常微分方程模型課件

1、第第7 7章章 微分方程模型微分方程模型7.1 傳染病模型傳染病模型7.2 經(jīng)濟(jì)增長模型經(jīng)濟(jì)增長模型7.3 正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)7.4 藥物在體內(nèi)的分布與排除藥物在體內(nèi)的分布與排除7.5 香煙過濾嘴的作用香煙過濾嘴的作用動態(tài)動態(tài)模型模型 描述對象特征隨時間描述對象特征隨時間(空間空間)的演變過程的演變過程 分析對象特征的變化規(guī)律分析對象特征的變化規(guī)律 預(yù)報對象特征的未來性態(tài)預(yù)報對象特征的未來性態(tài) 研究控制對象特征的手段研究控制對象特征的手段 根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)微分微分方程方程建模建模 根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設(shè)根據(jù)建模目的和

2、問題分析作出簡化假設(shè) 按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程7.1 傳染病模型傳染病模型問題問題 描述傳染病的傳播過程描述傳染病的傳播過程 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 預(yù)報傳染病高潮到來的時刻預(yù)報傳染病高潮到來的時刻 預(yù)防傳染病蔓延的手段預(yù)防傳染病蔓延的手段 按照傳播過程的一般規(guī)律，按照傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型用機(jī)理分析方法建立模型 已感染人數(shù)已感染人數(shù) (病人病人) i(t) 每個病人每天有效接觸每個病人每天有效接觸(足以使人致病足以使人致病)人數(shù)為人數(shù)為 模型模型1 1假設(shè)假設(shè)ttititti)()()(若有效接觸的是病

3、人，若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者必須區(qū)分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模0)0(iiidtdiitteiti0)(?sidtdi1)()(tits模型模型2 2區(qū)分已感染者區(qū)分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)假設(shè)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康不變，病人和健康 人的人的 比例分別為比例分別為)(),(tsti 2）每個病人每天有效接觸人數(shù)）每個病人每天有效接觸人數(shù)為為 , 且且使接觸的健康人致病使接觸的健康人致病建模建模ttNitstittiN)()()()(0)0()1(iiiidtd

4、i 日日接觸率接觸率SI 模型模型teiti1111)(00)0()1(iiiidtdi模型模型21/2tmii010t11ln01itmtm傳染病高潮到來時刻傳染病高潮到來時刻 (日接觸率日接觸率) tm 1itLogistic 模型病人可以治愈！病人可以治愈！?t=tm, di/dt 最大最大模型模型3傳染病無免疫性傳染病無免疫性病人治愈成病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)增加假設(shè)SIS 模型模型3）病人每天治愈的比例為）病人每天治愈的比例為 日日治愈率治愈率ttNittitNstittiN)()()()()(建模建模/ 日接觸率日接觸率1/ 感染期

5、感染期 一個感染期內(nèi)一個感染期內(nèi)每個病人的每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)接觸數(shù)。0)0()1(iiiiidtdi1,01,11)(i)11 (iidtdi模型模型3i0i0接觸數(shù)接觸數(shù) =1 閾值閾值/1)(ti形曲線增長按Sti )(感染期內(nèi)感染期內(nèi)有效接觸感染的有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)健康者人數(shù)不超過病人數(shù)小01i1-1/ i0iiidtdi)1 (模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如何看作模型3(SIS模型模型)的特例的特例idi/dt01 10ti 11-1/ i0t 1di/dt 1/ i(t)先升后降至先升后降至0P2: s01/ i(t)單調(diào)

6、降至單調(diào)降至01/閾閾值值P3P4P2S0ssss00lnln模型模型4SIR模型模型預(yù)防傳染病蔓延的手段預(yù)防傳染病蔓延的手段 (日接觸率日接觸率) 衛(wèi)生水平衛(wèi)生水平 (日日治愈率治愈率) 醫(yī)療水平醫(yī)療水平 傳染病不蔓延的條件傳染病不蔓延的條件s01/ 的估計的估計0ln1000sssis0i忽略 降低降低 s0提高提高 r0 1000ris 提高閾值提高閾值 1/ 降低降低 (= / ) , 群體免疫群體免疫模型模型4SIR模型模型被傳染人數(shù)的估計被傳染人數(shù)的估計0ln1000sssis記被傳染人數(shù)比例記被傳染人數(shù)比例ssx00)211 (200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ss

