方向如圖。方向如圖。由對稱性可知：由對稱性可知：0 xERdRRdldEdEEyy000204sin4sin41sin2、面分布、面分布1、“無限長無限長”均勻帶電的半圓柱面，半徑為均勻帶電的半圓柱面，半徑為R，設半圓柱面，設半圓柱面沿軸線單位長度上的電荷為沿軸線單位長度上的電荷為 ，試求：軸線上一點的電，試求：軸線上一點的電場強度場強度dddlRd22dd020R

6、RERREx02002dsin2iRjEiEEyx02解：將半圓柱面劃分成許多窄條解：將半圓柱面劃分成許多窄條dl寬的窄條的電荷線密度為寬的窄條的電荷線密度為 Ey=0 2、 一半徑為一半徑為R，長度為，長度為L的均勻帶電圓柱面，總電量為的均勻帶電圓柱面，總電量為Q。試求端面處軸線上試求端面處軸線上P點的電場強度。點的電場強度。2/32204dxLRxLqdE2/32204dxLRLxxLQ2/322220d8xLRxLRLQ O x L x dx P dE 解：以左端面處為坐標原點解：以左端面處為坐標原點x軸沿軸線向右為正在距軸沿軸線向右為正在距O點為點為x處取寬處取寬dx的圓環(huán)，其上電荷的

7、圓環(huán)，其上電荷dq=(Qdx) / L 小圓環(huán)小圓環(huán)在在P點產生的電場強度為：點產生的電場強度為： LxLRxLRLQdEE02/322220d8220114LRRLQ總場強總場強 方向沿方向沿x軸正向軸正向. 3. 一半徑為一半徑為R的半球面，均勻地帶有電荷，的半球面，均勻地帶有電荷， 電荷面密度為電荷面密度為。 求：球心求：球心O處的電場強度。處的電場強度。OOR解：解：dS=2rdl=2RcosRd dq=dS=2R2cosd304RxdqdE x=Rsin OORRrdldExrR02/004cossin2ddEE4. 一錐頂角為一錐頂角為的圓臺，上下底面半徑分別為的圓臺，上下底面半徑

8、分別為R1和和R2，在它的側面上均勻帶電，電荷面密度在它的側面上均勻帶電，電荷面密度，求：頂角求：頂角O的的電勢。電勢。 （以無窮遠處電勢為零點）（以無窮遠處電勢為零點）xx1x2dxdlrdxtgxrdqdU022022401202)(2221RRdxtgdUUxxxdxtgrdldS2cos222dSdq解：如圖所示，取微分元，則解：如圖所示，取微分元，則xx1x2dxdlr5、如圖所示，一電荷面密度為、如圖所示，一電荷面密度為的的“無限大無限大”平面，在距離平面平面，在距離平面a處處的一點的場強大小的一半是由平面上的一個半徑為的一點的場強大小的一半是由平面上的一個半徑為R的圓面積范的圓面

9、積范圍內的電荷所產生的試求：該圓半徑的大小圍內的電荷所產生的試求：該圓半徑的大小 02/Erdrdq22/32202draardrE無限大均勻帶電平面在任意點的場強大小為無限大均勻帶電平面在任意點的場強大小為 以圖中以圖中O點為圓心，取半徑為點為圓心，取半徑為rrdr的環(huán)形面積，其電量為的環(huán)形面積，其電量為它在距離平面為它在距離平面為a的一點處產生的場強的一點處產生的場強 RrarraE02/3220d20220412Raa則半徑為則半徑為R的圓面積內的電荷在該點的場強為的圓面積內的電荷在該點的場強為 aR3解：由題意知，電荷沿解：由題意知，電荷沿x軸方向按余弦規(guī)律變化可軸方向按余弦規(guī)律變化可

10、判斷場強的方向必沿判斷場強的方向必沿x軸方向，且相對軸方向，且相對yOz平面對稱分布平面對稱分布在在x處作與處作與x軸垂直的兩個相同的軸垂直的兩個相同的 平面平面S，用與，用與x軸平軸平行的側面將其封行的側面將其封 閉為高斯面，如圖所示閉為高斯面，如圖所示 由高斯定理由高斯定理xcos001.設電荷體密度沿設電荷體密度沿x軸方向按余弦規(guī)律軸方向按余弦規(guī)律分布在整個空間，分布在整個空間，為常量，求：空間電場分布。為常量，求：空間電場分布。SVVSdE0/d yOz 平面 側面 S E E S O -x +x x 高斯定理求解電場強度高斯定理求解電場強度SESdES2xxVxxSVdcosd0 x

