2022年初中函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)大全

1、學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)一次函數(shù)一、定義與定義式：自變量 x 和因變量 y 有如下關(guān)系：y=kx+b 則此時(shí)稱(chēng) y 是 x 的一次函數(shù)。特別地，當(dāng) b=0 時(shí)，y 是 x 的正比例函數(shù)。即：y=kx （k 為常數(shù)，k 0）二、一次函數(shù)的性質(zhì)：1.y 的變化值與對(duì)應(yīng)的x 的變化值成正比例，比值為k 即：y=kx+b （k 為任意不為零的實(shí)數(shù)b 取任何實(shí)數(shù)）2.當(dāng) x=0 時(shí)，b 為函數(shù)在 y 軸上的截距。三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)：1作法與圖形：通過(guò)如下3 個(gè)步驟（1）列表；（2）描點(diǎn)；（3）連線，可以作出一次函數(shù)的圖像一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2 點(diǎn)，并連成直線即可。 （通常找函數(shù)圖像與

2、x軸和 y 軸的交點(diǎn)）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 14 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)2性質(zhì)：（ 1）在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)p（x，y），都滿足等式： y=kx+b 。（2）一次函數(shù)與 y 軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是（ 0，b)，與 x 軸總是交于（ -b/k ，0）正比例函數(shù)的圖像總是過(guò)原點(diǎn)。3k，b 與函數(shù)圖像所在象限：當(dāng) k0 時(shí)，直線必通過(guò)一、三象限， y 隨 x 的增大而增大；當(dāng) k0 時(shí)，直線必通過(guò)二、四象限， y 隨 x 的增大而減小。當(dāng) b0 時(shí)，直線必通過(guò)一、二象限；當(dāng) b=0 時(shí)，直

3、線通過(guò)原點(diǎn)當(dāng) b0 時(shí)，直線必通過(guò)三、四象限。特別地，當(dāng) b=o 時(shí)，直線通過(guò)原點(diǎn)o（0，0）表示的是正比例函數(shù)的圖像。這時(shí)，當(dāng) k0 時(shí)，直線只通過(guò)一、三象限；當(dāng)k0 時(shí)，直線只通過(guò)二、四象限。四、確定一次函數(shù)的表達(dá)式：已知點(diǎn) a（x1，y1）；b（x2，y2），請(qǐng)確定過(guò)點(diǎn) a、b 的一次函數(shù)的表達(dá)式。（1）設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式（也叫解析式）為y=kx+b 。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 14 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)（2）因?yàn)樵谝淮魏瘮?shù)上的任意一點(diǎn)p（x，y），都滿足等式 y=kx+b

4、。所以可以列出 2 個(gè)方程：y1=kx1+b 和y2=kx2+b （3）解這個(gè)二元一次方程，得到k，b 的值。（4）最后得到一次函數(shù)的表達(dá)式。五、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用：1.當(dāng)時(shí)間 t 一定，距離 s 是速度 v 的一次函數(shù)。 s=vt 。2.當(dāng)水池抽水速度 f 一定，水池中水量g 是抽水時(shí)間 t 的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量s。g=s-ft 。六、常用公式：（不全，希望有人補(bǔ)充）1.求函數(shù)圖像的 k 值：（ y1-y2)/(x1-x2) 2.求與 x 軸平行線段的中點(diǎn)： |x1-x2|/2 3.求與 y 軸平行線段的中點(diǎn)： |y1-y2|/2 4.求任意線段的長(zhǎng)：(x1-x2)2+(y1-y

5、2)2 （注：根號(hào)下（x1-x2) 與（y1-y2) 的平方和）二次函數(shù)i.定義與定義表達(dá)式一般地，自變量x 和因變量 y 之間存在如下關(guān)系：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 14 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)y=ax2+bx+c （a，b，c 為常數(shù)，a 0，且a 決定函數(shù)的開(kāi)口方向， a0 時(shí)，開(kāi)口方向向上，a0 時(shí)，y=a(x-h)2的圖象可由拋物線y=ax2向右平行移動(dòng) h 個(gè)單位得到，當(dāng) h0,k0時(shí)，將拋物線 y=ax2向右平行移動(dòng) h 個(gè)單位，再向上移動(dòng) k 個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=a

6、(x-h)2 +k的圖象；當(dāng) h0,k0時(shí)，將拋物線 y=ax2向右平行移動(dòng) h 個(gè)單位，再向下移動(dòng) |k|個(gè)單位可得到 y=a(x-h)2+k的圖象；當(dāng) h0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到 y=a(x-h)2+k的圖象；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 14 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)當(dāng) h0,k0 時(shí)，開(kāi)口向上，當(dāng) a0 ，當(dāng) x -b/2a時(shí)，y隨 x 的增大而減?。?當(dāng) x -b/2a時(shí)，y 隨 x 的增大而增大 若 a0，圖象與 x 軸交于兩點(diǎn) a(x