7、x2xx 03) 經(jīng)濟(jì)增長的條件經(jīng)濟(jì)增長的條件)1 (10120yfLyf)()(000LKfyfLLyftZ)(0/100)1(00BeKKdtdydtdZt成立B 0成立時當(dāng)BKK,1/000勞動力增長率小于初始投資增長率勞動力增長率小于初始投資增長率每個勞動力的產(chǎn)值每個勞動力的產(chǎn)值 Z(t)=Q(t)/L(t)增長增長dZ/dt03) 經(jīng)濟(jì)增長的條件經(jīng)濟(jì)增長的條件dtdyyfdtdZ107.3 正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強(qiáng)弱只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強(qiáng)弱兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因

8、增援而增加兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān)戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān)建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會領(lǐng)域的實際問題提供了可借鑒的示例領(lǐng)域的實際問題提供了可借鑒的示例第一次世界大戰(zhàn)第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預(yù)測戰(zhàn)役結(jié)局的模型提出預(yù)測戰(zhàn)役結(jié)局的模型0),(),()(0),(),()(tvyyxgtytuxyxftx一般模型一般模型 每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力 每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比 甲乙雙方的增援率為甲乙雙方的增援率為u

9、(t), v(t)f, g 取決于戰(zhàn)爭類型取決于戰(zhàn)爭類型x(t) 甲方兵力，甲方兵力，y(t) 乙方兵力乙方兵力模型模型假設(shè)假設(shè)模型模型)()(tvybxytuxayx正規(guī)戰(zhàn)爭模型正規(guī)戰(zhàn)爭模型 甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn)雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn)xxprbbxg, 忽略非戰(zhàn)斗減員忽略非戰(zhàn)斗減員 假設(shè)沒有增援假設(shè)沒有增援00)0(,)0(yyxxbxyayxf(x, y)= ay, a 乙方每個士兵的殺傷率乙方每個士兵的殺傷率a=ry py, ry 射擊率，射擊率， py 命中率命中率)(ty)(tx0ak0k0kbk0k正規(guī)戰(zhàn)

10、爭模型正規(guī)戰(zhàn)爭模型為判斷戰(zhàn)爭的結(jié)局，不求為判斷戰(zhàn)爭的結(jié)局，不求x(t), y(t)而在相平面上討論而在相平面上討論 x 與與 y 的關(guān)系的關(guān)系00)0(,)0(yyxxbxyayxaybxdxdy2020bxaykkbxay22000yxk時平方律平方律 模型模型甲方勝 0k平局0kyyxxprprabxy200乙方勝乙方勝游擊戰(zhàn)爭模型游擊戰(zhàn)爭模型雙方都用游擊部隊作戰(zhàn)雙方都用游擊部隊作戰(zhàn) 甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加 忽略非戰(zhàn)斗減員忽略非戰(zhàn)斗減員 假設(shè)沒有增援假設(shè)沒有增援yrxxxxssrprddxyyxg/,),(00)0(,)0(yyxx

11、dxyycxyxf(x, y)= cxy, c 乙方每個士兵的殺傷率乙方每個士兵的殺傷率c = ry pyry射擊率射擊率py 命中率命中率py=sry /sxsx 甲方活動面積甲方活動面積sry 乙方射擊有效面積乙方射擊有效面積)(tycm0dm)(tx0m0m0m游擊戰(zhàn)爭模型游擊戰(zhàn)爭模型00)0(,)0(yyxxdxyycxyx00dxcymmdxcy乙方勝時000yxmyryyxrxxssrssrcdxy00線性律線性律 模型模型甲方勝 0m平局 0mcddxdy)(ty)(tx0乙方勝, 0n平局, 0n甲方勝, 0n00)0(,)0(yyxxbxycxyx混合戰(zhàn)爭模型混合戰(zhàn)爭模型甲方

