大學(xué)物理課后答案第十一章

1、第十一章 機械振動一、基本要求1掌握簡諧振動的基本特征，學(xué)會由牛頓定律建立一維簡諧振動的微分方程，并判斷其是否諧振動。2. 掌握描述簡諧運動的運動方程，理解振動位移，振幅，初位相，位相，圓頻率，頻率，周期的物理意義。能根據(jù)給出的初始條件求振幅和初位相。3. 掌握旋轉(zhuǎn)矢量法。4. 理解同方向、同頻率兩個簡諧振動的合成規(guī)律，以及合振動振幅極大和極小的條件。二、基本內(nèi)容1. 振動 物體在某一平衡位置附近的往復(fù)運動叫做機械振動。如果物體振動的位置滿足，則該物體的運動稱為周期性運動。否則稱為非周期運動。但是一切復(fù)雜的非周期性的運動，都可以分解成許多不同頻率的簡諧振動（周期性運動）的疊加。振動不僅限于機械

2、運動中的振動過程，分子熱運動，電磁運動，晶體中原子的運動等雖屬不同運動形式，各自遵循不同的運動規(guī)律，但是就其中的振動過程講，都具有共同的物理特征。一個物理量，例如電量、電流、電壓等圍繞平衡值隨時間作周期性（或準周期性）的變化，也是一種振動。2. 簡諧振動 簡諧振動是一種周期性的振動過程。它可以是機械振動中的位移、速度、加速度，也可以是電流、電量、電壓等其它物理量。簡諧振動是最簡單，最基本的周期性運動，它是組成復(fù)雜運動的基本要素，所以簡諧運動的研究是本章一個重點。（1）簡諧振動表達式反映了作簡諧振動的物體位移隨時間的變化遵循余弦規(guī)律，這也是簡諧振動的定義，即判斷一個物體是否作簡諧振動的運動學(xué)根據(jù)

3、。但是簡諧振動表達式更多地用來揭示描述一個簡諧運動必須涉及到的物理量、（或稱描述簡諧運動的三個參量），顯然三個參量確定后，任一時刻作簡諧振動的物體的位移、速度、加速度都可以由對應(yīng)地得到。 （2）簡諧運動的動力學(xué)特征為：物體受到的力的大小總是與物體對其平衡位置的位移成正比、而方向相反，即，它是判定一個系統(tǒng)的運動過程是否作簡諧運動的動力學(xué)根據(jù)，只要受力分析滿足動力學(xué)特征的，毫無疑問地系統(tǒng)的運動是簡諧運動。這里應(yīng)該注意，系指合力，它可以是彈性力或準彈性力。（3）和簡諧運動的動力學(xué)特征相一致的是簡諧運動的運動學(xué)特征：作簡諧運動物體的加速度大小總是與其位移大小成正比、而方向相反，即，它也是物體是否作簡諧

4、運動的判據(jù)之一。只要加速度與位移大小成正比、而方向恒相反，則該物理量的變化過程就是一個簡諧運動的過程。在非力學(xué)量，例如電量、電流和電壓等電學(xué)量，就不易用簡諧振動的動力學(xué)特征去判定，而電路中的電量就滿足，故電量的變化過程就是一個簡諧振蕩的過程，顯然用運動學(xué)的特征來判定簡諧運動更具有廣泛的意義。3. 簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位（1）振幅是指最大位移的絕對值。是由初始條件來決定的，即。（2）周期是指完成一次完整的振動所用時間。，式中是簡諧振動的圓頻率，它是由諧振動系統(tǒng)的構(gòu)造來決定的，即,也稱為固有圓頻率。對應(yīng)的稱為固有周期。，式中稱為頻率（即固有頻率），它與圓頻率的關(guān)系，是由系統(tǒng)本身決定的。（