7、?，0)和 b(x?，0)，其中的 x1,x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a 0) 的兩根這兩點(diǎn)間的距離ab=|x ?-x?| 當(dāng) =0 圖象與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng) 0 時(shí)，圖象落在 x 軸的上方，x 為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y0 ；當(dāng) a0 時(shí)，圖象落在 x 軸的下方， x 為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y0(a0) ， 則當(dāng) x= -b/2a時(shí)，y 最小(大)值=(4ac-b2)/4a頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是取得最值時(shí)的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是最值的取值6用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過(guò)三個(gè)已知點(diǎn)或已知x、y 的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí)，可設(shè)解析式為一般形式：y=ax2+bx+c

8、(a 0) (2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ(chēng)軸時(shí)，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式： y=a(x- h)2+k(a 0) (3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)解析式為兩根式： y=a(x-x ?)(x-x ?)(a 0) 7二次函數(shù)知識(shí)很容易與其它知識(shí)綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識(shí)為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題，往往以大題形式出現(xiàn)反比例函數(shù)形如 ykx(k 為常數(shù)且 k 0) 的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)。自變量 x 的取值范圍是不等于0 的一切實(shí)數(shù)。反比例函數(shù)圖像性質(zhì)：反比例函數(shù)的圖像為雙曲線。由于反比例函數(shù)屬于奇函數(shù)，有f(-x)=-f(x),圖像關(guān)于

9、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 14 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)另外，從反比例函數(shù)的解析式可以得出，在反比例函數(shù)的圖像上任取一點(diǎn)，向兩個(gè)坐標(biāo)軸作垂線，這點(diǎn)、兩個(gè)垂足及原點(diǎn)所圍成的矩形面積是定值，為k。如圖，上面給出了k 分別為正和負(fù)（ 2 和-2 ）時(shí)的函數(shù)圖像。當(dāng) k0 時(shí)，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)一，三象限，是減函數(shù)當(dāng) k0 時(shí)，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)二，四象限，是增函數(shù)反比例函數(shù)圖像只能無(wú)限趨向于坐標(biāo)軸，無(wú)法和坐標(biāo)軸相交。知識(shí)點(diǎn)：1.過(guò)反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線段，這兩條垂

10、線段與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為| k | 。2.對(duì)于雙曲線 ykx ，若在分母上加減任意一個(gè)實(shí)數(shù)(即 yk（ x m）m 為常數(shù) )， 就相當(dāng)于將雙曲線圖象向左或右平移一個(gè)單位。（加一個(gè)數(shù)時(shí)向左平移，減一個(gè)數(shù)時(shí)向右平移）對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的一般形式為，它實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。因此指數(shù)函數(shù)里對(duì)于 a 的規(guī)定，同樣適用于對(duì)數(shù)函數(shù)。右圖給出對(duì)于不同大小a 所表示的函數(shù)圖形：可以看到對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形只不過(guò)的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)圖形，因?yàn)樗鼈兓榉春瘮?shù)。（1）對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥? 的實(shí)數(shù)集合。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

11、 9 頁(yè)，共 14 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)（2）對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)槿繉?shí)數(shù)集合。（3）函數(shù)總是通過(guò)（ 1，0）這點(diǎn)。（4）a 大于 1 時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，并且上凸；a 小于 1 大于 0 時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，并且下凹。（5）顯然對(duì)數(shù)函數(shù)無(wú)界。指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的一般形式為， 從上面我們對(duì)于冪函數(shù)的討論就可以知道，要想使得 x 能夠取整個(gè)實(shí)數(shù)集合為定義域，則只有使得如圖所示為 a 的不同大小影響函數(shù)圖形的情況?？梢钥吹剑海?）指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)樗袑?shí)數(shù)的集合，這里的前提是 a 大于 0，對(duì)于 a 不大于 0 的情況， 則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因

12、此我們不予考慮。（2） 指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)榇笥? 的實(shí)數(shù)集合。（3） 函數(shù)圖形都是下凹的。（4） a 大于 1，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增； a 小于 1 大于 0，則為單調(diào)遞減的。（5） 可以看到一個(gè)顯然的規(guī)律，就是當(dāng)a 從 0 趨向于無(wú)窮大的過(guò)程中（當(dāng)然不能等于 0），函數(shù)的曲線從分別接近于y 軸與 x 軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于y 軸的正半軸與 x 軸精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁(yè)，共 14 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)的負(fù)半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=1 是從遞減到遞