12、為游擊部隊，乙方為正規(guī)部隊甲方為游擊部隊，乙方為正規(guī)部隊020222bxcynnbxcy02002cxbxy乙方勝0n100)/(200 xy02002xsrsprxyryyxxx乙方必須乙方必須10倍于甲方的兵力倍于甲方的兵力設(shè)設(shè) x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=0.1(km2), sry=1(m2)7.4 藥物在體內(nèi)的分布與排除藥物在體內(nèi)的分布與排除 藥物進(jìn)入機(jī)體形成藥物進(jìn)入機(jī)體形成血藥濃度血藥濃度( (單位體積血液的藥物量單位體積血液的藥物量) ) 血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)給藥方案設(shè)計給藥方案設(shè)計 藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過程藥物

13、在體內(nèi)吸收、分布和排除過程 藥物動力學(xué)藥物動力學(xué) 建立建立房室模型房室模型藥物動力學(xué)的基本步驟藥物動力學(xué)的基本步驟 房室房室機(jī)體的一部分，藥物在一個房室內(nèi)均勻機(jī)體的一部分，藥物在一個房室內(nèi)均勻分布分布( (血藥濃度為常數(shù)血藥濃度為常數(shù)) )，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移 本節(jié)討論本節(jié)討論二室模型二室模型中心室中心室( (心、肺、腎等心、肺、腎等) )和和周邊室周邊室( (四肢、肌肉等四肢、肌肉等) ) 中心室中心室周邊室周邊室給藥給藥排除排除)(0tf111)(),(Vtxtc222)(),(Vtxtc12k21k13k)()(02211131121tfxkxkxktx模型假

14、設(shè)模型假設(shè) 中心室中心室(1)和周邊室和周邊室(2), ,容積不變?nèi)莘e不變 藥物在房室間轉(zhuǎn)移速率及向體外排除速率，藥物在房室間轉(zhuǎn)移速率及向體外排除速率，與該室血藥濃度成正比與該室血藥濃度成正比 藥物從體外進(jìn)入中心室，在二室間藥物從體外進(jìn)入中心室，在二室間相互轉(zhuǎn)移相互轉(zhuǎn)移, ,從中心室排出體外從中心室排出體外模型建立模型建立2 , 1)()(iVtctxiii容積濃度藥量給藥速率0f2211122)(xkxktxtttteBeAtceBeAtc222111)()(1321132112kkkkk2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktc2

15、, 1),()(itcVtxiii線性常系數(shù)線性常系數(shù)非齊次方程非齊次方程對應(yīng)齊次對應(yīng)齊次方程通解方程通解模型建立模型建立)()()()()()()(212022121101tttteeVkDtcekekVDtc0)0(,)0(,0)(21010cVDctf幾種常見的給藥方式幾種常見的給藥方式1. .快速靜脈注射快速靜脈注射t=0 瞬時注射劑量瞬時注射劑量D0的藥物進(jìn)入中心室的藥物進(jìn)入中心室, ,血血藥濃度立即為藥濃度立即為D0/V12211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktc1321132112kkkkk給藥速率給藥速率 f0(t) 和

16、初始條件和初始條件12211312121221131212213210122221130111)(,)(0,)(0,)(BVkkkVBAVkkkVATtVkkkkeBeAtcTtVkkeBeAtctttt0)0(, 0)0(,)(2100ccktf2. .恒速靜脈滴注恒速靜脈滴注2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktct T, c1(t)和和 c2(t)按指數(shù)規(guī)律趨于零按指數(shù)規(guī)律趨于零藥物以速率k0進(jìn)入中心室0Tt 0010 xkf )(0tx吸收室中心室000010)0()(Dxxktx tkttEeBeAetc01)(1tkeDt