5、3）相位和初相位是決定簡諧振動的物體時刻和時刻運動狀態(tài)的物理量。即在、確定后，任一時刻的、 都是由來確定的。一個周期內(nèi)，每一時刻的相位不同，則對應(yīng)的運動狀態(tài)也不相同。對不同的兩個或更多的幾個簡諧振動，相位還用來區(qū)分它們之間“步調(diào)”的一致與否。初相位決定于初始條件：即由共同決定?；蛴捎嬎?，但由此式算得的在或范圍內(nèi)有兩個可能的取值，必須根據(jù)時刻的速度方向進行合理的取舍。如能配合使用旋轉(zhuǎn)矢量圖示法，則會使的確定更加簡捷、方便。4. 旋轉(zhuǎn)矢量法 簡諧運動的表達式中有三個特征量、，旋轉(zhuǎn)矢量法把描述簡諧運動的三個物理量更直觀、更形象地表示在圖示中。作勻速轉(zhuǎn)動的矢量，其長度等于諧振動的振幅A，其角速度等于諧

6、振動的角頻率，且時，它與X軸正向的夾角為諧振動的初位相，時刻它與X軸正向的夾角為諧振動的位相（）。旋轉(zhuǎn)矢量的末端在X軸上的投影點的運動代表質(zhì)點的諧振動。5. 簡諧振動的能量動能 勢能 機械能 6. 同方向同頻率簡諧振動的合成和合成后仍為簡諧振動 其中 (合振幅) （合振動的初相）三、習(xí)題選解11-1 質(zhì)量為的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按m的規(guī)律振動（式中 x以m計，t以s計），試求：（1）振動的角頻率、周期、振幅、初相、速度和加速度的最大值；（2）、各時刻的相位；（3）分別畫出位移、速度、加速度與時間的關(guān)系曲線。解：（1）m與振動的標準形式)相比可知：圓頻率 振幅 初相位 周期 =最大速度 最大

7、加速度 （2）相位為,將、代入相位分別為、（3）由有 11-2 有一個和輕彈簧相連的小球，沿軸作振幅為的簡諧振動，其表達式用余弦函數(shù)表示。若時，球的運動狀態(tài)為（1）；（2）過平衡位置向軸正向運動；（3）處向軸負方向運動；（4）處向軸正方向運動；試用矢量圖示法確定相應(yīng)的初相的值，并寫出振動表達式。解：四種情況對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖所示：（1） 初相位，振動方程為（2） 初相位，振動方程為（3） 初相位為， 振動方程為 題11-2圖（4）初相位，振動方程為11-3 質(zhì)點作簡諧振動的曲線x-t如圖所示，求質(zhì)點的振動方程式解：t=0時， 所以 ， ，再由， 取t=1s時， （注意） ， 再由， 所以 振

8、動方程為 11-4 兩質(zhì)點沿同一直線作同頻率、同振幅的簡諧振動，當(dāng)它們每次沿相反方向互相通過時，它們的位移均為其振幅的一半，求這兩個質(zhì)點振動的相位差。解：設(shè)兩個質(zhì)點振動方程為 速度為 依題意，兩質(zhì)點在相遇時此時兩質(zhì)點運動方向相反，這分兩種情況。（1）質(zhì)點向軸正向運動，質(zhì)點向軸負向運動，這時 位相差（2）質(zhì)點向軸負向運動，質(zhì)點向軸正向運動，這時 位相差兩種情況都說明其中一個質(zhì)點的運動比另處一個質(zhì)點的運動超前或落后。兩質(zhì)點在處相向相遇時有同樣的結(jié)論。11-5 在一平板上放質(zhì)量的物體，平板在豎直方向上下作簡諧振動，周期為，振幅，試求：（1）在位移最大時，物體對平板的壓力；（2）平板應(yīng)以多大振幅作振動

9、，才能使重物開始跳離木板。解：（1）選擇物體平衡位置為坐標原點，向上的方向為軸正向。由牛頓第二定律有 題11-5圖當(dāng)系統(tǒng)運動到最高位置時，加速度為負的最大值。即 此時 當(dāng)系統(tǒng)運動到最低位置時 此時 （2）物體跳離木板，應(yīng)在最高位置時受木板的力11-6 如圖所示，一質(zhì)量為的盤子系于豎直懸掛的 輕彈簧的下端，彈簧的倔強系數(shù)為?，F(xiàn)有一質(zhì)量的物體自離盤高處自由落下掉在盤中，沒有反彈，以物體掉在盤上的題11-6圖瞬時作為計時起點。求盤子的振動表達式。（取物體掉在盤子后的平衡位置作為坐標原點，位移取向下為正）。 解：取物體掉在盤子里的平衡位置為坐標原點，軸向下建立坐標系。 這時彈簧伸長為 當(dāng)時，彈簧伸長為

