線性空間的定義

1、12121122(,)(,)(,)nnnna aab bbab abab 1212(,)(,)nnk a aakakkakaP 而且這兩種運算滿足一些重要的規(guī)律而且這兩種運算滿足一些重要的規(guī)律, ,如如 空間空間Pn，定義了兩個向量的加法和數量乘法：，定義了兩個向量的加法和數量乘法： 在第三章在第三章2中，我們討論了數域中，我們討論了數域P上的上的n維向量維向量0()()()0 1 ()()k lkl ()klkl()kkk,nPk lP 同樣滿足上述這些重要的規(guī)律，即同樣滿足上述這些重要的規(guī)律，即 ( ), ( ), ( ) ,f xg x h xP xk lP ( )( )( )( )f

2、xg xg xf x 數域數域P上的一元多頂式環(huán)上的一元多頂式環(huán)Px中，定義了兩個多中，定義了兩個多項式的加法和數與多項式的乘法，而且這兩種運算項式的加法和數與多項式的乘法，而且這兩種運算( ( )( )( )( )( ( )( )f xg xh xf xg xh x( ) ( )() ( )k l f xkl f x 1 ( )( )f xf x ( )( )0f xf x ( )0( )f xf x() ( )( )( )kl f xkf xlf x( ( )( )( )( )k f xg xkf xkg x設設V是一個非空集合，是一個非空集合，P是一個數域，在集合是一個數域，在集合V中中

3、定義了一種代數運算，叫做定義了一種代數運算，叫做加法加法：即：即對，對， ,V 在在V中都存在唯一的一個元素與它們對應，稱為中都存在唯一的一個元素與它們對應，稱為 的的和和，記為，記為 ；在；在P與與V的元素之間還的元素之間還與定義了一種運算，叫做定義了一種運算，叫做數量乘法數量乘法：即：即,VkP 在在V中都存在唯一的一個元素中都存在唯一的一個元素與它們對應，稱與它們對應，稱為為 的的數量乘積數量乘積，記為，記為 如果加法和數量乘如果加法和數量乘k與.k法還滿足下述規(guī)則，則稱法還滿足下述規(guī)則，則稱V為數域為數域P上的上的線性空間線性空間：加法滿足下列四條規(guī)則：加法滿足下列四條規(guī)則： 1 ()

4、()k lkl 數量乘法與加法滿足下列兩條規(guī)則：數量乘法與加法滿足下列兩條規(guī)則： ()klkl （具有這個性質的元素（具有這個性質的元素0稱為稱為V的的零元素零元素） 數量乘法滿足下列兩條規(guī)則數量乘法滿足下列兩條規(guī)則 : ()() ()kkk,V 對對 都有都有V中的一個元素中的一個元素，使得，使得 ,V ; ;（稱為稱為 的的負元素負元素） 0 在在V中有一個元素中有一個元素0，對，對,0V有有3 線性空間的判定：線性空間的判定：1 凡滿足以上八條規(guī)則的加法及數量乘法也凡滿足以上八條規(guī)則的加法及數量乘法也2線性空間的元素也稱為線性空間的元素也稱為向量向量，線性空間也稱，線性空間也稱向量空間向

5、量空間但這里的向量不一定是有序數組但這里的向量不一定是有序數組稱為稱為線性運算線性運算就不能構成線性空間就不能構成線性空間 運算封閉但不滿足八條規(guī)則中的任一條，則此集合運算封閉但不滿足八條規(guī)則中的任一條，則此集合若集合對于定義的加法和數乘運算不封閉，或者若集合對于定義的加法和數乘運算不封閉，或者例例1引例引例1, 2中的中的 Pn, Px 均為數域均為數域 P上的線性空間上的線性空間例例2數域數域 P上的次數小于上的次數小于 n 的多項式的全體，再添的多項式的全體，再添的加法和數量乘法，構成數域的加法和數量乘法，構成數域 P上的一個線性空間，上的一個線性空間，法構成數域法構成數域 P上的一個線