11、Ssin20由此由此 2SE = 2S 0 sin x / 0 得得 E=0 sin x / 0 方向可由方向可由E值正、負確定，值正、負確定，E0表示沿表示沿x軸正向，軸正向，ER) 試求：試求：(1) 帶電球體的總電荷；帶電球體的總電荷；(2) 球內、外各點的電場球內、外各點的電場強度；強度；(3) 球內、外各點的電勢球內、外各點的電勢3一半徑為一半徑為R的帶電球體，其電荷體密度分布為的帶電球體，其電荷體密度分布為 (rR) (q為一正的常量為一正的常量) (1)在球內取半徑為在球內取半徑為r、厚為、厚為dr的薄球殼，該殼內所包含的電荷為的薄球殼，該殼內所包含的電荷為 dq = dV =

12、qr 4 r2dr/( R4) = 4qr3dr/R4則球體所帶的總電荷為則球體所帶的總電荷為 qrrRqVQrV034d/4d 404102401211d414RqrrrRqrErr402114RqrE0222/4qEr22024rqE(2) 在球內作一半徑為在球內作一半徑為r1的高斯球面，按高斯定理有的高斯球面，按高斯定理有 方向沿半徑向外球體外作半徑為方向沿半徑向外球體外作半徑為r2的高斯球面，按高斯定理有的高斯球面，按高斯定理有 方向沿半徑向外方向沿半徑向外 RRrrErEUdd2111RRrrrqrRqrd4d420402140310123RqrRq3310412RrRqRr 120

13、20224d4d22rqrrqrEUrRrRr 2 (3) 球內電勢球內電勢 球外電勢球外電勢1. 兩根相同的均勻帶電細棒，長為兩根相同的均勻帶電細棒，長為l，電荷線密度為，電荷線密度為l，沿同一條直線放置兩細棒間最近距離也為沿同一條直線放置兩細棒間最近距離也為l，如圖所示，如圖所示假設棒上的電荷是不能自由移動的，試求：兩棒間的靜假設棒上的電荷是不能自由移動的，試求：兩棒間的靜電相互作用力電相互作用力.求解電場力求解電場力204ddxxxElxxxE0204dxlx1140解：選左棒的左端為坐標原點解：選左棒的左端為坐標原點O，x軸沿軸沿 棒方向向右，棒方向向右，在左棒上在左棒上x處取線元處取

14、線元dx，其電荷為，其電荷為dq dx，它在右棒，它在右棒的的x處產生的場強為：處產生的場強為： 整個左棒產生的場強為：整個左棒產生的場強為： xxlxxEFd114dd02llxxlxF3202d11434ln402FF右棒右棒x處的電荷元處的電荷元dx在電場中受力為：在電場中受力為： 整個右棒在電場中受力為：整個右棒在電場中受力為： 方向沿方向沿x軸正向軸正向左棒受力左棒受力 2.半徑為半徑為R、電荷線密度為、電荷線密度為l1的一個均勻帶電圓環(huán)，在其軸的一個均勻帶電圓環(huán)，在其軸線上放一長為線上放一長為l、電荷線密度為、電荷線密度為l2的均勻帶電直線段，該的均勻帶電直線段，該線段的一端處于圓

15、環(huán)中心處，如圖所示求該直線段受線段的一端處于圓環(huán)中心處，如圖所示求該直線段受到的電場力到的電場力 R O 1 2 l dxqd2xRxRxqEFxddd22/3220122/322021dRxxRx2在在x處取一電荷元處取一電荷元它受到的電場力為它受到的電場力為 lRxRxRF02/32222021d42/1220212RxlR042/12202111RlRR2線段受到的總力線段受到的總力 aaal dEqWU0VQC 1 1、電勢：電場中某點的電勢在數值上等于單位正電荷在、電勢：電場中某點的電勢在數值上等于單位正電荷在該點所具有的電勢能。定義式為：該點所具有的電勢能。定義式為：2 2、電容：

16、孤立導體所帶的電荷與其電勢的比值叫做孤立、電容：孤立導體所帶的電荷與其電勢的比值叫做孤立 導體的電容。定義式為：導體的電容。定義式為：VpP3 3、電極化強度、電極化強度：電介質中單位體積中分子電偶極矩的矢：電介質中單位體積中分子電偶極矩的矢量和。定義式為：量和。定義式為：電電 勢勢0ll dE1靜電場的環(huán)路定理：電場強度沿任意閉合路徑的線積靜電場的環(huán)路定理：電場強度沿任意閉合路徑的線積分（即環(huán)流）等于零。數學表達式為：分（即環(huán)流）等于零。數學表達式為：2靜電場的電勢疊加原理：點電荷系所激發(fā)的電場中某靜電場的電勢疊加原理：點電荷系所激發(fā)的電場中某點的電勢，等于各點電荷單獨存在時在該點建立的電勢