13、增的一個(gè)過(guò)渡位置。（6） 函數(shù)總是在某一個(gè)方向上無(wú)限趨向于x 軸,永不相交。（7） 函數(shù)總是通過(guò)（ 0，1）這點(diǎn)。（8） 顯然指數(shù)函數(shù)無(wú)界。奇偶性注圖：（ 1）為奇函數(shù)（ 2）為偶函數(shù)1定義一般地，對(duì)于函數(shù)f(x) （1）如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有 f(-x)= f(x) ，那么函數(shù) f(x) 就叫做奇函數(shù)。（2）如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有 f(-x)=f(x) ，那么函數(shù) f(x)就叫做偶函數(shù)。（3） 如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x， f(-x)=-f(x)與 f(-x)=f(x)同時(shí)成立，那么函數(shù) f(x) 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)， 稱(chēng)為既奇又偶函數(shù)。（4） 如果對(duì)

14、于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x， f(-x)=-f(x)與 f(-x)=f(x)都不能成立，那么函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，稱(chēng)為非奇非偶函數(shù)。說(shuō)明：奇、偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對(duì)整個(gè)定義域而言奇、偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，如果一個(gè)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)一定不是奇（或偶）函數(shù)。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁(yè)，共 14 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)（分析：判斷函數(shù)的奇偶性， 首先是檢驗(yàn)其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，然后再嚴(yán)格按照奇、偶性的定義經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)、整理、再與f(x) 比較得出

15、結(jié)論）判斷或證明函數(shù)是否具有奇偶性的根據(jù)是定義2奇偶函數(shù)圖像的特征：定理 奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖表，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸或軸對(duì)稱(chēng)圖形。f(x)為奇函數(shù) f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（x,y）（-x,-y ）奇函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增， 則在它的對(duì)稱(chēng)區(qū)間上也是單調(diào)遞增。偶函數(shù) 在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對(duì)稱(chēng)區(qū)間上單調(diào)遞減。3. 奇偶函數(shù)運(yùn)算(1) . 兩個(gè)偶函數(shù)相加所得的和為偶函數(shù). (2) . 兩個(gè)奇函數(shù)相加所得的和為奇函數(shù). (3) . 一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)相加所得的和為非奇函數(shù)與非偶函數(shù). (4) . 兩個(gè)偶函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù). (5) . 兩個(gè)奇函數(shù)相乘所得的積為

16、偶函數(shù). (6) . 一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)相乘所得的積為奇函數(shù). 定義域精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁(yè)，共 14 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)（高中函數(shù)定義） 設(shè) a,b 是兩個(gè)非空的數(shù)集， 如果按某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f,使對(duì)于集合 a 中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合 b 中都有唯一確定的數(shù) f(x) 和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f:a-b 為集合 a 到集合 b 的一個(gè)函數(shù)，記作 y=f(x),x 屬于集合 a。其中， x 叫作自變量， x 的取值范圍 a 叫作函數(shù)的定義域；值域名稱(chēng)定義函數(shù)中，應(yīng)變量的取值范

17、圍叫做這個(gè)函數(shù)的值域函數(shù)的值域,在數(shù)學(xué)中是函數(shù)在定義域中應(yīng)變量所有值的集合常用的求值域的方法（1）化歸法；（ 2）圖象法（數(shù)形結(jié)合），（3）函數(shù)單調(diào)性法，（4）配方法，（ 5）換元法，（ 6）反函數(shù)法（逆求法），（7）判別式法，（ 8）復(fù)合函數(shù)法，（ 9）三角代換法，（ 10）基本不等式法等關(guān)于函數(shù)值域誤區(qū)定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域是函數(shù)構(gòu)造的三個(gè)基本“元件”。平時(shí)數(shù)學(xué)中，實(shí)行“定義域優(yōu)先”的原則， 無(wú)可置疑。然而事物均具有二重性，在強(qiáng)化定義域問(wèn)題的同時(shí)， 往往就削弱或談化了， 對(duì)值域問(wèn)題的探究，造成了一手“硬”一手“軟”，使學(xué)生對(duì)函數(shù)的掌握時(shí)好時(shí)壞，事實(shí)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁(yè)，共 14 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)上，定義域與值域二者的位置是相當(dāng)?shù)?，絕不能厚此薄皮，何況它們二者隨時(shí)處于互相轉(zhuǎn)化之中 （典型的例子是互為反函數(shù)定義域與值域的相互轉(zhuǎn)化）。 如果函數(shù)的值域是無(wú)限集的話，那么求函數(shù)值域不總是容易的，反靠不等式的運(yùn)算性質(zhì)有時(shí)并不能奏效，還必須聯(lián)系函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、有界性、周期性來(lái)考慮函數(shù)的取值情況。才能獲得正確答案，從這個(gè)角度來(lái)講，求值域的問(wèn)題有時(shí)比求定義域問(wèn)題難，實(shí)踐證明，如果加強(qiáng)了對(duì)值域求法的研究