淺談全微分形式不變性在多元復(fù)合函數(shù)微分法中的應(yīng)用

1、    淺談全微分形式不變性在多元復(fù)合函數(shù)微分法中的應(yīng)用    摘 要：通過舉例說明在多元復(fù)合函數(shù)微分法中，全微分形式不變性具有思路清晰，簡(jiǎn)化步驟和易于學(xué)生理解的優(yōu)點(diǎn)。關(guān)鍵詞：全微分形式不變性；多元復(fù)合函數(shù)；隱函數(shù)；偏導(dǎo)doi：10.16640/ki.37-1222/t.2019.13.2001 全微分形式不變性在多元復(fù)合函數(shù)微分法中的舉例分析多元復(fù)合函數(shù)微分法是高等數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。用傳統(tǒng)方法求解需要分清自變量和因變量，而全微分形式不變性的好處在于能夠避開函數(shù)變量錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系，從而使問題簡(jiǎn)化，提高正確率。定理1：設(shè)函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則無論是自

2、變量還是中間變量，其微分形式不變，即。定理2：（多元函數(shù)全微分運(yùn)算法則）。例1：設(shè)可微，求。解法1：利用鏈?zhǔn)椒▌t求解。，。解法2：利用全微分形式不變性求解。將（3）代入（2）中，得：將（4）代入（1）中并整理，得：，從而，。例2：設(shè)，而由方程所確定，其中都有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，求。解法1：由方程確定的隱函數(shù)的求導(dǎo)公式。設(shè)，則，。所以，.解法2：利用全微分形式不變性。將（3）代入（1）中并整理，得：，所以，。例3 求由方程組 所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。解法1：將方程組兩邊對(duì)求偏導(dǎo)，得：解得，。同理可得，。解法2：利用全微分形式不變性。，解得，一次求出四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)， 。，。2 結(jié)論通過前面三個(gè)例題中兩種解法對(duì)比，我們不難發(fā)現(xiàn)，用全微分形式不變性來求解，思路清晰，解題步驟簡(jiǎn)潔，也更有利于學(xué)生的理解，避免因?yàn)楹瘮?shù)變量之間的復(fù)雜關(guān)系而導(dǎo)致的錯(cuò)誤。參考文獻(xiàn)：1大連理工大學(xué)城市學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部.應(yīng)用微積分（下冊(cè)）m.大連理工大學(xué)出版社，2013.2大連理工大學(xué)城市學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部.應(yīng)用微積分同步輔導(dǎo)m.大連理工大學(xué)出版社，2013.3同濟(jì)大學(xué)數(shù)