17、的點的電勢，等于各點電荷單獨存在時在該點建立的電勢的代數和。代數和。3電場強度與電勢的關系：電場中某一點的電場強度沿電場強度與電勢的關系：電場中某一點的電場強度沿任一方向的分量，等于這一點的電勢沿該方向單位長度的任一方向的分量，等于這一點的電勢沿該方向單位長度的電勢變化率的負值。電勢變化率的負值。VgradVE二、基本定律、定理和公式二、基本定律、定理和公式1000rrEPEEDEP4電位移矢量、電場強度和極化強度之間的關系：電位移矢量、電場強度和極化強度之間的關系：QUCUCQWe2121212222212121DDEEwe5電容器的電能：電容器的電能：6靜電場的能量密度：靜電場的能量密度：

18、三、典型題形：三、典型題形：1、求解電場強度；、求解電場強度；2、求電場力、求電場力3、求電勢及相關參量；、求電勢及相關參量；4、求解靜電平衡的相關問題；、求解靜電平衡的相關問題；5、電介質及電場能量。、電介質及電場能量。求解電勢及相關參量求解電勢及相關參量基本方法：基本方法：、定義法、疊加法21一、疊加法微元的選擇：一、疊加法微元的選擇：1）、點電荷）、點電荷rqV0 42)、帶電圓環(huán)、帶電圓環(huán)220 4RxqVP3)、帶電球殼、帶電球殼rQrV0 4)(外二、定義法：在已知電場分布的情況下求電勢二、定義法：在已知電場分布的情況下求電勢PPl dEU一般針對對稱性很強的帶電體，在利用高斯定理

19、求出一般針對對稱性很強的帶電體，在利用高斯定理求出空間場強分布的情況下，由定義式求出電勢?？臻g場強分布的情況下，由定義式求出電勢。2、圖中所示為一沿圖中所示為一沿x軸放置的長度為軸放置的長度為l的不均勻帶電細棒，的不均勻帶電細棒，其電荷線密度為其電荷線密度為 ，為一常量取無窮遠處為一常量取無窮遠處為電勢零點，求：坐標原點為電勢零點，求：坐標原點O處的電勢處的電勢 )(0ax1、在點電荷、在點電荷q的靜電場中，若選取與點電荷距離為的靜電場中，若選取與點電荷距離為r0的一點為電勢零的一點為電勢零點，則與點電荷距離為點，則與點電荷距離為r處的電勢處的電勢U dxaxdq)(0 xxaxU004ddl

20、aalaaxxaxdUUdd400alaalln4003、一均勻帶電球層，其電荷體密度為、一均勻帶電球層，其電荷體密度為，球層，球層內表面半徑為內表面半徑為R1，外表面半徑為，外表面半徑為R2。設無窮遠處電。設無窮遠處電勢為零，求：空腔內任一點的電勢。勢為零，求：空腔內任一點的電勢。解解: 由高斯定理可知空腔內由高斯定理可知空腔內E0，故帶電球層的空腔，故帶電球層的空腔是等勢區(qū)，各點電勢均為是等勢區(qū)，各點電勢均為U . 在球層內取半徑為在球層內取半徑為rrdr的薄球層其電荷為的薄球層其電荷為 dq = 4 r2dr該薄層電荷在球心處產生的電勢為該薄層電荷在球心處產生的電勢為 00/d4/ddr

21、rrqU212200002dd21RRrrUURR整個帶電球層在球心處產生的電勢為整個帶電球層在球心處產生的電勢為 2122002RRUUlEUd因為空腔內為等勢區(qū)所以空腔內任一點的電勢因為空腔內為等勢區(qū)所以空腔內任一點的電勢U為為 若根據電勢定義若根據電勢定義計算同樣計算同樣 4 Rqr = 0 (rR) 試求：試求：(1) 帶電球體的總電荷；帶電球體的總電荷；(2) 球內、外各點的電場球內、外各點的電場強度；強度；(3) 球內、外各點的電勢球內、外各點的電勢4一半徑為一半徑為R的帶電球體，其電荷體密度分布為的帶電球體，其電荷體密度分布為 (rR) (q為一正的常量為一正的常量) 5. 有兩

22、根半徑都是有兩根半徑都是R的的“無限長無限長”直導線，彼此平行放置，直導線，彼此平行放置，兩者軸線的距離是兩者軸線的距離是d（d2R），）， 單位長度上分別帶有電單位長度上分別帶有電量為量為+和和-的電荷。設兩帶電導線之間的相互作用不影的電荷。設兩帶電導線之間的相互作用不影響它們的電荷分布，試求兩導線的電勢差。響它們的電荷分布，試求兩導線的電勢差。解：設原點解：設原點O在左邊導線的軸線上，在左邊導線的軸線上，x軸通過兩導線軸線軸通過兩導線軸線并與之垂直在兩軸線組成的平面上，在并與之垂直在兩軸線組成的平面上，在Rx(dR)區(qū)域內，離原點距離區(qū)域內，離原點距離x處的處的P點場強為點場強為 xdxE