6、性空間，常用上的一個線性空間，常用 Pxn表示表示上零多項式作成的集合，按多項式的加法和數量乘上零多項式作成的集合，按多項式的加法和數量乘1110110 ( ),nnnnP xf xaxa xaaa aP 例例3數域數域 P上上 矩陣的全體作成的集合矩陣的全體作成的集合, ,按矩陣按矩陣mn 用用 表示表示m nP 例例5全體正實數全體正實數R，logbaabkk aaabab kk aa判斷判斷 R是否構成實數域是否構成實數域 R上的線性空間上的線性空間 .1) 1) 加法與數量乘法定義為：加法與數量乘法定義為： ,a bRkR 2) 2) 加法與數量乘法定義為：加法與數量乘法定義為： ,a

7、 bRkR 例例4任一數域任一數域 P 按照本身的加法與乘法構成一個按照本身的加法與乘法構成一個數域數域P上的線性空間上的線性空間1）R不構成實數域不構成實數域R上的線性空間上的線性空間. . 不封閉，如不封閉，如 12212log12 R 2) R構成實數域構成實數域R上的線性空間上的線性空間 首先，首先，R ，且加法和數量乘法對，且加法和數量乘法對R是封閉的是封閉的. .,kaRkR k aaR , ,且且 ak 唯一確定唯一確定 ,a bRababR , ,且且 ab 唯一確定；唯一確定； 事實上事實上, , 其次，加法和數量乘法滿足下列算律其次，加法和數量乘法滿足下列算律 ()()()

8、()()()abcabcab ca bcabcabc ababbaba R， 111,aaa aR，即即1 1是零元；是零元； a R， 1a R，且，且 111aaaa 即即a 的負元素是的負元素是 ；1a 11 aaa ;a R； ()()()llklkklkl ak aaaakla;()()()k lklklklaaa aaak al a ()()()kkkkkkabkababa bab R構成實數域構成實數域 R上的線性空間上的線性空間 ;()()k ak b即即n階方陣階方陣A的實系數多項式的全體，則的實系數多項式的全體，則V關于矩陣關于矩陣例例6令令 ( )( ) ,n nVf A

9、 f xR xAR 的加法和數量乘法構成實數域的加法和數量乘法構成實數域R上的線性空間上的線性空間證：證：根據矩陣的加法和數量乘法運算可知根據矩陣的加法和數量乘法運算可知( )( )( ),( )( )f Ag Ah Akf Ad A其中，其中，,( ), ( ) kRh x d AR x又又V中含有中含有A的零多項式，即零矩陣的零多項式，即零矩陣0，為，為V的零元素的零元素.以以 f(x) 的各項系數的相反數為系數作成的多項式記為的各項系數的相反數為系數作成的多項式記為f(x) , 則則 f(A)有負元素有負元素f(A). 由于矩陣的加法與數由于矩陣的加法與數乘滿足其他各條，故乘滿足其他各條

10、，故V為實數域為實數域R上的線性空間上的線性空間.1、零元素是唯一的零元素是唯一的. 2、 ，的負元素是唯一的，記為，的負元素是唯一的，記為- - V 證明：假設證明：假設 有兩個負元素有兩個負元素 、 ，則有，則有利用負元素，我們定義利用負元素，我們定義減法減法： 01010202證明證明：假設線性空間：假設線性空間V有兩個零元素有兩個零元素01、02，則有，則有0()()()0 0,0() 兩邊加上兩邊加上 即得即得 0 0 0； (0)0kkkk兩邊加上兩邊加上 k ；即得；即得k 00 ;( 1 )1( 1 )(1 1)00 兩邊加上兩邊加上 即得即得 ( 1); ()()kkkk 即得即得 兩邊加上兩邊加上 k().kkk 00,00, ( 1),()kkkk 3、 0(01),證明：證明：4、如果如果k0，那么，那么k0或或 0. 111()()00.k kkkk證明：假若則證明：假若則0,k 1、P273：習題：習題31）2）4）2、證明：數域、證明：數域P上的線性空間上的線性空間V若含有一個非零若含有一個非零向量，則向量，則V一