將探究進(jìn)行到底

1、    將探究進(jìn)行到底    孟坤日常生活中，我們經(jīng)常要數(shù)數(shù).數(shù)數(shù)并不難，但要在復(fù)雜的圖形中及情境下數(shù)數(shù)，有時并非易事，往往需要細(xì)心觀察、分析、比較，并采用分類計數(shù)、化繁為簡等方法.一、確定直線的條數(shù)例1平面上有a，b，c，d四個點，過其中的每兩個點畫直線，一共可畫出幾條直線？分析：平面上四個點的位置關(guān)系不確定，可把這四個點的位置關(guān)系分為三類.解：（1）四個點在同一條直線上時，如圖1，可以畫1條直線；（2）四個點中有三個點在同一條直線上時，如圖2，可以畫4條直線；（3）四個點中的任何三個點都不在同一條直線上時，如圖3，可以畫6條直線.評注：分類討論是解答

2、數(shù)學(xué)問題常用的思想方法，同時也是一種解題策略.分類時必須按照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，保證合理性，做到不重復(fù)不遺漏.變式題：過平面上2 008個點中的任意兩點，最多能作出多少條直線？分析：本題與例1的區(qū)別是：本題存在一個隱含條件，即有“最多”二字，其含義是2 008個點中的任意三個點都不在同一條直線上，否則直線條數(shù)就不是最多的.解法一：采用“由少及多”的方法探究.當(dāng)平面上有2個點時，過兩點最多能作出1條直線；當(dāng)平面上有3個點時，過其中的每兩點最多能作出3條直線，即3=1+2；當(dāng)平面上有4個點時，過其中的每兩點最多能作出6條直線，即6=1+2+3；當(dāng)平面上有5個點時，過其中的每兩點最多能作出10條直線，即1

3、0=1+2+3+4；考察點的個數(shù)和直線的條數(shù)，從中尋找出規(guī)律.故當(dāng)平面上有2 008個點時，過其中的每兩點最多能作出直線的條數(shù)為：1+2+3+2 007=×2 007×（1+2 007）=2 015 028.評注：對有些規(guī)律探究型問題，若直接從所要求解的問題出發(fā)，往往無從下手，則可從較為簡單的情形開始探究，采用“由少及多”即由特殊到一般的方法，逐步過渡到復(fù)雜的情形，并從中總結(jié)出規(guī)律.解法二：利用分類計數(shù)法探究.若把這2 008個點記作a1，a2，a3，a2 007，a2 008，由分析知任意三個點都不在同一條直線上，所以存在以下情形：過點a1與其余2 007個點可作直線的條

4、數(shù)為2 007；除點a1外，過點a2與其余2 006個點可作直線的條數(shù)為2 006；除點a1，a2外，過點a3與其余2 005個點可作直線的條數(shù)為2 005除點a1，a2，a2 006外，過點a2 007與a2 008可作直線的條數(shù)為1.綜上可知，過平面上2 008個點中的任意兩點，最多能作出的直線的條數(shù)為：2 007+2 006+2 005+3+2+1=2 015 028.評注：運用分類計數(shù)法的策略解決問題，需具備分類思想和探究能力、歸納能力及類比推理能力.推廣：過平面上n個點（n2）中的任意兩點作直線，最多能作出直線的條數(shù)為（n-1）+（n-2）+（n-3）+3+2+1=n（n-1）.請讀

5、者朋友利用分類計數(shù)法探究：（1）平面上有3條直線，請指出這3條直線的交點個數(shù).（2）已知平面上有2 008條直線兩兩相交，其中無任何三條直線相交于一點，這些直線相交的點共有多少個？（3）平面上有n（n2）條不同的直線兩兩相交，且無任何三條直線相交于一點，這些直線相交的點共有多少個？二、確定平面分成的部分個數(shù)例2閱讀下面的對話，并回答問題.小剛和小紅在做一道數(shù)學(xué)題：“在平面上有3條直線，可以將平面分成幾個部分？”小剛說：“我已經(jīng)得到了答案，如圖4，它可將平面分成4個部分.”小紅說：“由于題目中沒有具體指出平面上三條直線的位置關(guān)系，因此應(yīng)先確定它們的位置關(guān)系，這才是解決本題的關(guān)鍵.我的答案是：如圖

6、5，三條直線都不相交，它們將平面分成4個部分；如圖5，一條直線與兩條平行直線相交，它們將平面分成6個部分；如圖5，三條直線交于一點，它們將平面分成6個部分；如圖5，三條直線兩兩相交，它們將平面分成7個部分.”問題：（1）小剛與小紅的答案誰的正確？（2）現(xiàn)在老師又提出了下面一個問題：如果要使這個問題有唯一答案，應(yīng)再追加什么條件？解：（1）小紅的答案正確.（2）這是一道結(jié)論開放型問題，答案不唯一，可追加不同的條件.例如：三條直線相交于一點時，把平面分成幾個部分？三條直線最多把平面分成幾個部分？三條直線至少把平面分成幾個部分？評注：在解決數(shù)學(xué)問題時，要注意多角度考慮.平時學(xué)習(xí)時要學(xué)會提出問題，因為提出問題比解決問題更重要.請讀者朋友利用“由少及多”的方法探究：（1）在平面上有2 008條直線，最多可以將平面分成幾個部分？（2）在平面上有n條直線，最多可以將平面分成幾個部分？現(xiàn)在就練：1春節(jié)期間，有10個好友互