23、EE0022RdRxEUdRdRxxdxd1120RdRxdxlnln20RdRRRdlnln20RRd ln0則兩導線間的電勢差則兩導線間的電勢差 6. 如圖所示，半徑為如圖所示，半徑為R的均勻帶電球面，帶有電荷的均勻帶電球面，帶有電荷q沿某一半徑方向上有一均勻帶電細線，電荷線密度為沿某一半徑方向上有一均勻帶電細線，電荷線密度為，長度為長度為l，細線左端離球心距離為，細線左端離球心距離為r0設球和線上的電荷設球和線上的電荷分布不受相互作用影響，試求：細線所受球面電荷的電分布不受相互作用影響，試求：細線所受球面電荷的電場力和細線在該電場中的電勢能場力和細線在該電場中的電勢能(設無窮遠處的電勢為

24、零設無窮遠處的電勢為零)xqddlrrlqxxqFlrr000204d400 O R x r0 r0+l dx x 解：設解：設x軸沿細線方向，原點在球心處，在軸沿細線方向，原點在球心處，在x處取線元處取線元dx，其上電荷為，其上電荷為該線元在帶電球面的電場中所受電場力為：該線元在帶電球面的電場中所受電場力為： dF = q dx / (40 x2) 整個細線所受電場力為：整個細線所受電場力為： 方向沿方向沿x正方向正方向 電荷元在球面電荷電場中具有電勢能：電荷元在球面電荷電場中具有電勢能： dW = (q dx) / (40 x) 整個線電荷在電場中具有電勢能整個線電荷在電場中具有電勢能：

25、0000ln4d400rlrqxxqWlrr 7. 如圖所示，一半徑為如圖所示，一半徑為R的均勻帶正電圓環(huán)，其電荷線的均勻帶正電圓環(huán)，其電荷線密度為密度為 在其軸線上有在其軸線上有A、B兩點，它們與環(huán)心的距離兩點，它們與環(huán)心的距離分別為分別為ROA3ROB8一質量為一質量為m、電荷為、電荷為q的粒子從的粒子從A點運動到點運動到B點求：在此點求：在此過程中電場力所作的功過程中電場力所作的功0220432RRRUA0220682RRRUB0001264qqUUqABA解：設無窮遠處為電勢零點，則解：設無窮遠處為電勢零點，則A、B兩點電勢分別為兩點電勢分別為 q由由A點運動到點運動到B點電場力作功點

26、電場力作功 注：也可以先求軸線上一點場強，用場強線積分計算注：也可以先求軸線上一點場強，用場強線積分計算 1. 兩塊兩塊“無限大無限大”平行平面帶電導體板。試證明：靜電平行平面帶電導體板。試證明：靜電平衡時：（平衡時：（1）相向兩面的電荷面密度總是大小相等、符）相向兩面的電荷面密度總是大小相等、符號相反；（號相反；（2）相背兩面的電荷面密度總是大小相等、符）相背兩面的電荷面密度總是大小相等、符號相同。號相同。求解靜電平衡的相關問題求解靜電平衡的相關問題0, 0NMEE02222040302010222204030201121QS ）（243QS ）（SQQ22141SQQ21223解：解： M

27、。N。2、半徑分別為、半徑分別為R1和和R2 (R2 R1)的兩個同心導體薄球殼，的兩個同心導體薄球殼，分別帶有電量分別帶有電量Q1和和Q2，今將內球殼用細導線與遠處的半今將內球殼用細導線與遠處的半徑為徑為r的導體球相連，導體球原來不帶電，試求相連后導的導體球相連，導體球原來不帶電，試求相連后導體球所帶電量體球所帶電量q。rqU00410114RqQU2024RQrq041014RqQ2024RQ)()(122112rRRQRQRrq解：設導體球帶電解：設導體球帶電q，取無窮遠處為電勢零點，則導體球，取無窮遠處為電勢零點，則導體球電勢：電勢： 內球殼電勢：內球殼電勢： 二者等電勢，即二者等電勢，即 解得解得 3. C和和C兩個電容器，其上分別標明兩個電容器，其上分別標明200pF（電容量）、（電容量）、500V（耐壓值）和（耐壓值）和300 pF、900V。把它們串聯(lián)起來后在。把它們串聯(lián)起來后在兩端加上兩端加上1000V電壓，討論它