10、 題11-6圖 所以，時系統(tǒng)的位移為 設(shè)此時系統(tǒng)的速度為，由動量守恒定律有 且速度向下與軸方向相同，取正值。當(dāng)物體落入盤中，且系統(tǒng)運動至坐標處時，系統(tǒng)運動方程為此時彈簧伸長為，因而則 由于 有方程解為 由初始條件時，有 = 所以盤子的振動表達式為11-7 如圖所示，一彈簧振子由倔強系數(shù)的彈簧和質(zhì)量的物塊組成，將彈簧一端與頂板相連。開始時物塊靜止，一顆質(zhì)量為，速度的子彈由下而上射入物塊，并留在物塊中。求：（1）振子以后的振幅和周期；（2）物體從初始位置運動到最高點所需的時間。 題11-7圖解：（1）以子彈射入物塊后的平衡位置為原點，軸向下，建立坐標系，這時彈簧伸長子彈未射入物塊時，彈簧伸長為。此

11、時物體在坐標系中的位置 題11-7圖物塊和子彈共同運動的速度 （負號表示方向向上）當(dāng)子彈射入物塊，并且運動到y(tǒng)處時，系統(tǒng)的運動方程為此時彈簧伸長為，故于是有 由于 有 系統(tǒng)的振動方程為 由初始條件時， ， 有 =故系統(tǒng)振幅為 周期為 （2） 系統(tǒng)的振動方程為物塊從初始位置運動到最高點時，第一次到達最高點時11-8 一水平放置的彈簧振子，已知物體經(jīng)過平衡位置向右運動時速度，周期，求再經(jīng)過時間，物體的動能是原來的多少倍，設(shè)彈簧的質(zhì)量不計。解：取向右的方向為軸的正向，設(shè)物體平衡位置為坐標原點，物體的振動方程為 由于 故 將物體經(jīng)過平衡位置向右運動時取為時刻則 有 因而物體振動方程為 物體的振動速度為

12、當(dāng)時， 此時物體動能為 J 初始時刻物體動能為 J即秒后物體動能是原來的。11-9 一質(zhì)量的物體作簡諧振動，其振幅為，周期為，當(dāng)時，位移為，求：（1）時，物體所在的位置；（2）時，物體所受力的大小與方向；（3）由起始位置運動到處所需的最少時間；（4）在處，物體的速度、動能以及系統(tǒng)的勢能與總能量。解：令振動方程為 由題意有 ，且時，初相位振動方程為 所以（1）時，=（2）時，負號表示力的方向沿軸負向。（3）當(dāng)時，位相取值為。最少的時間 =（4）時，正負號表示物體可能向軸正向或負向運動。此時動能：=勢能：，由，有=總能量：11-10 如圖所示，一個水平面上的彈簧振子，彈簧的倔強系數(shù)為，所系物體的質(zhì)

13、量為，振幅為，有一質(zhì)量的物體從高度處自由下落。當(dāng)振子在最大位移處，物體正好題落在上并粘在一起，這時振動系統(tǒng)的振動周期、振幅和振動能量有何變化？如 題 11-10圖 果物體是在振子到達平衡位置時落在 上，這些量又如何？解：粘土未落在上時系統(tǒng)的振動周期為 粘土落在上時，系統(tǒng)的振動周期為 , 當(dāng)正好處于最大位移處，即時，此時，粘土落下后，方向速度仍為零，此時振子仍處于最大位移處，振幅不變。系統(tǒng)能量為也不變。當(dāng)處于平衡位置時，系統(tǒng)在平衡位置，此時為系統(tǒng)原來的振幅。粘土落下與碰撞后的速度，可由動量守恒定律求出若粘土落下后的振幅，由初始條件有 此時系統(tǒng)能量為 為粘土未落下時系統(tǒng)的能量，11-11 在光滑的