17、x0100)(tkekDtxktf010100010)()(3. .口服或肌肉注射口服或肌肉注射相當(dāng)于藥物相當(dāng)于藥物( 劑量劑量D0)先進(jìn)入吸收室，吸收后進(jìn)入中心室先進(jìn)入吸收室，吸收后進(jìn)入中心室吸收室藥量吸收室藥量x0(t)2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktcEBAcc,0)0(, 0)0(21ttBeAetctc)()(11參數(shù)估計參數(shù)估計各種給藥方式下的各種給藥方式下的 c1(t), c2(t) 取決于參數(shù)取決于參數(shù)k12, k21, k13, V1,V2t=0快速靜脈注射快速靜脈注射D0 , ,在在ti(i=1,2,n)測得

18、測得c1(ti)()()()(2121101ttekekVDtc充分大設(shè)t ,由較大的由較大的 用最小二乘法定用最小二乘法定A A, , )(,1iitct由較小的由較小的 用最小二乘法定用最小二乘法定B, , )(,1iitctttAeeVkDtc)()()(12101211312kkkBAVDc101)0(011130)(dttcVkD0,21cct1321132112kkkkkBAVkD1130ABBAk)(131321kk參數(shù)估計參數(shù)估計進(jìn)入中心室的藥物全部排除進(jìn)入中心室的藥物全部排除 過濾嘴的作用與它的材料和長度有什么關(guān)系過濾嘴的作用與它的材料和長度有什么關(guān)系 人體吸入的毒物量與哪些

19、因素有關(guān)，其中人體吸入的毒物量與哪些因素有關(guān)，其中哪些因素影響大，哪些因素影響小。哪些因素影響大，哪些因素影響小。模型模型分析分析 分析吸煙時毒物進(jìn)入人體的過程，建立分析吸煙時毒物進(jìn)入人體的過程，建立吸煙過程的數(shù)學(xué)模型。吸煙過程的數(shù)學(xué)模型。 設(shè)想一個設(shè)想一個“機(jī)器人機(jī)器人”在典型環(huán)境下吸煙，在典型環(huán)境下吸煙，吸煙方式和外部環(huán)境認(rèn)為是不變的。吸煙方式和外部環(huán)境認(rèn)為是不變的。問題問題7.5 香煙過濾嘴的作用香煙過濾嘴的作用模型模型假設(shè)假設(shè)定性分析定性分析QvaMl,2?,1Qlb?Qu1）l1煙草長，煙草長， l2過濾嘴長，過濾嘴長， l = l1+ l2， 毒物量毒物量M均勻分布，密度均勻分布，

20、密度w0=M/l12）點燃處毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿香煙）點燃處毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比是穿行的數(shù)量比是a :a, a +a=13）未點燃的煙草和過濾嘴對隨煙霧穿行的）未點燃的煙草和過濾嘴對隨煙霧穿行的毒物的毒物的(單位時間單位時間)吸收率分別是吸收率分別是b和和 4）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)v，香煙燃，香煙燃燒速度是常數(shù)燒速度是常數(shù)u， v uQ 吸一支煙毒物進(jìn)入人體總量吸一支煙毒物進(jìn)入人體總量vxlxlxqlxxbqxxqxq,)(,0,)()()(11lxlxqvlxxqvbdxdq11),(0),(ulTdttlqQT/,),(01模模型型建建立立xx)(xq)(xxqxv0 x1llt=0, x=0，點燃香煙，點燃香煙0)0 ,(wxw000)0(uwHaHqq(x,t) 毒物流量毒物流量w(x,t) 毒物密度毒物密度1) 求求q(x,0)=q(x)lxleeaHlxeaHxqvlxvblvbx1)(010,0,)(11),()(tutuwtHlxleetaHlxutetaHtxqvlxvutlbvutxb1)()(1)(,)(,)(),(11vlvutlbeetutauwt