14、桌面上，有倔強系數(shù)分別為與的兩個彈簧以及質(zhì)量為的物體，構(gòu)成兩種彈簧振子，如圖所示，試求這兩種系統(tǒng)的固有角頻率。 題1111圖解：（1）由圖所示，設(shè)彈簧原長分別為、，平衡時彈簧的伸長量分別為和，如不計物體尺寸。則 以平衡點為坐標原點，軸向右建立坐標系，當(dāng)小球向軸正向移動時，物體受力 由于，因而物體運動方程為 題11-11圖物體作簡諧振動，振動角頻率為 其周期為 （2）由圖所示，以物體不受力，彈簧自然伸長時，物體位置為原點建立坐標系。當(dāng)物體在位移處時，若彈簧的伸長為，彈簧的伸長為，則 解得 物體受力 物體的運動方程為 物體同樣作簡諧振動，振動角頻率為振動周期為11-12 如圖所示，輕質(zhì)彈簧的一端固

15、定，另一端系一輕繩，輕繩繞過滑輪連接一質(zhì)量的物體，繩在輪上不打滑，使物體上下自由振動，已知彈簧的倔強系數(shù)為，滑輪的半徑為，轉(zhuǎn)動慣量為（1）證明物體作簡諧振動（2）求物體的振動周期題11-12圖（3）設(shè)，彈簧無伸縮，物體也無初速度，寫出物體的振動表達式。解：（1）以系統(tǒng)靜止時，物體的位置為坐標原點，坐標軸垂直向下建立坐標系，設(shè)此時彈簧伸長為,由牛頓運動定律有可得 題11-12圖當(dāng)物體在處時，物體和滑輪的運動方程為 解方程-，可得由于由此證明物體做簡諧振動。（2） 振動圓頻率為 物體振動周期為 （3） 設(shè)振動方程為 其中 由初始條件，時，有 物體振動表達式為 11-13 如圖所示，一長為、質(zhì)量為的

16、均勻細棒，用兩根長的細繩分別拴在棒的兩端，把棒懸掛起來，若棒繞通過中心的豎直軸作小角度的擺動，試確定其周期。解：細棒受力分析如圖所示。將繩中張力分解，在豎直方向上有 在水平方向上的分力構(gòu)成一對力偶，力矩的大小為 結(jié)合式有 題11-13圖力矩的方向與細棒角位移方向相反，由定軸轉(zhuǎn)動定律 有 在小角度近似下有 代入式有 細棒繞中心軸轉(zhuǎn)動慣量 振動角頻率為 振動周期為11-14 在簡諧振動中，當(dāng)位移為振幅的一半時，總能量中有多大一部分為動能，多大一部分為勢能？在多大位移處動能與勢能相等？解：在簡諧振動中物體總能量其中為振幅當(dāng)時 即總能量中有為動能，為勢能。若，由于故 這時若物體位移為，則， 即在位移處

17、，動能和勢能相等。11-15 兩個同方向的簡諧振動，周期相同，振幅分別為，合成后組成一個振幅為的簡諧振動，求兩個分振動的相位差。解：由同方向、同頻率振動合成公式有 11-16 一質(zhì)點同時參與兩個在同一直線上的簡諧振動： 試求合振動的振幅與初相位（式中以計，以計）。解：由 從矢量旋轉(zhuǎn)圖上可以看出，兩個振動相位相反，合振幅初相位 合振動方程為 （SI）11-17 一質(zhì)點同時參與了兩個同方向一維簡諧振動：與，試求該質(zhì)點合振動的振幅與初相。解：由 有因而合振幅 題11-17圖 11-18 設(shè)有下列兩對相互垂直的振動：(1) (2) 試問它們的合成分別代表什么運動？二者有何區(qū)別？解：由 (1) (2) 均有 題11-19圖這代表質(zhì)點是沿橢圓軌道的旋轉(zhuǎn)運動。 對于（1） 當(dāng)時，質(zhì)點在點，當(dāng)時，質(zhì)點